精品解析：河南省安阳市2023-2024学年下学期创新人才选拔测评九年级数学试卷

绝密★启用前 2023-2024学年创新人才选拔测评（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 年初春，全国范围内迎来了大降雪，“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，这是唐代诗人岑参描写雪花最新奇的诗句．据悉单片雪花很轻，只有kg左右，用科学记数法可以表示为（　　）（ ） A. B. C. D. 3. 已知，那么的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 0没有平方根 B. 两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是个无理数 C. 无理数可以用分数来表示，例如 D. 任意一个无理数的绝对值都是正数 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. 16 C. D. 20 8. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小： __________填“”“”或“” 12. 写出一个系数是﹣1，次数是3的单项式_____________． 13. 若不等式组无解，则的取值范围是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，C为的中点，当的周长最小时，点P的横坐标为________． 15. 如果关于x的方程2无解，则a的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算． （1）； （2）． 17. 先化简：，再从中选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 18. 阅读与思考： 若，，则由完全平方公式可得：．请根据你的理解完成下列计算： 已知，．求代数式的值． 19. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、B两点．已知点A的坐标为． （1）求直线AB的解析式及反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 20. “三分天下诸葛亮，一通天下刘伯温”．如图是三国时期诸葛亮躬耕地卧龙岗，为更好地了解历史文化，某学校准备去此地参观，甲、乙两家旅行社原价都是每人30元，且都对学生优惠．甲旅行社表示：全部八折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人，全部九折收费；若人数超过30人，则超过部分按五折收费，未超过部分按原价收费． （1）分别写出甲、乙两家旅行社实际收取的总费用y（元）与参加学习的学生人数x（人）之间的函数关系式； （2）试讨论选择哪家旅行社较合算． 21. 大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为元件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同．若设每月的销售量为件，售价为元件，每月的总利润为元． （1）当售价在元件时，每月的销售量都为件，则此时每月的总利润最多是多少元？ （2）当售价在元件时，每月的销售量与售价的关系如图所示．小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠为整数元，若要保证小丽每月获利仍随的增大而增大，请你帮她计算的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大． 22. 操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点． （1）在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是 ； ②方程的根是 （结果保留一位小数）； ③当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ； ④当时，函数值，直接写出n的取值范围 ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值； （3）若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2023-2024学年创新人才选拔测评（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根定义是解题的关键． 根据算术平方根定义求解即可． 【详解】解：， 的算术平方根是． 故选：B． 2. 年初春，全国范围内迎来了大降雪，“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，这是唐代诗人岑参描写雪花最新奇的诗句．据悉单片雪花很轻，只有kg左右，用科学记数法可以表示为（　　）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：． 故选：A． 3. 已知，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可，解题的关键是正确理解几个非负数的和为时，则这几个非负数都为． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 4. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方分别计算后即可判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 0没有平方根 B. 两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是个无理数 C. 无理数可以用分数来表示，例如 D. 任意一个无理数的绝对值都是正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根、无理数、绝对值，根据平方根、无理数、绝对值的定义逐一判断即可求解，理解无理数的概念是解答的关键． 【详解】解：A．0的平方根是0，则错误，故不符合题意； B．两个整数相除，而循环小数是有理数，则错误，故不符合题意； C．无理数不可以用分数来表示不是分数，则错误，故不符合题意； D．任意一个无理数的绝对值都是正数，则正确，故符合题意． 故选：D． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与判别式的求解，熟练掌握一元二次方程的性质是解决本题的关键． 根据一元二次方程的定义可先得，再根据一元二次方程有实数根，即判别式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∵该方程有实数根， ∴， 即，解得， ∴的取值范围是且． 故选：C ． 7. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. 16 C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出本题中，，再将变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：是方程的两个根， ，， ， 故选：C． 8. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，根据题意得，进而可求解，熟练掌握：“被开方数是非负的”和“分母不为0”是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 解得：， 所以x的取值范围是． 故选A． 9. 如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的判定，延长交轴于点，求出，然后证明四边形，四边形，四边形是矩形，又点在反比例函数图象上，则，再通过，即，求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点， ∵点的坐标为在反比例函数上， ∴， ∵轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点， ∴轴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形是矩形， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， 故选：． 10. 如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断①②，由对称轴是直线，且与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，当时，可判断③；由当时，函数有最大值，可判断④；由及，可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的对称轴在负半轴， ， ， ，故①正确． 即，故②正确． 抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零， 与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2， 当时，函数值小于零， 即，故③正确． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大， 当时，， 当时，， ， 所以，故④正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， ， 所以，故⑤正确． 综上所述：正确的有 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小： __________填“”“”或“” 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 12. 写出一个系数是﹣1，次数是3的单项式_____________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可解答． 【详解】解：系数是-1、次数是3的单项式，如：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式系数、次数的定义，掌握单项式的系数和次数的确定方法是解答本题的关键． 13. 若不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解：， 由①得， 又∵，且不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，C为的中点，当的周长最小时，点P的横坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数解析式．由题意知，，如图，作关于轴的对称点，连接，，则，，由的周长为，可知当三点共线时，的周长最小，直线与轴的交点即为点P，待定系数法求直线的解析式为，当时，，计算求解即可得点P的横坐标． 【详解】解：由题意知，， 如图，作关于轴的对称点，连接，， ∴，， 的周长为， ∴当三点共线时，的周长最小，直线与轴的交点即为点P， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴点P的横坐标为， 故答案为：． 15. 如果关于x的方程2无解，则a的值为______． 【答案】1或2． 【解析】 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】去分母得：ax﹣1=2(x﹣1) ax﹣2x=﹣1， (a﹣2)x=﹣1， 当a﹣2=0时，∴a=2， 此时方程无解，满足题意， 当a﹣2≠0时，∴x， 将x代入x﹣1=0， 解得：a=1， 综上所述：a=1或a=2． 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂及绝对值、整式的混合运算： （1）先计算负整数指数幂、立方根及绝对值，再进行加减即可求解； （2）先去括号，再合并，再算除法即可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 17. 先化简：，再从中选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 又且x为整数， ∴取， ∴当时，原式． 18. 阅读与思考： 若，，则由完全平方公式可得：．请根据你的理解完成下列计算： 已知，．求代数式的值． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是关键，根据完全平方公式得出，代入已知数据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 19. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、B两点．已知点A的坐标为． （1）求直线AB的解析式及反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求函数解析式： （1）利用待定系数法即可求解； （2）联立方程组求得或，则可得，设直线与轴相交于点，根据可求得，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把点代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． 【小问2详解】 联立方程组得：， 解得：或， ， 设直线与轴相交于点， 如图： ， ， ， 点的坐标为或． 20. “三分天下诸葛亮，一通天下刘伯温”．如图是三国时期诸葛亮躬耕地卧龙岗，为更好地了解历史文化，某学校准备去此地参观，甲、乙两家旅行社原价都是每人30元，且都对学生优惠．甲旅行社表示：全部八折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人，全部九折收费；若人数超过30人，则超过部分按五折收费，未超过部分按原价收费． （1）分别写出甲、乙两家旅行社实际收取的总费用y（元）与参加学习的学生人数x（人）之间的函数关系式； （2）试讨论选择哪家旅行社较合算． 【答案】（1）， （2）当选择甲旅行社较合算；当时，选择两个旅行社一样合算；当时，选择乙旅行社较合算． 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次不等式的实际应用： （1）根据题意列式求解即可； （2）根据（1）所求当时，选择甲旅行社较合算；然后分当时，若，当时，若，当时，若，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 当时，， 当时，； ∴ 【小问2详解】 解：当时，选择甲旅行社较合算； 当时，若，则， ∴当时，选择乙旅行社较合算； 当时，若，则， ∴当时，选择两个旅行社一样合算； 当时，若，则， ∴当时，选择甲旅行社较合算； 综上所述，当选择甲旅行社较合算；当时，选择两个旅行社一样合算；当时，选择乙旅行社较合算． 21. 大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为元件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同．若设每月的销售量为件，售价为元件，每月的总利润为元． （1）当售价在元件时，每月的销售量都为件，则此时每月的总利润最多是多少元？ （2）当售价在元件时，每月的销售量与售价的关系如图所示．小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠为整数元，若要保证小丽每月获利仍随的增大而增大，请你帮她计算的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大． 【答案】（1）1200元 （2）的最小值是，此时售价为元时，她每月获利最大． 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． （1）根据题意得出总利润，再由一次函数的性质即可求解； （2）根据题意当售价在元时，设每月销售量，确定函数解析式为，再确定利润的函数关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当售价在元时，总利润， ， 当时，总利润最多，为元， 每月的总利润最多是元； 【小问2详解】 当售价在元时，设每月销售量， ， 解得 每月销售量， 每月的总利润， 二次函数的对称轴为直线， ，且要保证小丽每月获利仍随的增大而增大， ， 解得， 的最小值是， 此时， 当时，取得最大值，最大值为元， 的最小值是，此时售价为元时，她每月获利最大． 22. 操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点． （1）在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是 ； ②方程的根是 （结果保留一位小数）； ③当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ； ④当时，函数值，直接写出n的取值范围 ． 【答案】（1） 图象如图， （2）①；②或；③；④ 【解析】 【分析】（）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可； 此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 列表： 描点，连线，如图， 【小问2详解】 根据图象可知，当函数值时，自变量x的取值范围是， 故答案为：； 由得，， 方程的根可以看作是函数与x轴交点， 通过图象可知函数与x轴交点近似为， 或， 故答案为：或； 根据图象可知，当时，随的增大而增大， 当时，y随x的增大而增大， 则m的取值范围是， 故答案为：； 根据图象可知， 则的取值范围是． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值； （3）若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）面积的最大值为 （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）求出直线与抛物线的交点的坐标，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点坐标为，由此用含的式子表示的面积，结合二次函数的最值计算方法即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时；当时；由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴， ∵抛物线与轴交于点和， ∴， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，直线的解析式为：， 联立方程组， 解得或， ∴，， 过点作轴的平行线交于点，交轴于点， 设点坐标为， ∴点， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值． ∴面积的最大值为； 【小问3详解】 解：令，则， ∴点坐标为， 令，则， 解得， ∴点坐标为， 若抛物线与线段有公共点， 当时，如图所示， 则， 解得； 当时，如图所示： 则， 解得； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象与一次函数图象的综合，二次函数的最值问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $