精品解析：安徽省蚌埠第二十六中学（集团）2023-2024学年八年级上学期第三届卓越杯素养比赛数学试卷

2023-2024学年度第一学期蚌埠第二十六中学（集团） 第三届卓越杯素养比赛 【科目：八年级数学】 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（共40分） 1. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①函数的y随x的增大而增大； ②函数不经过第二象限； ③不等式的解集是； ④． 其中正确的是(　　) A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象交点横坐标是4，和图象所经过象限可以判断． 【详解】解：由图象可得：对于函数来说，从左到右，图象上升，y随x的增大而增大，故①正确； 由图象可知，，，所以函数的图象经过第一，二，三象限，即不经过第四象限，故②错误， 由图象可得当时，一次函数图象在的图象上方， 不等式的解集是， 移项可得，，解集是，故③正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为4， ∴ ∴， ∴，故④正确， 正确的有：①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数与不等式的关系，解题关键是树立数形结合思想，理解图象反应的信息，综合一次函数、不等式、方程解决问题． 2. 如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选:A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出． 3. 已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是( ) A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，进而根据选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，，为直线上的三个点， ∴， ∵，， ∴ A. 若， 则，即同号，当时，，当时，，故该选项不正确，不符合题意； B. 若， 则异号，同理可得或 C. 若， 则同号，同理可得或 D. 若， 则异号，只能是，则， ∴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，中，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且为等腰三角形，则的度数为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，根据等边对等角的性质，结合平角的定义求解即可． 【详解】解：中，， ， 由折叠的性质可知，， 分三种情况讨论： ①当时，， ，， ， ； ②当时，， ， ， ； ③当时，， ， 此种情况不成立； 综上可知，的度数为或， 故选：B． 5. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（ ） A. 甲车速度是 B. A、两地的距离是 C. 乙车出发时甲车到达地 D. 甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 6. 如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，根据条件可得图中有对三角形全等；图中可证出，，有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：因为是的平分线，所以． 在与中， ， 所以， 所以题图（1）中有1对全等三角形． 同理，题图（2）中，，所以． 因为，所以． 又因为，所以， 所以题图（2）中有3对全等三角形． 同理，题图（3）中有6对全等三角形 …… 由此发现：第个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 7. 如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8. 已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在个公共点，则满足的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数y=（k-1）x+2k-1的图象过定点A（-2，1），画出y=|x-1|的图象，求出两个函数的图象存在个公共点时k的临界值即可． 【详解】解：由已知，当x=-2时，y=-2（k-1）+2k-1=1， ∴函数y=（k-1）x+2k-1的图象过定点A（-2，1） 如图： y=|x-1|的图象如图为折线BCD，其中点B（0，1），C（1，0），D（3，2） 当函数y=（k-1）x+2k-1的图象过点C（1，0）时，与折线BCD恰好有一个交点， 此时，k=； 当直线过点A、B时，AB∥x轴，直线AB与折线BCD有两个交点 此时，k-1=0，即k=1； ∴满足的条件是. 故选：D. 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质．本题解题关键在于发现带有参数的函数解析式过定点． 9. 如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点．一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，…，，，…则当动点到达处时，运动的总路径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线l1:y=x+1可知,A（0,1）,则B1纵坐标为1,代入直线l2:y=x+中,得B1（1,1）,又A1、B1横坐标相等,可得A1（1,2）,则AB1=1,A1B1=2-1=1,可判断AA1B1为等腰直角三角形,利用平行线的性质,得A1A2B2、A2A3B3、…、都是等腰直角三角形,根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y轴的直线上两点横坐标相等,及直线l1、l2的解析式,分别求AB1+A1B1,A1B2+A2B2的长,得出一般规律． 【详解】解：由直线直线l1：y=x+1可知，A（0，1），根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式可知，B1（1，1），AB1=1， A1（1，2），A1B1=2-1=1，AB1+A1B1=2， B2（3，2），A2（3，4），A1B2=3-1=2，A2B2=4-2=2，A1B2+A2B2=2+2=4=22， …， 由此可得An-1Bn+AnBn=2n， 所以,当动点到达处时,运动的总路径的长为, 故选． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等,平行于y轴的直线上点的横坐标相等,得出点的坐标,判断等腰直角三角形,得出一般规律． 10. 如图，在中，，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，若使四边形周长最小，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称一最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，两直线的交点问题，作点关于的对称点，连接，若使四边形周长最小，只要 最小，当三点共线时，最小， 设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，利用待定系数法求出直线和的解析式，联立方程组即可求出点坐标，正确找出点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴点在轴上， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点关于的对称点， ∴，， ∴若使四边形周长最小，只要 最小， 当三点共线时，最小， 设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小， ∵， ∴， 设直线的函数解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立函数解析式得， ， 解得， ∴点的坐标为， 故选：． 二、填空题（共20分） 11. 已知函数的图像过点（0，-1）和（-1,1），且点和点都在这个函数图象上，则的大小关系是___________ 【答案】 【解析】 【详解】根据待定系数法可求出函数的解析式为y=-2x-1，所以这个函数的图像过二、三、四象限，y随x增大而减小，所以可根据a＜a+1，得到. 故答案为 点睛：此题主要考查了一次函数的图像和性质，先利用待定系数法求出函数的解析式，然后根据解析式得到函数得到图像，再根据图像与性质判断即可，题目灌输了学生的数形结合的思想. 12. 已知＝k（b＞0，a+b+c＝0），那么y＝kx+b的图象一定不经过第_____象限． 【答案】三 【解析】 【分析】先由a+b+c＝0可得a+c＝﹣b，那么＝k＝﹣1，又由于b＞0，根据一次函数图象与系数的关系即可确定y＝kx+b的图象经过的象限，进而求解即可． 【详解】∵a+b+c＝0， ∴a+c＝﹣b， ∴＝k＝﹣1＜0， ∴y＝kx+b的图象经过第二、四象限， ∵b＞0， ∴y＝kx+b的图象与y轴交于正半轴， ∴y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限， 故答案为：三 【点睛】本题考查等式的性质及一次函数的性质，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小；当b>0时，图象与y轴交于正半轴；当b<0时，图象与y轴交于负半轴；熟练掌握一次函数的性质是解题关键. 13. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，点E为对角线AC与BD的交点，∠AEB＝70°，若∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD，则∠ACD＝_____°． 【答案】80 【解析】 【分析】设∠CBD=x，求出∠ВAC=∠ACB= ( 180°-4x) =90°-2x，根据∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，求出x=20°，得到各角度，在BD上取一点F使BF= BA，延长AF交BC的延长线于点G，连接DG，则△ABF是等边三角形，证明△ADF≌△BGF ( ASA ) ，得到FD=FG，判定△DFG是等边三角形，得到DF=DG，连接CF，△BCF为等腰三角形，求出∠CFG=40°，得到∠CFG=∠CGF，推出CF=CG，证明△DFC≌△DGC，求出∠FDC=∠GDC=∠FDG=30°，即可求出∠ACD=180°- ∠DEC- ∠FDC=80°． 【详解】设∠CBD=x， 由题意得∠ABC=2∠ADB=4∠CBD=4x， ∵АВ=ВC， ∴∠ВAC=∠ACB= ( 180°-4x) =90°-2x， ∵∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°， ∴3x+90°- 2x +70°= 180°， ∴x=20°， ∴∠CBD=20°，∠ADB=40°，∠ABC= 80°， ∴∠ABD=∠АВC- ∠CBD=60°， 在BD上取一点F使BF= BA，延长AF交BC的延长线于点G，连接DG， ∴△ABF是等边三角形， ∴AF=BF，∠BAF=∠AFB=60°， ∵∠BAD= 180°-∠ABD-∠ADB=80°， ∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=20°， ∴∠DAF=∠CBD=∠CBF， 又∵∠AFD=∠BFG ∴△ADF≌△BGF ( ASA ) ， ∴FD=FG， ∵∠DFG=∠AFB=60°， ∴△DFG是等边三角形， ∴DF=DG， 连接CF， ∵BC=AB=BF， ∴△BCF为等腰三角形， ∴∠BFC=（180°-∠FBC）=80°， ∴∠CFG=l80°-∠AFB-∠BFC=40°， ∵∠CGF=∠BFA-∠DBC=40°， ∴∠CFG=∠CGF， ∴CF=CG， ∵DF=DG，DC= DC， ∴△DFC≌△DGC， ∴∠FDC=∠GDC=∠FDG=30°， ∵∠DEC=∠AEB=70°， ∴∠ACD=180°- ∠DEC- ∠FDC=80°， 故答案为：80． 【点睛】此题考查了全等三角形判定及性质，等边三角形的判定及性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，熟练掌握三角形的知识是解题的关键． 14. 设表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中，若=2020，则满足此条件的三角形共有____个． 【答案】2041210 【解析】 【分析】已知，根据三角形的三边关系求解，首先确定出、三边长取值范围，进而得出各种情况有几个三角形． 【详解】解：，，表示一个三角形三边的长，且它们都是自然数，其中，如果，则，， 当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2020个三角形； 当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2019个三角形； 当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有2018个三角形； 当时，根据两边之和大于第三边，则的取值范围为，有1个三角形；三角形数量是：， 故答案为：2041210． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式、三角形的三边关系，解题的关键是利用了在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的三边关系． 三、解答题（共90分） 15. 定义运算：当时，；当时，．如：；；．根据该定义完成下列问题： （1）_________，当时，_________； （2）若，求x的取值范围； （3）如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围； 【答案】（1）-3，2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由定义可知：的值就是取−3和2的最小值，即−3；同理可得另一个式子的结果； （2）由定义列不等式解出即可； （3）根据图象可知：当时，有； 【小问1详解】 解：，当 时，； 故答案为：−3，x； 【小问2详解】 由题意得：， ， ； 【小问3详解】 ∵， ∴， 由图象得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新定义的内含：结果取最小值，第三问利用数形结合的思想求解更简便． 16. 平面直角坐标系中，如图所示，点. （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）一次函数（为常数）. ①求证：一次函数的图象一定经过点； ②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）①见解析，②且. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数求解析式即可； （2）设直线与轴的交点为点，求出点D的坐标，然后根据可得出结果； （3）①把一次函数整理为的形式，再令x+3=0，求出y的值即可； ②根据直线一定经过点A,而且与线段BC有交点，可得直线在绕着点A从直线AC顺时针旋转到直线BC之间的区域，再结合a≠0从而得出结果. 【详解】解：（1）设直线的解析式是，将点，点代入的，得 ，解得， ∴直线的解析式是； （2）设直线与轴的交点为点， 则点的坐标为， ； （3）①证明：∵， 令x+3=0，得x=-3,此时y=2. ∴必过点，即必过点； ②当直线与直线AC重合时，可得4=3a+2,解得a=, 当直线与直线AB重合时，可得1=a+3a+2,解得a=, ∴a的取值范围是：且. 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了是利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点以及与几何图形的综合问题，有一定的难度. 17. 在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长． （2）当，点P在线段上．若和全等，求t的值； （3）当，为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）或； （3）或或或． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想是解题关键． （1）由图可知，求出线段即可； （2）由和全等，可得或两种情况，列出关于t的方程即可求解； （3）由为等腰三角形，利用等腰三角形性质分点P在点A左右两边讨论即可求解． 【小问1详解】 解：设点运动时间为秒， ， 当时，； 当时，； 【小问2详解】 ∵， 由题意得， 当时，， 可得∶， 解得∶， 当时，， 可得∶， 解得∶ 综上所述，若和全等，则的值为或； 【小问3详解】 ，为等腰三角形时， 当时，点P在点A左侧时， ， 当，点P在点A右侧时， ， 当时， ， 当时， 度数为或或或． 18. 如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1），见解析 （2）①；②，见解析 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得． 【小问1详解】 ， 证明：是等边三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①当时， 则， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下： 延长到，使，连接，， 为的中点， ， 四边形为平行四边形， 且， ，， 又， ， ， 又，， △， ， 又为正三角形， ， ． 19. 已知为等边三角形． （1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． （2）如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：． （3）如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）本题主要考查全以等边三角形为背景的全等三角形的判定（手拉手模型），直接利用，两个等腰三角形的对应边相等即可证明全等． （2）本题通过，，就可以确定的形状，可以推出，进而得到，然后再线段上取一点H构造等边三角形就可证明结论了． （3）第三小问，先确定性分析，，，即对角互补，所以要把，绕着点E逆时针旋转，得到等边三角形，再根据全等的性质可以推出，最后确定点E的轨迹是在射线上运动，之后就是做对称，将军饮马问题，直接可以求出最小值． 【小问1详解】 证明：∵等边和等边； ∴，； ∵； ∴； ∴ 【小问2详解】 ∵； ∴； ∵，； ∴； ∴； 即； ∵三角形是等腰直角三角形，E为中点 ∴平分； ∴； ∴； 上取一点H，使； ∴是等边三角形； ∴； 即； ∵， ， ； ∴； ∴； 即． 【小问3详解】 如下图所示，∵，； 把绕点E逆时针旋转，得到； ∵； ∴； ∴C，D，M三点共线； 由旋转的性质可知，是等边三角形； ∴; ∴点E的轨迹是射线； 作点B关于直线的对称点N； ∴； ∵； ∴； 即的最小值为． 【点睛】本题主要考等边为背景下的全等三角形的判定，旋转变换下以等腰直角三角形旋转下的全等构造，进而判定线段相等，考查全等的判定和性质，考查对角互补性的全等构造，确定动点E的轨迹，将军饮马求两条线段的最值，遇到两个共顶点等边三角形，就一定能通过公共角和差，证明全等三角形，确定性分析，构造等边三角形是解决线段和证明的有效路径，求最值，利用旋转寻找动点轨迹是解题关键，将军饮马问题巧转化，求最值也是解题关键． 20. 材料：在平面直角坐标系中，点、，则线段的中点坐标为． （1）如图①，点，，且a，b满足关系式，则点A的坐标是　 　，点B的坐标是　 　； （2）如图②，在（1）问条件下将线段向右水平移动，平移后A，B的对应点分别为D，E，线段交y轴于点C，与的面积相等，若点P是坐标轴上一点，且满足，求出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质得出a、b的值，即可求得A、B的坐标； （2）根据题意求得点C的坐标，分两种情况讨论：当点P在y轴上时，设点P的坐标为，由，得出，解得或； 当点P在x轴上时，分别过点、作的平行线，求出的解析式为：，根据平移的性质可知：的解析式为：，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵a，b满足关系式， 又∵，， ∴， ∴，， ∴点A的坐标是，点B的坐标是． 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵与的面积相等， ∴C是的中点，且由图可知点C的横坐标为0， ∵点A的坐标是，点B的坐标是． ∴的中点横坐标为， 即根据平移可知线段向右水平移动12个单位得到线段， ∴D，E， ∴根据题干中点坐标公式有：C， 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， 如图： 即有：， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即点P的坐标为、， 当点P在x轴上时，分别过点、作的平行线， 即将直线按照一定方式平移可得到直线、， 设的解析式为：， ∵D，E， ∴，解得：， ∴的解析式为：， 根据平移的性质可知：的解析式为：， 当时，， 解得：， 可得， 同理可得， 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，平移的性质等知识，根据的平移的性质得到的解析式为：，是解答本题的关键． 21. 阅读理解：如图1，中，是边上一点，且，试说明． 解：过点作边上的高， ，， ， 又， ． 根据以上结论解决下列问题：如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，，的延长线交于点，，． （1）若，，求的度数； （2）设的面积为，点，分别在线段，上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，当取得最小值时，求四边形的面积（用含的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）①的最小值为；②． 【解析】 【分析】（1）由三角形的内角和定理求得，再根据折叠的性质即可求解； （2）①作点关于直线的对称点，连接、，可得当点落在上且时，的值最小，为此时的长，根据的面积为，将用含的式子表示即可；②先将的面积用表示，再由求出的长，得，可得，由，，求出，由即可求出． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵沿直线翻折得到，点的对应点为， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，作于点，交于点，连接、， ， 由翻折得，， ∵，， ∴（）， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴≥， ∴当点落在上且时，的值最小，为此时的长； 如图，于点，交于点，， 由，得， 解得，， 此时， ∴的最小值为． ②如图，当取最小值时，于点，交于点，， 设，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，，得， 设， ∵， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查用面积的方法求线段的比、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质及以求线段的和的最小值问题等知识与方法，解题的关键是正确地理解和运用“阅读理解”中介绍的方法和结论，此题属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $