精品解析：四川省内江市第二中学中2021---2022学年九年级上学期数学半期考试题

内江二中2021—2022学年度九年级上学期半期考试 数学试题 （满分160分，120分钟完卷） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 式子，，，中二次根式的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．据此进行判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得，式子，是二次根式，中，的取值范围不确定，不能保证，故不一定是二次根式； 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程有三个特点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程． 【详解】解：A．含两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B．，是一f元二次方程，符合题意； C．的分母含未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D．化简得，2x=4，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：C． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=0，由此即可得出结论． 【详解】∵在方程x2-6x+9=0中，△=（-6）2-4×1×9=0， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选B． 【点睛】考查了根的判别式，熟练“掌握当△=0时方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 5. 下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握成比例线段的条件． 利用成比例线段的条件逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴该四条线段成比例，不符合题意； B. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； C.∵任意两线段之比都不相等， ∴该四条线段不成比例，符合题意； D. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 由得到，代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入可得：， 故选：C． 7. 已知一元二次方程的两根分别为，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴由根与系数的关系得，． 故选：C． 8. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴，，，， 则A、C、D错误， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案． 9. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A. x≤2 B. x≥2 C. x＜2 且x≠0 D. x≤2且x≠0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解． 详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：D 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数． 10. 当时，化简的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 11. 已知，则m2+n2的值是（　　） A. 3 B. 3或-2 C. 2或-3 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：，，，，∴或（舍去）．故选A． 12. 如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与，，，，分别交于点，设，，的面积依次为，，，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可以得出△BPQ∽△DKM∽△CNH，可以求出△BPQ与△DKM的相似比为，△BPQ与△CNH相似比为，由相似三角形的性质，就可以求出，从而可以求出． 【详解】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的， ∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH， ∴∠BQP=∠DMK=∠CHN， ∴△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH， ∴，， ∵EF=FG= BD=CD，AC∥EH， ∴四边形BEFD、四边形DFGC是平行四边形， ∴BE∥DF∥CG， ∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH， 又∵∠BQP=∠DMK=∠CHN， ∴△BPQ∽△DKM，△BPQ∽△CNH， ∴，， 即，， ， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出S2=4S1，S3=9S1是解题关键． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．） 13. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，以及二次根式的减法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质化简各项，再进行减法运算，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 方程是关于的一元二次方程，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 利用一元二次方程的定义进行求解即可． 详解】解：根据题意得，， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 15. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1． 16. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝____． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵BC=10，∴DE=5．故答案为5． 考点：三角形中位线定理． 17. 如图，在中，为上一点，且，连接、相交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的性质判定出，再利用相似的性质列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题(本大题共5小题，共44分) 18. （1）计算： （2）计算： （3）解方程： 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，一元二次方程的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分配律运算求解即可； （2）先化简二次根式，再根据运算法则运算求解即可； （3）利用因式分解法运算求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） 解： 或 ， 解得：或． 19. 国家为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，如果两次降价的百分率相同，求该药品每次降价的百分率． 【答案】该药品每次降价的百分率为 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决率的问题，解题的关键是准确找出等量关系． 设该药品每次降价的百分率为，根据两次降价列出方程求解即可． 【详解】解：设该药品每次降价的百分率为，由题意得， ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 答：该药品每次降价的百分率为． 20. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，且，求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及平行线的成比例性质． 先证四边形是平行四边形，得，得到，从而证明． 【详解】证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ， ， 21. 如图，在正方形中，点在上，，是的中点，过点作平行于交于点．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及相似三角形的性质与判定，根据正方形的性质证明得，根据比例即可求出． 【详解】解：四边形是正方形， ，平行于， ， 平行于， ， ， ， ， ， 是中点，， ， ． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 当方程有实数根时，实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：方程两实数根分别为，， ，． ， ， ， 整理，得：， 解得：，． ， 实数的值为1． B卷（共60分） 一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分． 请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．） 23. 若，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】先分母有理化再利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：0． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，灵活运用公式解决问题． 24. 已知，且，则化简_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，即，且可知可看做方程的两不相等的实数根，继而知，且，将其代入到原式可得答案． 【详解】解：，即，且 可看做方程的两不相等的实数根， 则 则原式 【点睛】主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据满足的等式判断出可看做方程的两不相等的实数根且是解题的关键． 25. 如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则=____． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AD=DC=AB=BC=1，DC∥AB，BC∥AD，根据平行线分线段成比例定理求出，再相加即可． 【详解】解：∵四边形ABCD菱形， ∴AD=DC=AB=BC=1，DC∥AB，BC∥AD， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 26. 如图，中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有________．(填序号) 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． ①由垂直的定义得到，，再由角平分线得到，即可判断①； ②证出，利用相似的性质得到，过作于点，利用勾股定理求出的长即可判断②； ③证出，根据相似的性质即可判断③； ④证出，即可判断④． 【详解】解析：①∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； ②∵，， ∴，得，过作于点， ∴， 又∵，则， ∴，设， ∴在中：， 解得：， ∴，故②错误； ③由①知， ∴， 又∵， ∴， ∴，由②知， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，①③④正确． 故答案为：①③④． 二、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 27. 阅读材料：小聪在学习二次根式后，发现含根号的式子可以写成另一个式子的平方，即． 于是，爱动脑筋的小聪又提出了一个问题：是否也能写成另一个式子的平方呢？经过探索，他联想到老师讲的方程思想，找到了一种把化成平方式的方法： 设，则， ． 整理得． 、可看作一元二次方程的两根． 解方程，得，． 于是有． 参考上述方法，解决下列问题： （1）化简下列根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上： ________，________，_______； （2）化简：①，②； （3）化简． 【答案】（1），， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）类比题中方法列方程组、构建一元二次方程分别求解可得； （2）借助完全平方公式进而开平方求出即可； （3）把要求的代数式设为，然后利用完全平方公式进行计算，用直接开平方法可以求出的值，根据二次根式的性质得到，确定的值．也就求出了代数式的值． 【小问1详解】 解：设，则， 整理得， 、可看作一元二次方程的两根． 解方程，得，． 于是有 ， 即； 设，则， ， 整理得， 、可看作一元二次方程的两根． 解方程，得，， 于是有， ， 即， 同理， ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 ①； ② ； 【小问3详解】 设，则 又∵， ∴． 即 28. 某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售件，每件赢利元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场每天可多售出件． 如果每件衬衫降价元，商场每天赢利多少元？ 如果商场每天要赢利元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？ 用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？ 【答案】（1）如果每件衬衫降价元，商场每天赢利元；每件衬衫应降价元．每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多． 【解析】 【分析】总利润＝每件利润×销售量．设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，（1）把x＝5代入求得相应的w的值即可；（2）再求当w＝1200时x的值；（3）根据函数关系式，运用函数的性质求最值． 【详解】（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元， 根据题意得w＝（40−x）（20＋2x）＝−2x2＋60x＋800＝−2（x−15）2＋1250 当x＝5时，w＝−2（5−15）2＋1250＝1050（元） 答：如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；； 当时，， 解之得，． 根据题意要尽快减少库存，所以应降价元． 答：每件衬衫应降价元． 商场每天盈利 ． 所以当每件衬衫应降价元时，商场盈利最多，共元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多． 【点睛】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的应用．根据题意写出利润的表达式是此题的关键． 29. 在矩形中，E是的中点，过点E作交于点F，连结交于点N，过点B作于点G，交于点M． 求证： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定，正确找出相似三角形是解题的关键． （1）根据矩形性质和相似三角形的判定即可证明； （2）由（1）中的相似三角形可得，利用相似三角形的判定推出，再利用相似三角形的性质即可证明； （3）过点E作交于点H，通过证明得到，再证明得到，等量代换即可证明． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 证明：如图，过点E作交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江二中2021—2022学年度九年级上学期半期考试 数学试题 （满分160分，120分钟完卷） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 式子，，，中二次根式的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列方程是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ） A B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两根分别为，，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A. x≤2 B. x≥2 C. x＜2 且x≠0 D. x≤2且x≠0 10. 当时，化简的正确结果是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则m2+n2的值是（　　） A 3 B. 3或-2 C. 2或-3 D. 2 12. 如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与，，，，分别交于点，设，，的面积依次为，，，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．） 13. 计算：_________． 14. 方程是关于的一元二次方程，则的值为_______． 15. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 16. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝____． 17. 如图，在中，为上一点，且，连接、相交于点，则______． 三、解答题(本大题共5小题，共44分) 18. （1）计算： （2）计算： （3）解方程： 19. 国家为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，如果两次降价的百分率相同，求该药品每次降价的百分率． 20. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，且，求证：． 21. 如图，在正方形中，点在上，，是的中点，过点作平行于交于点．求的长． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． B卷（共60分） 一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分． 请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．） 23. 若，则______． 24. 已知，且，则化简_____． 25. 如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则=____． 26. 如图，中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有________．(填序号) 二、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 27. 阅读材料：小聪在学习二次根式后，发现含根号的式子可以写成另一个式子的平方，即． 于是，爱动脑筋小聪又提出了一个问题：是否也能写成另一个式子的平方呢？经过探索，他联想到老师讲的方程思想，找到了一种把化成平方式的方法： 设，则， ． 整理得． 、可看作一元二次方程的两根． 解方程，得，． 于有． 参考上述方法，解决下列问题： （1）化简下列根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上： ________，________，_______； （2）化简：①，②； （3）化简． 28. 某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售件，每件赢利元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场每天可多售出件． 如果每件衬衫降价元，商场每天赢利多少元？ 如果商场每天要赢利元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？ 用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？ 29. 在矩形中，E是的中点，过点E作交于点F，连结交于点N，过点B作于点G，交于点M． 求证： （1）； （2）； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $