22.1.2二次函数y=ax²的图像和性质 知识点梳理+专题训练+优化提高+历年真题训练　2025-2026学年人教版数学九年级上册

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 二次函数y = a的图像与性质 教学目标 1、 理解二次函数y = a的图像与性质 2、 运用图像性质判别二次函数增减性 3、 理解并运用二次函数图像与性质求取最值 知识网络： 二次函数y = ax²的图像与性质 知识精讲： 二次函数y = ax²的图像 二次函数y = ax²的性质 问题定位 例1 题类： 二次函数基本概念问题 如果抛物线y=（1一m）x²有最低点，则m的取值范围是（ ） A. m > 0 B. m < 0 C. m > 1 D. m < 1 例2 题类： 根据二次函数的图像判断性质 已知抛物线y=（a－3）x²开口向下，则a的可能取值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 例3 题类： 已知二次函数增减性求参 二次函数y = a有最低点，则a = . 例4 题类： 判断二次函数的图像性质 如图所示，在同一坐标系中，作出①y = 3x²；②y = x²；③y = x²的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 （填序号） 例5 题类： 已知二次函数的增减性求参 二次函数y= m在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，m = . 例6 题类： 根据二次函数性质求取二次函数解析式；判断函数增减性 一个二次函数，它的图像的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（-1，） （1）求这个二次函数的解析式， （2）根据图像指出，当x > 0时，若x增大，y怎么变化？当x < 0时，若x增大，y怎样变化？ （3）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少? 优化提高 【变式1】下对于y = ax²(a≠0)的图象，下列叙述正确的是（ ） A． a越大开口越大，a越小开口越小 B．a越大开口越小，a越小开口越大 C．|a|越大开口越大，|a|越小开口越小 D．|a|越大开口越小，|a|越小开口越大 【变式2】 二次函数= mx²、 = nx²的图象如图所示，则m n（填“>"或“<"）. 【变式3】 已知抛物线y = ax²(a > 0)过A ( -2，)、B (1，)两点，则下列关系式一定正确的是（ ） A. > 0 > B. > 0 > C. > > 0 D. > > 0 【变式4】 二次函数y = ax²与y= ax + b（a>0，b>0）在同一坐标系中的大致图象是（ ） 【变式5】已知函数y = (m+2)是关于x的二次函数，求: （1）满足条件m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小. 历年真题训练 真题1 题类：二次函数平移性质：上加下减，左加右减 （2024年番禺区九上期末卷）将抛物线y= 3x²向右平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ） A. y = 3x²+ 2 B.y = 3( x + 2 )² C.y= 3( x - 2 )² D.y= 3x²-2 真题2 题类： 二次函数平移性质：上加下减，左加右减 （2024年荔湾区九上期末）将抛物线y = x²向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为 . 真题3 题类： 二次函数平移性质：上加下减，左加右减 （2024年广州第二中学九上期中卷）将抛物线y = x²先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线是（ ） A.y =（x-2）²+3 B.y =（x-3）²+2 C.y =（x+2)²+3 D.y =（x-3）²-2 真题4 题类：根据二次函数的图像判断性质 （2024年广州第二中学九上期中卷）已知抛物线y = ax²的开口方向向下，则a的取值范围为 . 真题5 题类： 根据二次函数的增减性比较大小 （2024年荔湾区广雅中学九上期中卷）已知点A（1，），B（2，）C（- 3，）都在二次函数y = - 2x²+4的图象上，则（ ） A. > > B. > > C. > > D. > > 真题6 题类：根据二次函数性质求参 （2024年广州天河区113中学九上期中卷）若抛物线y=（m+1）的开口向上，则m的值为（ ） A.2 B. - 2 C. ±2 D.1 答案： 二次函数的概念 问题定位 例1.D 例2.A 例3. 2 例4. ①③② 例5. - 例6.解：（1）由题意得：设二次函数解析式为：y=ax² 将（-1，）代入得：a = ∴ 二次函数解析式为：y = x² （2） 当x>0时，y随x的增大而增大； 当x<0时，y随x的增大而减小 （3） ∵ a = > 0 ∴ y有最小值 当x = 0时， = 0 优化提高 【变式1】 D 【变式2】 > 【变式3】 C 【变式4】 5 【变式5】 解:（1）由题意得：m+2≠0 m≠- 2 m²+ m - 4 = 2 解得：= - 3 = 2 （2） 当m = 2时，抛物线有最低点，最低点坐标为（0，0） 当x>0时，y随x的增大而增大 （3） 当m = -3时，抛物线有最大值，最大值为0， 当x>0时，y随x的增大而减小 历年真题训练： 真题1：C 真题2：y = （x + 1）²+2 真题3：B 真题4：a<0 真题5：C 真题6：A 学科网（北京）股份有限公司 $$