精品解析：广东省中山市小榄中学2023-2024学年高二上学期第一次段考数学试题

小榄中学2023-2024学年高二上学期第一次段考 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，已知空间四边形，，分别是，的中点，则等于（ ）． A. B. C. D. 2. 平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. 3. 在空间直角坐标系中，记点关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则线段中点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等比数列，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 或3 D. 3 6. 已知等比数列的前n项和为．若，则（ ） A. 13 B. 16 C. 9 D. 12 7. 甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客行动不便，希望座位靠过道．已知高铁二等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是（ ） 窗口 1 2 过道 3 4 5 窗口 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … A. 21，28 B. 22，29 C. 23，39 D. 24，40 8. 在数列中，，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则数列为等差数列 B. 若，则数列为等比数列 C. 若数列是等差数列，则，，成等差数列 D. 若数列是等比数列，则，，成等比数列 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥； B. 若非零向量，，满足，，则有∥； C. 若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； D. 若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底； 11. 如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（　　） A. B. 与平面所成角的正弦值为 C. 二面角的余弦值为 D. 平面截正方体所得的截面周长为 12. 著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记Sn为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知空间向量的夹角为，，则________ 14. 已知数列的前n项和为，通项公式，则________． 15. 已知等差数列，前项和分别为和，若，则=__________． 16. 在空间直角坐标系中，点满足：，平面过点，且平面的一个法向量，则点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于__________. 四､解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 根据下列各题条件，求相应的未知数 （1）已知等差数列{an}，，求及； （2）等比数列{an}中，，求及． 18. 已知向量. （1）求； （2）求在方向上的投影向量. 19. 如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. （1）求点到直线的距离 （2）求点到平面的距离. 20. 已知数列满足，且且 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 21. 如图，四边形ABCD是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧DC，AB上的一点，EFAD，点G，H均为所在线段的中点，且AB=AD=6，∠FBA=60°． （1）证明：DG平面CFH； （2）求二面角C－HF－E的大小． 22. 等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式. （2）记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列?若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小榄中学2023-2024学年高二上学期第一次段考 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，已知空间四边形，，分别是，的中点，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量加法的平行四边形法则可知，再利用向量加法的三角形法则，即可得出结果. 【详解】解：如图所示，，分别是，的中点， 连接，， 则， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量的加法运算以及向量加法的三角形法则和平行四边形法则，属于基础题. 2. 平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】由空间向量可得：， ， 所以 故选：A 3. 在空间直角坐标系中，记点关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则线段中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出点N，点P坐标，再借助中点坐标公式即可得解. 【详解】依题意，点关于轴的对称点的坐标为，关于平面的对称点为， 所以线段中点坐标为. 故选：D 4. 已知是等比数列，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列中等比中项的性质，将等式化简，即可由各项大于0得解. 【详解】由等比数列性质可知， 可化为， 即， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列中等比中项性质的简单应用，属于基础题. 5. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 或3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，再根据，可得，利用坐标运算，列出方程，即可求出结果. 【详解】由题意可知，； 因为，所以 所以 所以或3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量垂直的坐标运算，属于基础题. 6. 已知等比数列的前n项和为．若，则（ ） A. 13 B. 16 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可得仍成等比数列，得到，即可求解. 【详解】设，则， 因为为等比数列，根据等比数列的性质， 可得仍成等比数列. 因为，所以， 所以，故. 故选：A 7. 甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客行动不便，希望座位靠过道．已知高铁二等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是（ ） 窗口 1 2 过道 3 4 5 窗口 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … A. 21，28 B. 22，29 C. 23，39 D. 24，40 【答案】A 【解析】 【分析】根据两位乘客的要求用数列的通项分别表示座位号特点，从而可得答案. 【详解】解：左侧窗口的座位号可以构成以1为首项，5为公差的等差数列，其通项为， 靠右侧窗口的座位号可以构成以5为首项，5为公差的等差数列，其通项为； 左侧过道的座位号可以构成以2为首项，5为公差的等差数列，其通项为， 右侧过道的座位号可以构成以3为首项，5为公差的等差数列，其通项为； 则符合甲旅客要求的是，；符合乙旅客要求的是，； 所以座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是21，28. 故选：A. 8. 在数列中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对变形可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，即可得解. 【详解】在中，， 由可得， 所以为以为首项，公差为的等差数列， 所以， 所以， 故选：A. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则数列为等差数列 B. 若，则数列为等比数列 C. 若数列是等差数列，则，，成等差数列 D. 若数列是等比数列，则，，成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，C，利用等差数列的定义判断即可，对于B，D，通过举反例判断 【详解】对于A，由等差数列的定义可知当时，数列为等差数列，所以A正确； 对于B，当时，满足，但数列不是等比数列，所以B错误； 对于C，数列是等差数列，数列的前项和为， 则， ， 所以， 所以，，成等差数列，所以C正确； 对于D，当等比数列的公比， 当为偶数时，，，均为零， 所以，，不成等比数列，所以D错误， 故选：AC. 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥； B. 若非零向量，，满足，，则有∥； C. 若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； D. 若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底； 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可 【详解】对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确， 对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误， 对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确， 对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确， 故选：ACD 11. 如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（　　） A. B. 与平面所成角的正弦值为 C. 二面角的余弦值为 D. 平面截正方体所得的截面周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用坐标法，对A，由向量数量积与垂直的关系即可判断；对B，由向量法求线面角；对C，由向量法求面面角；对D，分析得，则平面AEF截正方体所得的截面为四边形，即可根据几何关系求周长， 【详解】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ， 对A， ，，故与不垂直，A错； 对B，，设平面AEF的法向量为，则，令，则有， 设与平面AEF所成角为，则，B对； 对C，平面EFC的一个法向量为，则，∴二面角的余弦值为，C错； 对D，由，，可得，平面AEF截正方体所得的截面为四边形， 则有，故平面AEF截正方体所得的截面周长为，D对. 故选：BD. 12. 著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记Sn为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不正确； ，，，，，， 所以 ， 所以，故正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知空间向量的夹角为，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算作答. 【详解】由空间向量的夹角为，，得， 所以. 故答案为： 14. 已知数列的前n项和为，通项公式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将奇数项和偶数项分别求和即可得出答案. 【详解】解：由 得： ． 故答案为：-51. 15. 已知等差数列，前项和分别为和，若，则=__________． 【答案】 【解析】 【详解】 故答案为 16. 在空间直角坐标系中，点满足：，平面过点，且平面的一个法向量，则点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，点在球面上，所以点P在平面上所围成的封闭图形即为平面截球面所得的截面圆，根据球的截面性质求出截面圆的半径即可求解. 【详解】解：由题意，点在以为球心，半径为4的球面上， 所以点P在平面上所围成的封闭图形即为平面截球面所得的截面圆， 因为平面的方程为，即， 所以球心到平面的距离为， 所以截面圆的半径，截面圆的面积为， 所以点P在平面上所围成的封闭图形的面积等于. 故答案为：. 四､解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 根据下列各题条件，求相应的未知数 （1）已知等差数列{an}，，求及； （2）等比数列{an}中，，求及． 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的性质，求出首项，即可求它的通项公式, (2)根据等比数列的性质，求出公比，即可求它的通项公式, 【详解】(1) ， ，． (2) ,所以. 18. 已知向量. （1）求； （2）求在方向上的投影向量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量夹角余弦公式进行求解，得到答案； （2）利用求解即可. 【小问1详解】 已知向量 则， ， 所以 【小问2详解】 由（1）知则，， 所以在方向上的投影向量为 . 19. 如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. （1）求点到直线的距离 （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和在上的投影长，利用点到直线公式，即可求出点到直线的距离； (2)先求出平面的法向量，再利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 由题可知两两相互垂直， 如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又分别是棱的中点，，得 因为 所以在上的投影长为 所以点到直线的距离为 【小问2详解】 由知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 20. 已知数列满足，且且 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1），两边同时除以，可得 ，又 数列是以为首项，以1为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）利用，两边同除，结合等差数列的定义，即可证明数列是等差数列； （2）求出数列的通项公式，即可求出数列的通项公式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知 . 【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用构造法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 21. 如图，四边形ABCD是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧DC，AB上的一点，EFAD，点G，H均为所在线段的中点，且AB=AD=6，∠FBA=60°． （1）证明：DG平面CFH； （2）求二面角C－HF－E的大小． 【答案】（1） 证明：取中点O，连接，，∵G为中点，∴， ∵H为中点，∴，∴，∴四边形为平行四边形 ， ∴，∵平面，平面，∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点O，连接，，利用中位线构造平行四边形，由线面平行的判定定理可进一步证明线面平行. （2）解析一：建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的公式代入即可求出答案. 解析二：由题意可证得：平面，过E作于点M，连接，即为所求二面角平面角，分别求出，由，代入即可求出的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解析一：如图建立空间直角坐标系，， ∴ 设平面的一个法向量 ∴ 平面的一个法向量，设二面角的平面角为 显然为锐角，∴， ∴二面角大小为． 解析二：∵面，，又因为，，，所以，所以平面，过E作于点M，连接， ∴即为所求二面角平面角，，，， ∴ ∴． 22. 等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式. （2）记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列?若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由题意可知，有两种组合满足条件. ①，此时等差数列中，，公差d=4， 所以数列的通项公式为 . ②，此时等差数列中，，公差d=2， 所以数列的通项公式为. （2） 若选择①，， 则 . 若成等比数列，则， 即，整理得，即 此方程无正整数解，故不存在正整数，使成等比数列. 若选择②，， 则. 若成等比数列，则， 即，整理得， 因为k为正整数，所以 . 故存在正整数 ，使得成等比数列. 【解析】 【分析】（1）根据题意，满足的组合有和两种情况，进而选择一种，求解即可； （2）结合（1）中的组合，求得，再根据等比中项求解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $