精品解析：广东省肇庆市碧海湾学校等两校2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

广东省两校2026届高三上学期八月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 设集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. -3 4. 为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，某市各学校坚持落实“双测温报告”制度，以下是该市某中学高二5班第二组的8名同学某日上午的体温记录：36.1，36.1，35.7，36.8，36.5，36.6，36.3，36.4（单位：℃），则该组数据的第80百分位数为（ ） A. 36.5 B. 36.6 C. 36.4 D. 36.3 5. 下列叙述正确的是（　　） A. 用区间可表示为 B. 用区间可表示为 C. 用集合可表示为 D. 用集合可表示为 6. 已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 7. 设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若幂函数在上单调递减，则的值可能是（ ） A. B. 4 C. D. 8 10. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. 或 C. 与夹角的大小为 D. 11. 上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 的焦点坐标为 D. 弹道上的点到直线的距离的最大值为米 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，则________． 13. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________． 14. 已知正方体的棱长为1，动点在正方体表面上运动，且，记点的轨迹长度为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为2. （1）求实数的值; （2）设，讨论的单调性; （3）已知且，证明: 16. 为了加快恢复疫情过后的经济，各地旅游景点相继推出各种优惠政策，刺激旅游消费.去年8月份，某景区一纪念品超市随机调查了180名游客到该超市购买纪念品的情况，整理数据，得到下表： 消费金额（元） 人数 20 30 40 30 40 20 （1）补全下面的列联表； 消费金额不少于元 消费金额少于元 总计 年龄不小于岁 年龄小于岁 总计 （2）通过计算判断能否有的把握认为购买纪念品的消费金额与年龄有关. 附：，其中. 17. 如图在三棱锥中，，且. （1）求证：平面平面； （2）若为中点，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且， （1）求数列和的通项公式; （2），求数列的前项和. （3）表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围; 19. 设是双曲线的左焦点，过点的直线交于两点． （1）若两点都在的左支上，求面积的最小值（O是坐标原点）； （2）轴上是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省两校2026届高三上学期八月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法求出z，再根据复数模的意义得解. 【详解】∵，则z=-1+i， 所以. 故选：B 2. 设集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵B={ | =k×90°，k∈Z}， ∴当k为偶数，即k=2n时，n∈Z，=k×90°=2n×90°=n×180°， ∴当k为奇数，即k=2n+1时，n∈Z，=k×90°=（2n+1）×90°=n×180°+90°，n∈Z ∴A=B． 故选D． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由正余弦的齐次式转化为正切即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C 4. 为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，某市各学校坚持落实“双测温报告”制度，以下是该市某中学高二5班第二组的8名同学某日上午的体温记录：36.1，36.1，35.7，36.8，36.5，36.6，36.3，36.4（单位：℃），则该组数据的第80百分位数为（ ） A. 36.5 B. 36.6 C. 36.4 D. 36.3 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据按从小到大排列，算出，根据百分位数的求法，即可求得答案. 【详解】将8个数据按从小到大排列为35.7，36.1，36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.8， 则 所求第80百分位数为第7位，故为36.6 故选：B 5. 下列叙述正确的是（　　） A. 用区间可表示为 B. 用区间可表示为 C. 用集合可表示为 D. 用集合可表示为 【答案】D 【解析】 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 6. 已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到⊥平面，故平面即为平面，得到截面的形状. 【详解】连接， 因为平面，平面， 所以， 又四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 同理可证明， 因为，平面， 故平面， 故平面即为平面， 则截该正方体所得截面的形状为三角形. 故选：A 7. 设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表示不超过的最大整数，将，分和求解. 【详解】因为时，=1， 所以， 当时，， 所以， 函数的值域是 故选：D 8. 已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称轴方程求得，解得，结合在区间上有且仅有两条对称轴，求得，由此依次取 求得函数图象相应的对称轴的范围，比较和四个选项中区间的关系，即可判断答案. 【详解】令，即，所以，， 所以，;分别取，得， 所以，得; 当时，得对称轴方程为，且； 当时，得对称轴方程为，且,, 故不是函数的单调区间，C错误； 当时，得对称轴方程为，且，， 故不是函数的单调区间，B错误； 当时，得对称轴方程为，且，，故A错误， 由以上分析可以看到，介于 和 时的相邻的对称轴之间， 故在区间上一定单调， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若幂函数在上单调递减，则的值可能是（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数值，求幂函数的解析式，再结合幂函数的性质，对各项逐一验证即可. 【详解】设幂函数， 若，则，，在上单调递减，符合题意； 若，则，，在上单调递减，符合题意； 若，则，，定义域为，不符合题意； 若，则，，在上单调递增，不符合题意； 故选：AB 10. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. 或 C. 与夹角的大小为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示及向量模的公式计算求判断AB，再由向量夹角公式求夹角判断C，由向量的模的坐标运算判断D. 【详解】因为，， 所以由可得， 即，解得，故A正确，B错误； 由，所以夹角为，C正确； ，故，，不成立，D错误. 故选：AC. 11. 上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 的焦点坐标为 D. 弹道上的点到直线的距离的最大值为米 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC；根据题意，求出直线的方程，不妨设CE上一点为，判断出当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大，求解最大值即可. 【详解】如图所示，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于. 此时，，， 抛物线的方程为，即， 解得，故A正确； 抛物线的方程为，准线方程为，焦点坐标为， 故B正确，C错误； 因为，，故， 所以直线的方程为即， 不妨设上一点为，， 当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大. 由可得，故， 解得， 此时点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据，由正弦定理结合，得到，然后由二倍角公式求解. 【详解】由正弦定理，，又， ， . 故答案为：. 13. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________． 【答案】##4.75 【解析】 【分析】根据题意，分别设出的表达式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，可设， 则． 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为1，动点在正方体表面上运动，且，记点的轨迹长度为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意时，球与正方体的三个面有交点，点在正方体三个面上的轨迹都是以为圆心，为半径的圆周，从而可得结果. 【详解】根据题意，可以把看成以为球心，半径为的球与正方体的表面的交线的长度， 由于球的任何截面都是圆，所以在正方体的各表面上的轨迹均是一段圆弧， 当时，球与正方体的三个面有交点， 点在正方体三个面上的轨迹都是以为圆心，为半径的圆弧， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为2. （1）求实数的值; （2）设，讨论的单调性; （3）已知且，证明: 【答案】（1）1 （2）单调递增区间为和； （3）由，要证，只需证 即证，只需证，即证， 又时，由（2）知成立，所以． 【解析】 【分析】（1）先求得，再由即可求出m的值； （2）先求得，再构造函数，并利用求得，进而得到，从而得到的单调区间； （3）利用分析法证明即可. 【小问1详解】 ，所以 由题意，解之得 【小问2详解】 ，所以 设 当时，，是增函数，， 所以，故在上为增函数； 当时，，是减函数，， 所以，故在上为增函数； 综上，单调递增区间为和. 【小问3详解】 略 16. 为了加快恢复疫情过后的经济，各地旅游景点相继推出各种优惠政策，刺激旅游消费.去年8月份，某景区一纪念品超市随机调查了180名游客到该超市购买纪念品的情况，整理数据，得到下表： 消费金额（元） 人数 20 30 40 30 40 20 （1）补全下面的列联表； 消费金额不少于元 消费金额少于元 总计 年龄不小于岁 年龄小于岁 总计 （2）通过计算判断能否有的把握认为购买纪念品的消费金额与年龄有关. 附：，其中. 【答案】（1） 消费金额不少于120元 消费金额少于120元 总计 年龄不小于50岁 24 80 104 年龄小于50岁 36 40 76 总计 60 120 180 （2）有的把握认为购买纪念品的消费金额与年龄有关【解析】 【分析】（1）根据题意，分析数据，补全列联表即可； （2）结合列联表计算，并根据独立性检验的思想判断即可. 【小问1详解】 解：（1）根据表中数据，消费金额不少于120元的有：人， 消费金额少于元有：人. 所以，补全的列联表如下： 消费金额不少于120元 消费金额少于120元 总计 年龄不小于50岁 24 80 104 年龄小于50岁 36 40 76 总计 60 120 180 【小问2详解】解：结合（1）中的列联表， 计算， 有的把握认为购买纪念品的消费金额与年龄有关. 17. 如图在三棱锥中，，且. （1）求证：平面平面； （2）若为中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取中点，连接， 在三棱锥中，，， ，， 是平面和平面所成角的平面角， 由，故， 所以，， ，，， 平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出二面角的平面角，计算平面角为直角即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量得夹角公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 为中点，， 平面的法向量，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且， （1）求数列和的通项公式; （2），求数列的前项和. （3）表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围; 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式； （2）设，错位相减法求得，设，裂项相消法求得，进而可得结果； （3）求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有4个元素，求出. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 因为， 则，解得或（舍去）， 所以；. 【小问2详解】 因为，， 设， ， 两式相减得 ， 所以， 当n为奇数时，， 设 ， . 【小问3详解】 由题意可知：， 其中， 所以， 集合，设， 则， 所以当时，，当时，． 计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，． 【点睛】结论点睛：常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等； 根式型：等； 对数型：，且. 19. 设是双曲线的左焦点，过点的直线交于两点． （1）若两点都在的左支上，求面积的最小值（O是坐标原点）； （2）轴上是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点. 【解析】 【分析】（1）设直线方程及点坐标，联立双曲线方程利用韦达定理计算，及原点到直线的距离结合对勾函数的单调性计算即可； （2）设点P坐标，利用平面向量的数量积结合（1）的结论，化简计算并利用待定系数法分类讨论l的斜率计算即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 联立得方程， 由韦达定理得， 则， 点到直线的距离 所以 由两点都在双曲线的左支上知，，则， 根据对勾函数的单调性可知，所以， 故的最小值为，当时取得最小值； 【小问2详解】 假设存在这样的定点， 当的斜率不为0时， 由（1）知 ， 将代入上式则， 若为定值，则，从而为定值， 若斜率为0，则不妨令,若，则为相同的定值， 综上存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $