精品解析：安徽省阜阳市2023～2024学年上学期八年级数学竞赛卷

八年级数学竞赛卷沪科版 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（　　） A. m＞0，n＜0 B. m＞1，n＜2 C. m＞1，n＜0 D. m＞﹣2，n＜﹣4 4. 根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是，若输入x的值是，则输出y的值是（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 22 5. 记者乘汽车赴420m外的农村采访，前一段路为高速公路．后一段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）间的关系如图所示，则该记者从出发到采访地一共需要时间为（　　） A 4小时 B. 4.5小时 C. 5小时 D. 6小时 6. 无论m为什么实数时，直线总经过点（ ）． A. B. C. D. 7. 已知直线与直线相交于点，那么关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k<0；②a<0；③当x<3时，y1<y2中，正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9. 如图，DE∥BC，点A在DE上，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠DAB大小为（　　） A. 50° B. 40° C. 30° D. 25° 10. 三角形的3边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过33cm．则x的取值范围是（　　） A. x≤10 B. x≤11 C. 1＜x≤10 D. 2＜x≤11 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 若一次函数图象不过第一象限，则k的取值范围是_______． 12. 如图，点A是一次函数图象上的动点，作AC⊥x轴与C，交一次函数的图象于B． 设点A的横坐标为，当____________时，AB=1． 13. 如图，___度． 14. 小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示． （1）小聪与小明出发 ___min相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 ___m/min． 三、解答题 (本大题共9小题，共90分） 15. 已知点，，点在坐标轴上，且，求满足条件点的坐标． 16. 已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最长的边长，且c为整数，求c的值． 17. 已知三角形ABC的三边为a，b，c； （1）若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|． 18. 已知一次函数，其中a为常数，且． （1）若点在该一次函数的图象上，求a的值； （2）当该函数图象与y轴的交点位于原点上方，判断函数值y随自变量x的增大而变化的趋势； 19. 如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D． （1）图中有几个三角形； （2）求证：AB+AC＞PB+PC． 20. 规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答下列问题： （1）填空：一次函数与它的互助一次函数的交点坐标为______ （2）若两个一次函数y=（k-b）x–k-2b与是互助一次函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积． 21. 在平面直角坐标系中，若，式子的值就叫做线段的“勾股距”，记作．同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．在平面直角坐标系中，． （1）线段的“勾股距”________； （2）若点在第三象限，且，求并判断是否为“等距三角形”﹔ 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点．平行于y轴的直线交于点D，交x轴于点E，点P是直线上一动点，且在点D的上方，设． （1）求直线的表达式； （2）求的面积（用含n的代数式表示）． 23. 为锻炼学生体质，某中学准备购买A，B两种体育器材共30件，从市场了解到A，B两种器材的单价分别是16元和4元．设准备购买A种器材x（件），学校要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，购买两种器材的总费用为y（元）． （1）写出总费用y（元）与x（件）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． （2）实际购买时，每件A种器材下降了元，每件B种器材上涨了元，此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学竞赛卷沪科版 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用偶次方的性质结合第二象限内点的坐标特点，横坐标为负数，纵坐标为正数，即可得出答案． 【详解】解：∵m2≥0， ∴m2＋2021＞0， ∴点（−2021，m2＋2021）一定在第二象限． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 2. 一个长方形在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为、两点横坐标相等，长方形有一边平行于轴，、两点纵坐标相等，长方形有一边平行于轴，过、两点分别作轴、轴的平行线，交点为第四个顶点． 【详解】解：过、两点分别作轴、轴的平行线， 交点为，即为第四个顶点坐标． 故选：B． 【点睛】本题考查了长方形的性质和点的坐标表示方法，明确平行于坐标轴的直线上的点坐标特点是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（　　） A. m＞0，n＜0 B. m＞1，n＜2 C. m＞1，n＜0 D. m＞﹣2，n＜﹣4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平移得到点的坐标，再根据点在第四象限构建不等式解决问题． 【详解】解：由题意，点的坐标为（，）， 即：（，）， ∵点位于第四象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是构建不等式解决问题，属于中考常考题型． 4. 根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是，若输入x的值是，则输出y的值是（ ） A. 10 B. 14 C. 18 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】把时，代入程序中计算，求出b的值，再将代入，求出y值即可． 【详解】解：当时，可得， 可得：， 当时，可得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求函数值，根据自变量的取值范围求出相应的函数值，根据题意先求出b的值是解答本题的关键． 5. 记者乘汽车赴420m外的农村采访，前一段路为高速公路．后一段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）间的关系如图所示，则该记者从出发到采访地一共需要时间为（　　） A. 4小时 B. 4.5小时 C. 5小时 D. 6小时 【答案】D 【解析】 【分析】由图知乡村公路共420-180=240(千米)，在乡村公路上 1.5小时行驶了270-180=90（千米），从而可求得乡村公路的行驶速度，从而可求得240千米乡村公路的行驶时间，则可求得记者从出发地到采访地一共需要的时间． 【详解】由图知，记者在乡村公路上行驶3.5-2=1.5（小时），共行驶了270-180=90（千米），则汽车在乡村公路上行驶的速度为：90÷1.5=60（千米/小时）； 由图知，高速公路长为180千米，则乡村公路长为420-180=240（千米），记者在乡村公路上的行驶时间为：240÷60=4（小时），则记者从出发到采访地一共需要时间为2+4=6（小时） 故选：D． 【点睛】本题考查了路程与时间的关系图，关键从图中获取已知信息，并能根据信息求出在乡村公路上行驶的时间，体现了数形结合的数学思想． 6. 无论m为什么实数时，直线总经过点（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把解析式变形得到关于m的不定方程形式得到y＝（x+1）m -2，根据无论m为什么实数时，直线总过定点得出，x+1＝0，求出经过的点即可． 【详解】解：∵y＝mx+m﹣2， ∴y＝（x+1）m -2， ∵无论m为什么实数时，直线总过定点， ∴x+1＝0，解得x＝﹣1，代入解析式得，y＝﹣2， ∴直线y＝mx+m﹣2总经过点（﹣1，﹣2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数过定点问题，解题关键是把解析式适当变形，根据所含参数系数为0求出点的坐标． 7. 已知直线与直线相交于点，那么关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先把代入直线，求出a的值，从而得到P点坐标，再把点P代入直线得出，代入方程即可求解． 【详解】直线经过点， ， 解得， ， 把点P代入直线， ，即， 方程，（） ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，解题关键是求出P点坐标． 8. 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k<0；②a<0；③当x<3时，y1<y2中，正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象性质进行判断即可． 【详解】①根据图象得，y1随x的增大而减小， ∴k<0，①正确； ②∵直线y2=x+a与y轴交于负半轴， ∴a<0，②正确； ③由图象可知：当x<3时，y1图象y2图象上方， ∴y1>y2，③错误， 综上所述，正确的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象性质是解题的关键． 9. 如图，DE∥BC，点A在DE上，∠BAC＝90°，∠1＝40°，则∠DAB的大小为（　　） A. 50° B. 40° C. 30° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】由对顶角相等得到∠ACB＝40°，再根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC＝50°，最后由两直线平行，内错角相等即可得解． 【详解】解：∵∠ACB＝∠1，∠1＝40°， ∴∠ACB＝40°， 在△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝50°， ∵DE∥BC， ∴∠DAB＝∠ABC＝50°， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键． 10. 三角形的3边长分别是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过33cm．则x的取值范围是（　　） A. x≤10 B. x≤11 C. 1＜x≤10 D. 2＜x≤11 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵一个三角形3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过33cm， ∴ 解得1＜x≤10． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形三边关系、解一元一次不等式组，在解答此题时熟练掌握三角形的三边关系是关键． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 若一次函数的图象不过第一象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】若函数的图象不过第一象限，则此函数的，，据此求解． 【详解】函数的图象不过第一象限， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于0或是小于0． 12. 如图，点A是一次函数图象上的动点，作AC⊥x轴与C，交一次函数的图象于B． 设点A的横坐标为，当____________时，AB=1． 【答案】或 【解析】 【分析】分别用m表示出点A和点B的纵坐标，用点A的纵坐标减去点B的纵坐标或用点B的纵坐标减去点A的纵坐标得到以m为未知数的方程，求解即可． 【详解】解：∵点A是一次函数图象上的动点，且点A的横坐标为， ∴ ∵AC⊥x轴与C， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得，或 故答案为或 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据A点横坐标和点的坐标特征求得A、B点纵坐标是解题的关键． 13. 如图，___度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角可得外围六个角的和等于三个三角形的内角和减去一个三角形的内角和，由此即可求解． 【详解】解：如图： 由三角形内角和定理可得： ， ， , ， 又∵，，， ∴， ∵， ， , ∴ 故答案为：． 14. 小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示． （1）小聪与小明出发 ___min相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 ___m/min． 【答案】 ①. 25 ②. 【解析】 【分析】（1）根据图示，图像纵坐标为零时，即为相遇； （2）设小聪步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，根据图象和题意列出方程组，求解即可； 【详解】解：（1）由图像由图象可得小聪与小明出发25min相遇， 故答案为：25； （2）设小聪步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1， 则， 解得：， ∴小明的速度为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，从图象获取信息是解题关键． 三、解答题 (本大题共9小题，共90分） 15. 已知点，，点在坐标轴上，且，求满足条件的点的坐标． 【答案】满足条件的点的坐标分别为，，和． 【解析】 【分析】分两种情况：当点A在x轴上时，当点A在y轴上时，先确定三角形的高的值，再利用三角形的面积公式求出OA的长，由此得到点A的坐标． 【详解】解：分两种情况： 当点A在x轴上时，该三角形的高为2， ∴， ∴OA=2， ∴点A的坐标为（2,0）或（-2,0）； 当点A在y轴上时，该三角形的高为1， ∴， ∴OA=4， ∴点A的坐标为（0，4）或（0，-4）； ∴满足条件的点A的坐标分别为，，和． 【点睛】此题考查直角坐标系中点的坐标，点到坐标轴的距离，三角形的面积计算公式，正确理解三角形的高级掌握分类思想解决问题是解题的关键． 16. 已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最长的边长，且c为整数，求c的值． 【答案】c=5.6.7 【解析】 【详解】分析：由a2+b2=6a+10b﹣34，通过配方法求得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可． 详解：∵a2+b2=6a+10b﹣34∴a2﹣6a+9+b2﹣10b+25=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣5）2=0 ∴a=3，b=5 ∴5﹣3＜c＜5+3 即 2＜c＜8． 又∵c是△ABC中最长的边长 ∴c=5.6.7 点睛：此题主要考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大． 17. 已知三角形ABC的三边为a，b，c； （1）若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|． 【答案】（1）17；（2）a+3b﹣c 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系得出c的取值范围，进而解答即可； （2）根据三角形三边关系判断绝对值号内的正负，进而解答即可． 【详解】解：（1）∵a＝2，b＝7， ∴7﹣2＜c＜7+2， 即5＜c＜9， ∵c为最长边且为整数， ∴c＝8， ∴三角形ABC的周长＝2+7+8＝17； （2）∵三角形ABC的三边为a，b，c， ∴a+b＞c，b＜a+c， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，a+b+c＞0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+b﹣a﹣c+a+b+c＝a+3b﹣c． 【点睛】题目主要利用三角形三边关系进行分析，并利用三角形三边关系进行相关绝对值的化简． 18. 已知一次函数，其中a为常数，且． （1）若点在该一次函数的图象上，求a的值； （2）当该函数的图象与y轴的交点位于原点上方，判断函数值y随自变量x的增大而变化的趋势； 【答案】（1） （2）随着的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出a的值即可； （2）求出直线与y轴的交点，进而求出的取值范围，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴ 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵该函数的图象与y轴的交点位于原点上方， ∴， ∴， ∴， ∴随着的增大而减小． 19. 如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D． （1）图中有几个三角形； （2）求证：AB+AC＞PB+PC． 【答案】（1）5个；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）直接找出图中的三角形即可，注意要不重不漏； （2）利用三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，再把两个式子相加进行变形即可． 【详解】（1）图中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5个． （2）证明：∵AB+AD＞BD，PD+CD＞PC， ∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC， ∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC， ∴AB+AC＞PB+PC． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边． 20. 规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答下列问题： （1）填空：一次函数与它的互助一次函数的交点坐标为______ （2）若两个一次函数y=（k-b）x–k-2b与是互助一次函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)(1，)；(2)两个函数与y轴围成的三角形的面积是： 【解析】 【分析】(1)根据互助函数的定义，写出互助函数，然后解两个函数的解析式组成的方程组即可求得交点坐标； （2）首先根据互助函数的定义得到一个关于k，b的方程组求得k、b的值，即可求得两个函数的解析式，然后求出函数与y轴的交点坐标，以及两个函数的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】(1)一次函数，它的互助一次函数是． 解， 得：， 则交点坐标是：(1，)； 故答案为(1，)； (2)根据题意得：， 解得：， 则两个函数是y=x-2和y=-2x+． ∴y=x-2和y轴的交点是(0，-2)，y=-2x+和y轴的交点是(0，)．两个函数的交点是：(1，)． 在两个函数与y轴围成的三角形的面积是： 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，根据题干意思求出函数解析式及交点是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，若，式子的值就叫做线段的“勾股距”，记作．同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．在平面直角坐标系中，． （1）线段的“勾股距”________； （2）若点在第三象限，且，求并判断是否为“等距三角形”﹔ 【答案】（1）5 （2）11，不是“等距三角形” 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据“勾股距”的定义求出，，，再根据等距三角形的定义判断即可； 【小问1详解】 解：由“勾股距”的定义知：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 点在第三象限， ，， ， ， ，即， ， ， ，，， 不是为“等距三角形”； 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点．平行于y轴的直线交于点D，交x轴于点E，点P是直线上一动点，且在点D的上方，设． （1）求直线的表达式； （2）求的面积（用含n的代数式表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分割法求出三角形面积即可． 【小问1详解】 解：∵直线交y轴于点，交x轴于点， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵平行于y轴的直线交于点D，， ∴当时，， ∴， ∵点是直线上一动点，且在点D的上方， ∴， ∴． 23. 为锻炼学生体质，某中学准备购买A，B两种体育器材共30件，从市场了解到A，B两种器材的单价分别是16元和4元．设准备购买A种器材x（件），学校要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，购买两种器材的总费用为y（元）． （1）写出总费用y（元）与x（件）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． （2）实际购买时，每件A种器材下降了元，每件B种器材上涨了元，此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，求a的值． 【答案】（1），且x为正整数；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，可用表示购买种器材件数，同时还要求出取值范围，再根据购买单价建立关于的解析式； （2）要对实际购买时，所得到得关于的解析式取到的最值时，进行分类讨论． 【详解】解：（1）设购买A种器材x（件），则购买种器材件． 由题意：要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，则，解得：， 根据A，B两种器材的单价分别是16元和4元，建立购买器材的总费用y（元）与x（件）之间的函数关系式如下： ，； ,且x为正整数． （2）根据实际购买时，每件A种器材下降了元，每件B种器材上涨了元，得 ，． 此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，进行分类讨论； 第一类：当时，解得． 根据一次函数的图像及性质知：随着的增大而增大， 当时，取到最小值，即： ， 解得：（不符合，故舍去） 第二类：当当时，解得． （不符合题意，舍去） 第三类：当时，解得， 根据一次函数图像及性质知：随着的增大而减小， 当时，取到最小值，即： ， 解得：． 综上所述：． 【点睛】本题考查了一次函数在生活中的实际应用，解题的关键是：理清楚题中变量之间的关系，列出解析式，不要忽略自变量的取值范围，关于一次函数的最值问题，通常要进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $