精品解析：江苏省南京市建邺区新城中学黄山路分校2024-2025学年下学期5月月考八年级数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市建邺区新城中学黄山路八年级下学期5月月考数学试卷 时间：90分钟 总分：100分 一、选择题 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　） A. 一批电池的使用寿命 B. 全班同学的身高情况 C. 一批食品中防腐剂的含量 D. 全市中小学生最喜爱的数学家 3. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在第二、四象限 B. 它的图象是中心对称图形 C. y的值随x的增大而增大 D. 点是函数图象上的点 4. 将分式中的x、y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的 5. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 6. 已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 已知，则实数a的值为________． 8. 牛奶中含有丰富的营养成分，其中水分约占，蛋白质约占，脂肪约占，乳糖约占，其他约占，对人体的健康有非常重要的作用．为直观地表示出各成分在总体中所占的百分比，最合适的统计图是_____统计图．（填“条形”“折线”或“扇形”）． 9. 若分式有意义，则的取值范围是______． 10. 给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 11. 题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知 ，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是________________． 解：设甲每小时做个， 由题意得： …… 12. 比较大小：________．（填>，<，=） 13. 如图，两条宽度分别为2和6方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形，若，则的长为_____． 14. 若分式方程有增根，则的值是______． 15. 已知是的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则_____________．（填“”“”或“”） 16. 如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为____________． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）先化简，再求值：，其中x＝； （2）解方程：． 19. 某校在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我最喜欢的球类运动”调查，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据图中的信息，解答下列各题： （1）在本次调查中，一共抽取了__________名学生，在扇形统计图中，羽毛球对应的圆心角为__________度； （2）请补全条形统计图； （3）统计发现，该校“最喜欢篮球”的人数与“最喜欢足球”人数大约相差240人，请估计全校总人数． 20. 列分式方程解应用题： 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少原料? 21. 某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值． x 2 3 4 6 y 72 48 36 24 （1）求y与x的函数表达式； （2）若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？ 22. 如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点． （1）求直线的解析式； （2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 23. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，． ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______； （2）当时，的最小值为______； （3）当时，的最小值为______； （4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为8和18，求四边形的面积的最小值． 24. 如图，在矩形ABCD中，，，E是AB上一点，连接CE，现将向上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处． （1）当点P落在CD上时，_____；当点P在矩形内部时，BE的取值范围是_____． （2）当点E与点A重合时：①画出翻折后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；②连接PD，求证：； （3）如图，当点Р在矩形ABCD的对角线上时，求BE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南京市建邺区新城中学黄山路八年级下学期5月月考数学试卷 时间：90分钟 总分：100分 一、选择题 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式的概念，被开方数不小于0，进而得出答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则， 解得：． 故选：C． 2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　） A. 一批电池的使用寿命 B. 全班同学的身高情况 C. 一批食品中防腐剂的含量 D. 全市中小学生最喜爱的数学家 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样调查和普查的特点分析即可． 【详解】解：A．调查一批电池的使用寿命适合抽样调查； B．调查全班同学的身高情况适合普查； C．调查一批食品中防腐剂的含量适合抽样调查； D．调查全市中小学生最喜爱的数学家适合抽样调查； 故选：B． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在第二、四象限 B. 它的图象是中心对称图形 C. y的值随x的增大而增大 D. 点是函数图象上的点 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可 【详解】A. ，它的图象分布在第二，四象限，正确，不符合题意； B. 函数是反比例函数，故它的图象是中心对称图形，正确，不符合题意； C. ，它的图象分布在第二，四象限，在每一个象限内y的值随x的增大而增大，原说法错误，符合题意； D. 时，，点是函数图象上的点，正确，不符合题意； 故选择：C 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟悉反比例函数的图象和性质是解答本题的关键． 4. 将分式中的x、y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：， 分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 5. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会逐渐稳定于随机事件发生的概率． 【详解】解：由频率的稳定性可知： 袋子中红球个数最可能是：（个） 故选：C 【点睛】本题考查频率的稳定性．熟知相关概念是解题的关键． 6. 已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，熟练掌握一次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键； 根据和分别讨论，即可求解； 【详解】解：当，的图象过一，二，三象限，过一，三象限； 当时，的图象过一，二，四象限，过二，四象限； 当时，和A选项图象一致； 故选：A 二、填空题 7. 已知，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 8. 牛奶中含有丰富的营养成分，其中水分约占，蛋白质约占，脂肪约占，乳糖约占，其他约占，对人体的健康有非常重要的作用．为直观地表示出各成分在总体中所占的百分比，最合适的统计图是_____统计图．（填“条形”“折线”或“扇形”）． 【答案】 扇形 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图的选择，掌握条形、折线和扇形统计图的特点是解答的关键．条形统计图的特点：能清楚的表示出数量的多少；折线统计图的特点：不但可以表示出数量的多少，而且能看出各种数量的增减变化情况； 扇形统计图的特点：比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系； 据此进行解答即可． 【详解】解：牛奶中含有丰富的营养成分，其中水分约占，蛋白质约占，脂肪约占，乳糖约占，其他约占，对人体的健康有非常重要的作用， 为直观地表示出各成分在总体中所占的百分比，最合适的统计图是扇形统计图， 故答案为： 扇形． 9. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 若分式有意义，则的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 10. 给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【答案】① 【解析】 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 11. 题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知 ，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是________________． 解：设甲每小时做个， 由题意得： …… 【答案】乙每小时比甲多做6个 【解析】 【分析】根据方程中左右两个代数式的含义即可解答． 【详解】解：∵表示甲做30个用的时间，表示乙做45个用的时间， ∴被墨迹弄污的条件乙每小时比甲多做6个， 故答案为：乙每小时比甲多做6个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 12. 比较大小：________．（填>，<，=） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，首先比较出和的平方的大小关系，然后根据：哪个数的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，两条宽度分别为2和6方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形，若，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质．根据面积法求得是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法． 根据题意判定四边形是平行四边形．如图，过点A作于点E，过点A作于点F，利用面积法求得． 【详解】解：依题意得：，则四边形是平行四边形． 如图，过点A作于点E，过点A作于点F， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：3． 14. 若分式方程有增根，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， 分式方程有增根， ， ， 把代入， 得， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 15. 已知是的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则_____________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵，， ∴每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题．过点E作于点，取的中点，连接，，根据证明，可得，所以再证明，然后根据直角三角形性质可得，当共线时，有最小值，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点，取的中点，连接，， ∵四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 当共线时，有最小值， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先把括号内的二次根式化为最简二次根式，然后合并，再算乘法即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）先化简，再求值：，其中x＝； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）无解 【解析】 【分析】（1）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将的值代入，分母有理化即可得； （2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得． 【详解】解：（1）原式 ， 将代入得：原式； （2）， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，不是分式方程的解， 故方程无解． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、解分式方程，熟练掌握分式的运算法则和分式方程的解法是解题关键． 19. 某校在全校范围内随机抽取了一些学生进行“我最喜欢的球类运动”调查，将调查结果整理后绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据图中的信息，解答下列各题： （1）在本次调查中，一共抽取了__________名学生，在扇形统计图中，羽毛球对应的圆心角为__________度； （2）请补全条形统计图； （3）统计发现，该校“最喜欢篮球”的人数与“最喜欢足球”人数大约相差240人，请估计全校总人数． 【答案】（1）40，72 （2） 如图， （3）1200人 【解析】 【分析】（1）用随机抽取了一些学生中“最喜欢篮球”的人数除以所占百分比即可得到抽取的总人数，用羽毛球的百分比乘以即可得到羽毛球对应的圆心角度数； （2）先计算出随机抽取了一些学生中最喜欢足球的人数，再补全条形统计图即可； （3）用“最喜欢篮球”的人数与“最喜欢足球”人数大约相差的人数除以两者百分比的差即可得到全校总人数． 【小问1详解】 解：， 即在本次调查中，一共抽取了名学生； 在扇形统计图中，羽毛球对应的圆心角为； 故答案为： 【小问2详解】 随机抽取了一些学生中最喜欢足球的人数为（人）， 【小问3详解】 最喜欢篮球的占，最喜欢足球的占， 所以全校总人数为（人）． 【点睛】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，读懂题意和准确计算是解题的关键． 20. 列分式方程解应用题： 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少原料? 【答案】答：A种机器人每小时搬运原料，B种机器人每小时搬运原料． 【解析】 【分析】设B种机器人每小时搬运原料，则A种机器人每小时搬运原料，由题意：A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设B种机器人每小时搬运原料，则A种机器人每小时搬运原料， 根据题意得：， 解方程，得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ， 答：A种机器人每小时搬运原料，B种机器人每小时搬运原料． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 21. 某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值． x 2 3 4 6 y 72 48 36 24 （1）求y与x的函数表达式； （2）若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？ 【答案】（1） （2）8万只 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据得出每时生产口罩的数量与时间的积一定，即可得出反比例函数解析式； （2）把y＝18代入，可得，再根据反比例函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每小时生产口罩的数量与时间成反比例， ∴． ∴y与x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：把y＝18代入，得：， 解得：， ∵144>0， ∴当x>0时，y随x的增大而减小， ∴每小时至少需要生产8万只口罩． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数关系式是解题关键． 22. 如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点． （1）求直线的解析式； （2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）当或时，；当时， （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数， ∴， ∴ 将点代入 ∴， 将，代入，得 解得：， ∴ 【小问2详解】 ∵，， ∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴当或时，， 当时，根据图象可得， 综上所述，当或时，；当时，， 【小问3详解】 根据图象可知，，，当时， 或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 23. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，． ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为______； （2）当时，的最小值为______； （3）当时，的最小值为______； （4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为8和18，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1）2 （2）6 （3）2 （4）50 【解析】 【分析】（1）仿照阅读中的方法解答即可； （2）原式变形为，再仿照阅读中的方法解答即可； （3）原式变形为，再仿照阅读中的方法解答即可； （4）设的面积分别为x，y，根据等高三角形的性质，可得，从而得到，再由四边形的面积为，再仿照阅读中的方法解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 当且仅当，取等号， 即当时，的最小值为2； 故答案为：2 【小问2详解】 解：根据题意得：， 当且仅当，取等号， 即当时，的最小值为6； 故答案为：6 【小问3详解】 解：， 当且仅当，取等号， 即当时，的最小值为2； 故答案为：2 【小问4详解】 解： 设的面积分别为x，y， ∵的边的高相同， ∴， 同理， ∴， ∵的面积分别为8和18， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 当且仅当，取等号， ∴四边形的面积的最小值为50． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题． 24. 如图，在矩形ABCD中，，，E是AB上一点，连接CE，现将向上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处． （1）当点P落在CD上时，_____；当点P在矩形内部时，BE的取值范围是_____． （2）当点E与点A重合时：①画出翻折后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；②连接PD，求证：； （3）如图，当点Р在矩形ABCD的对角线上时，求BE的长． 【答案】（1）12，0＜BE＜12； （2）①补全图形如图2所示， ②证明：当点E与点A重合时，如图3，连接PD，设CD交PA于点O． 由折叠得，AB=AP=CD， 在△ADC与△CPA中， ， ∴△ADC≌△CPA， ∴∠PAC=∠DCA， 设AP与CD相交于O，则OA=OC， ∴OD=OP，∠ODP=∠OPD， ∵∠AOC=∠DOP， ∴∠OAC=∠OPD ∴PD∥AC； （3）6或9． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得到推出△BCE是等腰直角三角形，即可得到结论； （2）①由题意画出图形即可； ②根据全等三角形的性质得到∠PAC=∠DCA，设AP与CD相交于O，于是得到OA=OC，求得∠OAC=∠OPD，根据平行线的判定定理得到结论； （3）分两种情形，当点P在对角线AC或对角线BD上时，两种情形分别求解即可． 【详解】解：（1）当点P在CD上时，如图1， ∵将∠B向右上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处， ∴∠BCE=∠ECP=45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE=BC=AD=12， 当点P在矩形内部时，BE的取值范围是0＜BE＜12； 故答案为12，0＜BE＜12； （2）①略 ②略 （3）如图4中，当点P落在对角线AC上时， 由折叠得，BC=PC=12，AC= =20， ∴PA=8，设BE=PE=x， 在Rt△APE中，（16-x）2=x2+82， 解得x=6． ∴BE=6． 如图5中，当点P落在对角线BD上时，设BD交CE于点M． 由折叠得，BE=PE，∠BEC=∠PEC， ∵EM=EM， ∴△MBE∽△MEP， ∴∠EMB=∠EMP， ∵∠EMB+∠EMP=180°， ∴EC⊥BD， ∴∠BCE=∠ABD， ∵∠A=∠ABC=90°， ∴△CBE∽△BAD， ∴ ， ∴ ， ∴BE=9， 综上所述，满足条件的BE的值为6或9． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理折叠的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $