精品解析：安徽省宣城市第六中学2023-2024学年九年级下学期3月尖子生限时挑战数学试题

2024年九年级限时挑战数学卷 温馨提示： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．包括试题和答题卷两部分，请务必在答题卷上答题，在试卷上答题无效． 第Ⅰ部分 客观题（共42分） 一、选择题（共7小题，每小题6分，计42分） 1. 已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 2. 若抛物线与轴有唯一公共点，且过点，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 3. 如图，在中，，，为的内心，连接并延长交于点，记的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过4次传球后，球仍在甲手中的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 6. 如图，A、B是双曲线y＝（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若，则k的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 7. 如图所示是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第13行的空心圆的个数是（ ） A. 55个 B. 72个 C. 89个 D. 144个 第Ⅱ部分 主观题（共108分） 二、填空题（共7小题，每小题6分，计42分） 8. 计算：_______． 9. 若，则S的整数部分为__________． 10. 如图，将边长为2的正方形沿直线按顺时针方向翻滚当正方形翻滚一周时，正方形的中心所经过的路径长为________． 11. 已知，则代数式的值是_______． 12. 如图，在中，，，，将绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上，连接，则的长为________． 13. 如图，若一个三角形的任意两个边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，“不规则三角形”有________个． 14. 如图，一条抛物线（m<0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）．若点M、N的坐标分别为(0，—2)、(4，0)，抛物线与直线MN始终有交点，线段AB的长度的最小值为______． 三、解答题（共6小题，计66分，解答时请写出必要的步骤或文字说明） 15. 已知函数满足，且，求的值． 16. 如图，中，点是线段上两动点，且，，垂足为，的延长线交于点，直线与直线相交于点．试判断的形状，并加以证明． 17. 如图所示，已知直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点与点，点在第三象限内，且，． （1）当时，求抛物线的表达式； （2）设点坐标为，试用分别表示； （3）记，求的最大值． 18. 已知二次函数． （1）设函数在范围内的最大值为，最小值为，且，求实数的取值范围． （2）已知关于的方程在范围内有解，求实数的取值范围． 19. 如图，已知中，平分交于点边上有一点，⊙O经过点，与交于点，与交于点，连结． （1）求证：是⊙O的切线． （2）若，求⊙O的半径． （3）在（2）的条件下，求的长． 20. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且与y轴交于点，B点坐标为，点C为抛物线上一动点，以C为圆心，为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）． （1）求此二次函数的表达式； （2）当点C在抛物线上运动时，弦的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦的长； （3）当与相似时，求出M点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级限时挑战数学卷 温馨提示： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．包括试题和答题卷两部分，请务必在答题卷上答题，在试卷上答题无效． 第Ⅰ部分 客观题（共42分） 一、选择题（共7小题，每小题6分，计42分） 1. 已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再将两边同时平方，可得：=，从而可求y的最大值与最小值的差． 【详解】解：根据二次根式有意义，得： x−1≥0且5−x≥0， 解得：1≤x≤5， ∵ ， ∴ = 令， ∴当x=3时，w有最大值4；当x=1或5时，w有最小值0， ∴当x=3时，y有最大值，当x=1或5时，y有最小值2， ∴y的最大值与最小值的差为，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质以及二次根式有意义的条件，是解题的关键． 2. 若抛物线与轴有唯一公共点，且过点，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由题意b2-4c=0，得b2=4c，又抛物线过点A(m，n)，B(m-8，n)，可知A、B关于直线x=-对称，所以A(-+4，n)，B(--4，n)，把点A坐标代入y=x2+bx+c，化简整理即可解决问题． 【详解】解：由题意b2-4c=0， ∴b2=4c， 又∵抛物线过点A(m，n)，B(m-8，n)， ∴A、B关于直线x=-对称， ∴A(-+4，n)，B(--4，n)， 把点A坐标代入y=x2+bx+c， n=(-+4)2+b(-+4)+c=-b2+16+c， ∵b2=4c， ∴n=-c+16+c， ∴n=16． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，以及二次函数图像上点的坐标特征等知识，解题的关键是记住△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型． 3. 如图，在中，，，为的内心，连接并延长交于点，记的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作交于点，交于点，交于点，根据为的内心，得到，再根据三角形的面积公式可知同高的两个三角形面积之比等于底边之比，得，由等比定理可的． 【详解】解：如图示，作交于点，交于点，交于点， 为的内心， ∴ 根据三角形的面积公式可知同高的两个三角形面积之比等于底边之比， ， 根据等比定理可得：． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，三角形的面积，等比定理，熟悉三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点和等比定理是解题的关键． 4. 甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过4次传球后，球仍在甲手中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查利用列举法求概率，求出所有的传球方法共有多少种，找出第4次球恰好传回给甲的情况，由此能求出经过4次传球后，球仍在甲手中的概率． 【详解】解：用甲→乙→丙→甲→乙表示一种传球方法， 所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙→甲； 甲→乙→甲→乙→丙； 甲→乙→甲→丙→甲； 甲→乙→甲→丙→乙； 甲→乙→丙→乙→甲； 甲→乙→丙→乙→丙； 甲→乙→丙→甲→丙； 甲→乙→丙→甲→乙； 甲→丙→甲→乙→甲； 甲→丙→甲→乙→丙； 甲→丙→甲→丙→甲； 甲→丙→甲→丙→乙； 甲→丙→乙→丙→甲； 甲→丙→乙→丙→乙； 甲→丙→乙→甲→丙； 甲→丙→乙→甲→乙； 则共有16种传球方法，第4次球恰好传回给甲的有6种情况， ∴经过4次传球后，球仍在甲手中的概率是， 故选B 5. 已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先将原函数看成由平移得到，然后运用反比例函数增减性的性质可得，且，解之即可． 【详解】解：可以看成是由平移得到， 当时，随的增大而减小， 根据反比例函数的性质得，，且， 或． 故选：C． 6. 如图，A、B是双曲线y＝（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若，则k的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据得A、B两点的横坐标求得纵坐标，再证明△CEB∽△CDA，利用相似三角形的性质得出DE＝CE，由OD：OE＝a：2a＝1：2，得出OD＝DE，所以D是OC的三等分点，进而得到S△AOD＝S△AOC＝3，然后利用反比例函数系数k的几何意义，求得k的值． 【详解】解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E， ∵A、B是双曲线y＝（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a， ∴A、B两点的纵坐标分别是，， ∵AD∥BE， ∴△CEB∽△CDA， ∴， ∴DE＝CE， ∵OD：OE＝a：2a＝1：2， ∴OD＝DE， ∴OD＝OC， ∴S△AOD＝S△AOC＝×9＝3， ∴|k|＝3，即k＝±6， 而k＞0， ∴k＝6． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义以及相似三角形的判定与性质，解题时注意：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 7. 如图所示是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第13行的空心圆的个数是（ ） A. 55个 B. 72个 C. 89个 D. 144个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，根据题意，找出规律是解题的关键，根据每个实心圆的下一行生长出一个实心圆和一个空心圆，每个空心圆的下一行生长出一个实心圆，即可确定第行的实心圆点的个数． 【详解】解：由图中规律可知，每个实心圆的下一行生长出一个实心圆和一个空心圆，每个空心圆的下一行生长出一个实心圆， 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； 第行的空心圆的个数是； ∴第行的空心圆的个数是． 故选：C． 第Ⅱ部分 主观题（共108分） 二、填空题（共7小题，每小题6分，计42分） 8. 计算：_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数，二次根式的性质，二次根式的加减等计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：4． 9. 若，则S的整数部分为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分数的混合运算，先假设分母的每一项如果全是，则，分母的每一项如果全是，那么，即可求出结论． 【详解】解：根据题意分母共有项， 假设分母的每一项如果全是，那么， 假设分母的每一项如果全是，那么， ， 则S的整数部分为， 故答案为：． 10. 如图，将边长为2的正方形沿直线按顺时针方向翻滚当正方形翻滚一周时，正方形的中心所经过的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了考查了弧长的计算公式：，正方形的性质，．正方形每次都要翻滚，共四次，一共翻滚，算出的长等于，再求出正方形的中心所经过的路径长． 【详解】解：连接，， ， 由勾股定理得，， 则正方形的中心所经过的路径长为： ． 11. 已知，则代数式的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程．首先设，利用换元法可得：，解一元二次方程可得或，利用一元二次方程根的判别式可知不成立，把整体代入代数式计算即可． 【详解】解：， ， 设， 则有 整理得：， 分解因式得：， 或， 或， 一元二次方程中，， 一元二次方程无解， 不成立，舍去， 当时， ． 故答案为： ． 12. 如图，在中，，，，将绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形．解直角三角形求得，，由旋转的性质求得，过点A作于点H，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点A作于点H， 则，在中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，若一个三角形的任意两个边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，“不规则三角形”有________个． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理以及立体图形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能，分别得出所求的不规则三角形的个数； 【详解】解：不妨设正方体的边长为，则在正方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能： 边长为， 在中，面对角线， 在中，体对角线， 正方体有四条体对角线，先考虑其中的一条如，第三个顶点可以是、、、、、中之一， 有6个不规则三角形．因此所求的不规则三角形的个数是． 故答案为：． 14. 如图，一条抛物线（m<0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）．若点M、N的坐标分别为(0，—2)、(4，0)，抛物线与直线MN始终有交点，线段AB的长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：过点（0，—2）、（4，0）直线解析式为,抛物线与直线始终有交点 所以有解, ,解得, 当时,线段的长度的最小,这时抛物线为它与x轴的交点为(,0 ) (,0).故线段的长度的最小值为. 考点：函数与方程(组)的关系． 三、解答题（共6小题，计66分，解答时请写出必要的步骤或文字说明） 15. 已知函数满足，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数值的求法，函数性质等知识点． 根据递推关系式，依次计算、、即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ． 16. 如图，中，点是线段上两动点，且，，垂足为，的延长线交于点，直线与直线相交于点．试判断的形状，并加以证明． 【答案】 解：是等腰三角形． 证明：如图，过点C作，交延长线于点P， 中， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．过点C作，交延长线于点P，先证明，进而证明，通过导角证明，题目得证． 【详解】略 17. 如图所示，已知直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点与点，点在第三象限内，且，． （1）当时，求抛物线的表达式； （2）设点坐标为，试用分别表示； （3）记，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【解析】 【分析】（1）把A、B两点代入可求得结果； （2）作CH⊥轴，构造直角三角形，根据找到已知边的关系，进而求得结果； （3）由A、C两点可得到关于x、y的式子，代入计算即可． 【详解】解：（1）当时，,; 抛物线经过点与点; ∴所求抛物线的表达式为; （2）如图：作CH⊥轴，垂足为点H，得∠AHC=∠AOB=90°; ∵AC⊥AB， ∴∠OAB+∠CAH=90°, 又∵∠CAH+∠ACH=90°， ∴∠OAB=∠ACH; ∴△AOB∽△CHA， ∴; ∵tan∠ABC=, ∴; ∵OA=，OB=2, ∴CH=2，AH=4; ∴点C的坐标为（4，2）． ∴. （3）由点在轴的正半轴上，点C（4，2）在第三象限内得; ∴=(); ∴当=2时取得最大值8． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用． 18. 已知二次函数． （1）设函数在范围内的最大值为，最小值为，且，求实数的取值范围． （2）已知关于的方程在范围内有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与二次函数的零点问题． （1）讨论二次函数的对称轴和所给区间的位置关系，即可确定函数的最值，由此可解不等式，即可得到答案； （2）讨论方程在范围内有解、一解还是两解的情况，由此可列不等式组，即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线， ①当，即时， 在的范围内，随的增大而增大， ∴当时，该函数有最大值， 当时，该函数有最小值，， 解得， ∴； ②当，即时， 在的范围内，先随的增大而减小，再随的增大而增大， 且处的函数值大于处的函数值， ∴，， ∴， ∴， ∴； ③当，即时， 在的范围内，先随的增大而减小，再随的增大而增大，且处的函数值大于处的函数值， ∴，， ∴， ∴， 此时； ④当，即时， 在的范围内，随的增大而减小， ∴，， ∴， 解得， ∴． 综上，实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：将原方程整理，得． 设， 当时，． ①若方程在范围内有一解， 则当时，函数的取值为负数， 即， 解得； ②若方程在范围内有两解， 则，解得． 综上，实数的取值范围为． 19. 如图，已知中，平分交于点边上有一点，⊙O经过点，与交于点，与交于点，连结． （1）求证：是⊙O的切线． （2）若，求⊙O的半径． （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连结， 平分， ， ，即， 又经过点 是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则得到，即，即可证明是⊙O的切线； （2）连结交于点，证明，则．由得到，．得到．设，则，则．由得到，进一步得到 ．由得到，解得（舍去），即可求出答案； （3）由（2）知，，证明，则解得，由勾股定理得到即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连结交于点 是的直径， ， ， ， ． 又， ， ． ，， ． ， ． 设，则， ． ， ， ， ∴． ， ， 解得（舍去）， ， 即的半径． 【小问3详解】 解：由（2）知，， ， ， ， 又 ， ， 解得， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程、切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 20. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且与y轴交于点，B点坐标为，点C为抛物线上一动点，以C为圆心，为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）． （1）求此二次函数的表达式； （2）当点C在抛物线上运动时，弦的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦的长； （3）当与相似时，求出M点的坐标． 【答案】（1） （2）不变，4 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后将代入可求得a的值，从而可求得二次函数的表达式； （2）过点C作轴，垂足为H，连接、，由勾股定理可知，依据两点间的距离公式可求得，结合垂径定理可求得的长； （3）分为点C与点A重合，点C在点A的左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，然后依据相似三角形的对应边成比例可求得的距离，从而可求得点M的坐标． 【小问1详解】 设抛物线的表达式为， 将代入得：，解得： ∴抛物线的表达式为： 【小问2详解】 的长不发生变化． 理由：如图1所示，过点C作轴，垂足为H，连接、． 设点C的坐标为． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴不发生变化． 【小问3详解】 如图2所示： ①当点C与点A重合时． ∵经过点C， ∴为圆C的直径， ∴， ∵点， ∴． ②如图3所示： ∵， ∴，即， 设，则， 解得：（舍去）， 又∵点， ∴， ∴点M的坐标为． 如图4所示： ∵， ∴， 设，则， 解得：（舍去）， 又∵点， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数函数的解析式、垂径定理、两点间的距离公式、勾股定理、相似三角形的性质，分为点C与点A重合，点C在点A的左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，并由相似三角形的性质求得AM的长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $