综合与实践 最短路径问题 同步练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

综合与实践 最短路径问题 基础夯实 活动 1 牧民饮马问题 1.【考察试〔2025云南昆明外国语学校期中」小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使居民区A，B到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在 ( ) 2.如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上找一点 P,使PE+PF 最短,则点 P 应选在 ( ) A. A 点 B. B点 C. C点 D. D点 3.「2025云南大理州期末」如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=7,EF垂直平分BC,点 P 为直线 EF上的动点，则AP+BP的最小值是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.11 活动2 牧民饮马问题的拓展 4.「2025湖北咸宁联考」如图,OA,OB 分别是线段 MC,MD的垂直平分线,MD=5cm ,MC=7 cm,CD=10cm，一只小蚂蚁从点 M 出发爬到OA 边上任意一点 E，再爬到OB 边上任意一点 F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短为 ( ) A.12 cm B.10cm C.7 cm D.5cm 5.如图,若∠AOB=44°,P 为∠AOB 内一定点,点 M在OA上,点 N在 OB上,当△PMN 的周长取得最小值时，∠MPN的度数为 ( ) A.82° B.84° C.88° D.92° 活动 3 造桥选址问题 6.「2025天津南开期末」直线l₁，l₂表示一条河的两岸，且l₁∥l₂,，若村庄P 和村庄Q在这条河的两岸.现要在这条河上建一座桥 EF(桥 EF 与河的两岸l₁，l₂垂直)，使得从村庄 P 经桥 EF 过河到村庄 Q 的路径 P→E→F→Q 最短,即 PE+EF+FQ 最小.则下列满足条件的是 ( ) 7.如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座桥，桥的方向与河岸垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到 B 的距离最短? 能力提升 8.「2025河北廊坊期中, 」如图,l是△ABC 的边 AB的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且AC=5,BC=8,AB=6,则△AEC的周长的最小值为( ) A.6 B.8 C.11 D.13 9.「2025山东德州期中, 如图,在五边形ABCDE 中,∠BAE=142°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小,此时∠AMN+∠ANM 的度数为 ( ) A.76° B.84° C.96° D.109° 10.「2025河南周口期中, 」如图,在△ABC中,AB=AC,AD=10,D是BC的中点,EF 垂直平分AB,交AB 于点E,交AC于点 F,在 EF 上确定一点 P,使 PB+PD 最小,则 PB+PD 的最小值为 11.「2025四川泸州月考，」如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直.设两条河的宽度相同，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短? 素养提优 12.已知:M,N分别是∠AOB的边OA,OB上的定点. (1)如图1,若∠O=∠OMN,过M 作射线 MD∥OB,点 C 是射线 MD 上一动点,∠MNC 的平分线NE交射线OA 于E 点,试探究∠MEN与∠MCN 之间的数量关系. (2)如图2,若 P 是线段 ON上一动点,Q 是射线MA上一动点,∠AOB=20°,当MP+PQ+QN取得最小值时,求∠OPM+∠OQN的值. 综合与实践 最短路径问题 基础夯实 活动 1 牧民饮马问题 1.做数下2025云南昆明外国语学校期中」小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使居民区A，B到送奶站的距离之和最小，则送奶站C 的位置应该在 (C) 2.如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上找一点 P,使PE+PF最短,则点 P应选在 (C) A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 3.「2025云南大理州期末」如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=7,EF垂直平分BC,点P 为直线 EF 上的动点，则AP+BP的最小值是 (B) A.5 B.6 C.7 D.11 活动 2 牧民饮马问题的拓展 4.「2025湖北咸宁联考」如图,OA,OB 分别是线段 MC,MD的垂直平分线,MD=5cm,MC=7 cm,CD=10cm，一只小蚂蚁从点 M 出发爬到OA 边上任意一点 E，再爬到 OB 边上任意一点 F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短为 (B) A.12 cm B.10 cm C.7 cm D.5cm 5.如图,若∠AOB=44°,P 为∠AOB 内一定点,点 M在OA上,点 N在 OB上,当△PMN的周长取得最小值时，∠MPN的度数为 (D) A.82° B.84° C.88° D.92° 活动 3 造桥选址问题 6.「2025天津南开期末」直线l₁，l₂表示一条河的两岸，且l₁∥l₂，若村庄P 和村庄Q在这条河的两岸.现要在这条河上建一座桥 EF(桥 EF 与河的两岸l₁，l₂垂直)，使得从村庄 P 经桥 EF 过河到村庄 Q 的路径 P→E→F→Q 最短,即 PE+EF+FQ 最小.则下列满足条件的是 (A) 7.如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座桥，桥的方向与河岸垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到 B 的距离最短? 能力提升 8.「2025河北廊坊期中, 〔如图,l是△ABC 的边 AB的垂直平分线，D为垂足，E是l上任意一点，且AC=5,BC=8,AB=6,则△AEC的周长的最小值为(D) A.6 B.8 C.11 D.13 9.「2025山东德州期中, 」如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=142°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小,此时∠AMN+∠ANM 的度数为 (A) A.76° B.84° C.96° D.109° 10.「2025河南周口期中, 」如图,在△ABC中,AB=AC,AD=10,D是BC的中点,EF 垂直平分AB,交 AB 于点E,交AC于点 F,在 EF 上确定一点 P,使 PB+PD 最小,则 PB+PD 的最小值为 10 . 11.「2025四川泸州月考，」如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直.设两条河的宽度相同，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短? 解析 如图,作PH⊥l₁,使得PG=GH=河的宽度,连接QH交直线l₄于点 F,作 FE⊥l₄交直线l₃于点 E,连接 EG 交直线l₂ 于点 N,作 NM⊥l₂交直线l₁于点M,连接PM,线路lP→M→N→E→F→Q即为两村之间的最短路线…桥建在 MN和 EF 处才能使两村之间的路程最短. 素养提优 12.已知:M,N分别是∠AOB 的边OA,OB 上的定点. (1)如图1,若∠O=∠OMN,过 M 作射线 MD∥OB,点 C 是射线 MD 上一动点,∠MNC 的平分线NE 交射线OA 于E 点,试探究∠MEN与∠MCN之间的数量关系. (2)如图2,若 P 是线段 ON上一动点,Q 是射线MA上一动点,∠AOB=20°,当MP+PQ+QN取得最小值时,求∠OPM+∠OQN 的值. 解析 (1)设∠O=∠OMN=α,∴∠MNB=2α, ∵MD∥OB,∴∠AMD=∠O=α, ∵NE平分∠MNC, ∴∠MNE=∠ENC, 设∠MNE=∠ENC=β, ∴ ∠CNB=2α-2β, ∵MD∥OB, ∴∠MCN=∠CNB=2α-2β, ∵∠EMC+∠MEN=∠ENC+∠MCN, ∴α+∠MEN=β+2α-2β, ∴ ∠MEN=α-β,∴2∠MEN=∠MCN. (2)作M点关于OB的对称点M',,N点关于 OA 的对称点N'，连接M'N',,与 OB、OA 分别交于点 P、点 Q,连接ON'、OM',,如图,此时 MP+PQ+QN的值最小,最小值为M'N'的长， 由对称性可知,∠OQN'=∠OQN,∠OPM'=∠OPM,∴∠OPM'=∠QPN=∠AOB+∠OQP=∠AOB+180° ∵∠AOB=20°,∴∠OPM'=200°-∠OQN', ∴当MP+PQ+QN取得最小值时,∠OPM+∠OQN=200°. 学科网（北京）股份有限公司 $$