精品解析：福建省厦门双十中学2025-2026学年高三上学期开学阶段检测（二）数学试题

厦门双十中学2026届高三上学期开学阶段检测（二） 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自已的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的递增区间是 B. 的递减区间是 C. 的递增区间是 D. 的递增区间是 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 30 B. 58 C. 60 D. 90 5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是互不相同锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为.下列命题正确的是（ ） A. 当时，为四边形 B. 当时，为等腰梯形 C. 当时，为六边形 D. 当时，的面积为 11. 如果函数满足两个条件：①有且仅有两个不相等的极值点，，②点，与原点三点共线（三点互不重合），且该直线斜率为，那么我们称为具有“线性”.已知函数，且，下列说法正确的是（ ） A. 若，则具有“线性” B. 存在实数，使得具有“线性” C. 若具有“线性”，则 D. 若具有“线性”，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则的最小值为________． 13. ____________． 14. 已知圆与轴交于，两点，点在圆上，则的取值范围为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0001 3.841 6.635 10.828 16. 的内角所对的边分别为，， （1）求角的大小; （2）若，的延长线交于点，且，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面直角梯形，其中，，. （1）求B点到平面的距离. （2）线段上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. （1）求C的方程； （2）若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 19 已知函数，. （1）若，求函数最小正周期与单调区间； （2）若对于任意，恒有，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门双十中学2026届高三上学期开学阶段检测（二） 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自已的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出根式不等式与一元二次不等式的解集，从而得到集合，然后由交集的运算求解即可. 【详解】， ， 所以， 故选：A. 2. 抛物线准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得结果. 【详解】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B. 【点睛】方法点睛：归纳总结 标准方程 焦点坐标 准线方程 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的递增区间是 B. 的递减区间是 C. 的递增区间是 D. 的递增区间是 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，然后根据时的单调性得到函数在上的单调性. 【详解】因为函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是定义在上的奇函数， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为是定义在上的奇函数， 所以的单调增区间为，单调减区间为和 故选：D 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A 30 B. 58 C. 60 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】借助等差数列片段和的性质计算即可得. 【详解】由数列为等差数列， 故、、、、亦为等差数列， 由，，则， 故，，， 即有，，. 故选：D. 5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可. 【详解】 如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， 则，，解得，， 又，， 设上底面面积为，下底面面积为， 所以圆台的体积. 故选：B. 6. 已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的图象与直线交点的横坐标，即为的零点，因此作出函数的图象，直线，由它们有三个交点可得出的范围，的关系，从而求得结论． 【详解】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点， 由于，，因此，，， 而，即，所以， 所以， 故选：B． 7. 已知非零向量与满足，且，点是边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D 8. 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有， 同理，， 故， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设，则， 由排列不等式可得： ， 而， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或排序进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质、结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 10. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为.下列命题正确的是（ ） A. 当时，为四边形 B. 当时，为等腰梯形 C. 当时，为六边形 D. 当时，的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意作出满足题意的截面，由线面、面面的位置关系对四个选项逐一判断即可得解. 【详解】选项A，如图1，当时，可在上取到点满足， 可得截面为四边形，所以A正确； 选项B，如图2，当时，即为中点，此时，， 可得截面为等腰梯形，所以B正确； 选项C，如图3，当时，此时的截面为五边形，所以C错误； 选项D，如图4，当时，点与点重合，取的中点， 连接，可证，且， 则截面为菱形，其面积为， 即的面积为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如果函数满足两个条件：①有且仅有两个不相等的极值点，，②点，与原点三点共线（三点互不重合），且该直线斜率为，那么我们称为具有“线性”.已知函数，且，下列说法正确的是（ ） A. 若，则具有“线性” B. 存在实数，使得具有“线性” C. 若具有“线性”，则 D. 若具有“线性”，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，即可根据斜率关系求解A，举反例即可求解B，根据具有“线性”，可求导，根据韦达定理，结合 “线性”列式子即可求解CD。 【详解】由题意，可知函数有且仅有两个不相等的极值点. 对于，由，解得，， 则，故，与原点三点共线， 可得具有“线性”，A正确； 对于B，若，，解得，， 则在函数图象中，点在轴上， 此时与原点的斜率不存在， 故此时不存在实数，使得具有“线性”，B错误； 易知，由于具有“线性”， 则，是两个不同的极值点，故，是的两个不相等的实数根， 则，，且，有. 设，即（*）， 两式相减得， 即，即，则，C正确； 将（*）变形为 两式相减得， 即， 即，求得，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式、一元二次不等式求得的最小值. 【详解】，当且仅当时等号成立， ，， ，所以的最小值为. 故答案为： 13. ____________． 【答案】 【解析】 【分析】变形得，再分组求和，结合等比数列求和公式得到答案. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 14. 已知圆与轴交于，两点，点在圆上，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设，，，可得点在以，为焦点的椭圆（方程为）上，将问题转化为该椭圆与圆有公共点；解法一：代数法，联立椭圆与圆的方程结合二次函数性质分类讨论求解即可；方法二：几何法：当该椭圆内切于圆时，取到最小值，当椭圆与圆相切于下顶点时，取到最大值，计算即可求解. 【详解】依题意，由图象对称性可设，，， 则点在以，为焦点的椭圆（方程为）上， 问题可以转化为该椭圆与圆有公共点. 法1（代数法）：联立椭圆与圆的方程可得，则该方程在上有解， 令， 由，解得，此时，且，， 函数的图象开口向上，当时，，，不合题意； 当时，，，根据零点存在定理，满足条件； 当时，，且，有，满足条件， 综上，可知，故的取值范围为. 法2（几何法）：如下图，当该椭圆内切于圆时，取到最小值， 根据法1中的二次方程， 由图象对称性可知， 解得，此时满足条件，则最小值为. 结合图象，可知当椭圆与圆相切于下顶点时，取到最大值， 此时，，则的最大值为. 综上可知，的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 16. 的内角所对的边分别为，， （1）求角的大小; （2）若，的延长线交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解， （2）根据重心的性质可得，即可利用向量的线性运算以及模长公式可得，结合余弦定理可得，即可根据面积公式求解 【小问1详解】 ，，， 所以原式可化为， 由正弦定理得：，由余弦定理得：， 【小问2详解】 设中点为，则， 且三点共线， 同理可得点为三条中线的交点，点为的重心， 为中点，， ，平方得：， ①， 又由余弦定理得：，即② 由①②得：， 17. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，. （1）求B点到平面的距离. （2）线段上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）点Q存在，. 【解析】 【分析】（1）取的中点O，连接，，可以证明PO⊥平面，，故可建立空间直角系，计算出平面的法向量及后，可得B点到平面的距离． （2）设，用表示的坐标，从而平面的法向量也可以用表示，根据二面角的余弦值为，可得到的值从而得到． 【小问1详解】 取的中点O，连接，，因为，所以， 又侧面底面，交线为AD，平面，所以平面． 又在直角梯形中，易得，建立如图示空间直角坐标系. 则，，，，； ，，， 设平面的法向量为， 则且，取得 所以B点到平面的距离. 【小问2详解】 假设Q存在，设（） 因为，所以，，， 设平面的法向量为，则且， 即且， 令，则，即， 又是平面的一个法向量 因为二面角的余弦值为， 所以，即， 所以．所以或（舍去）， 所以，，， 故点Q存在，且. 【点睛】方法点睛：（1）空间中一点到平面的距离可由空间向量来计算，在平面中取一点，则． （2）与线段上的动点相关的问题，如果用空间向量来解决，则需设，因为此时的坐标是关于的一次式，这样的形式便于计算． 18. 已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. （1）求C的方程； （2）若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角得到，由焦点到渐近线方程的距离得到，，得到双曲线方程； （2）（ⅰ）直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由根的判别式及得到不等式，求出，再利用直线与圆相交得到不等式，求出，直线AB的斜率，从而得到直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）由弦长公式和垂径定理得到，其中，设，，从而得到. 【小问1详解】 因为C的一条渐近线的倾斜角为，所以，， 则C的一条渐近线的方程为， 因为， 所以右焦点到渐近线的距离为， 所以，，所以C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，，设，， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为， 与联立得， 所以，，，， 又A，B两点在x轴同一侧，所以.此时，即. 又圆O的方程为，点O到直线AB的距离， 由得，由得，所以或， 因为直线AB的斜率，所以直线AB斜率的取值范围是. （ⅱ）由弦长公式得 ， 由垂径定理得， 所以， 其中，设，， 则， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 19. 已知函数，. （1）若，求函数的最小正周期与单调区间； （2）若对于任意，恒有，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，. 【答案】（1）最小正周期为，的单调递增区间为，，单调递减区间为，； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用周期的定义求函数的最小正周期，利用导数求函数的单调区间； （2）求导得，根据求解后再验证即可； （3）由（2）可知，当时，，设，，利用导数可得在区间上单调递减，即有，从而得可得时，，得，利用放缩法即可完成证明. 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以的最小正周期为； 对求导得， 令，即，解得，； 令，即，解得，. 故函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为，； 【小问2详解】 对求导得. 注意到，借助“端点效应”可得，解得. 当时，，可得在区间上单调递减， 所以， 故实数的取值范围为 【小问3详解】 由（2）可知，当时，. 设，， 则； 令，， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以. 所以当时，， 可得时，， 可得 ， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $