精品解析：湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二下学期2月测试数学试题（2.12）

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 2 3. 已知函数，集合，现从M中任取两个不同的元素，则的概率为 A. B. C. D. 4. 已知四面体中，，，，，为中点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 设、分别是椭圆C：的左、右焦点，直线过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 10. 如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成. 若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有（　　） A. 异面直线与所成的角可以为 B. 二面角可以为 C. 直线与平面所成的角为定值 D. 线段的长为定值 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是___________ 13. 已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和______. 14. 设双曲线，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线上的一动点，若，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量20000个，测量所得数据如下频率分布直方图所示： （1）求图中的值以及尺寸在内的零件数量； （2）求这批零件尺寸的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到0.1）； （3）现采用分层抽样的方法，从尺寸在和内的零件中随机抽取6个，再从这6个零件中任取2个，求至少有1个零件的尺寸在内的概率． 17. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点Q，使与平面所成的角的正弦值为，若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由. 18. 已知函数，的图象在点处的切线为． （1）求函数的解析式； （2）设，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 圆，圆，动圆与两圆、外切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于不同的两点，求直线斜率的取值范围； （3）是否存在直线与轨迹交于点，使，且，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单复合函数的导数计算规则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：B． 2. 等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式可求得的值，由等差数列的性质可求得值，利用等比数列的性质求得的值，即可求的值. 【详解】因为数列是等差数列，且，所以，解得， 由等差数列的性质可得， 因为2，，，，8成等比数列，所以，解得， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 3. 已知函数，集合，现从M中任取两个不同的元素，则的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用排列数求出从集合取出两个不同元素的方法数，再求得使函数值为0时对应的的值或，根据运用组合数求出该事件包括的方法数，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】从中任取两个不同的元素共有种方法， 由及，可得或， 故使的方法数为： 种，则所求概率为. 故选：A.. 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法. （2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. （3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. （4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 4. 已知四面体中，，，，，为中点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 依题意可得 ， 因为，所以，解得. 故选：D. 5. 设、分别是椭圆C：的左、右焦点，直线过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用已知条件求出点的坐标，利用两点间的距离公式求得，，利用椭圆的定义求得，整理求得离心率. 【详解】设点坐标为， ，，， 所以有，解得， 因为，所以直线的方程为， 所以有点坐标为， 所以有，， 所以， 所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆离心率的求法，方法如下： （1）根据题意，求得点的横坐标，代入直线方程求得点的纵坐标； （2）利用两点间距离求得，； （3）根据椭圆定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为； （4）之后利用离心率的定义求得结果. 6. 若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出定义域，得到，求导，得到函数单调性，极值情况，时，，满足要求，时，需满足在内，从而得到不等式，求出答案. 【详解】函数的定义域为，故需满足，故， ， ，解得，，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值. 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意； 当时，函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 在内， 即，即，即， 此时，综上. 故选：B. 7. 已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果. 【详解】因为数列的前n项和， 当时，； 当时，满足上式， 所以， 又，恒成立，所以，恒成立； 令， 则对任意，显然都成立， 所以单调递增， 因此，即的最小值为， 所以，即实数的最大值是. 故选：C 【点睛】思路点睛： 根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出半焦距c，用表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由可得为直角三角形，由此建立关系即可计算作答. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，， 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，， 因，即，而O是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有， 由于椭圆的离心率，所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛： 椭圆和双曲线的离心率公式：掌握这两种曲线的离心率公式是解决本题的基础. 焦距与半轴长度的关系：椭圆和双曲线的焦距与半轴长度之间有直接的代数关系，理解这一点是解题的关键. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B. 【详解】由知函数的定义域为， ， 当时，，， 故在单调递增，A正确； 由，当时，， 当，所以只有0一个零点，B错误； 令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确； 由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题. 10. 如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成. 若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有（　　） A. 异面直线与所成的角可以为 B. 二面角可以为 C. 直线与平面所成的角为定值 D. 线段的长为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，假设其正确，推出矛盾，可判断其正误；对于B项，找出满足条件的点，可判断其正误；对于C项，可判断线面平行，得到其线面角为零角，可判断其正误；对于D项，将线段放到相应三角形中，可以得到其为定值，可判断其正误；得到正确选项. 【详解】对于选项A：若与所成的角为，因为，， 可设，所以，，所以， 所以，，，面，面， 又面，所以，与为等边三角形矛盾，故错误； 对于选项B：因为，所以，所以当点与点E重合时，二面角等于，故正确； 取DC的中点为N，EC的中点为P，因为B、N、P在同一条直线上，所以面面，因为与平面共面，所以直线面，所以直线与平面所成的角为定值，故正确； 对于D：，， 所以，所以线段的长为定值. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：该题考查的是关于空间位置关系判断的问题，关键点是需要熟练掌握与空间关系有关的判定和性质定理以及相关结论. 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】求导，设切点，得到切线方程，代入，得到方程有两个不相等的实数根，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】，设切点为， 故切线方程为， 且切线过点，则， 即，， 由题意可得，方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点总在直线上，得到.根据,求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式，用错位相减法求得,最后求出 【详解】数列的前项和为，且点总在直线上，所以. 所以，当时，， 两式相减得，，即. 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. ， 所以…………①， 所以…………②， ①-②，得：. 所以，所以. 故答案为：4097. 14. 设双曲线，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线上的一动点，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 设出点，点，点的坐标，求出斜率，将点，的坐标代入方程，两式相减，再结合，即可求得结论. 【详解】由题意，设，，则， 所以， 因为，， 所以两式相减可得，即， 因为， 所以，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键是找到关于的等量关系．先设出点，，的坐标，根据点差法，以及，得到所要求的等量关系，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得是公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式可得结果，设数列的公比为，列出方程，求出，即可得到通项公式. （2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 设等差数列公差为， 因为，所以 所以是公差为2的等差数列， 所以， 因为成等差数列，所以， 设的公比为，其中， 所以，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，不合题意， 综上，. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以是公差为3的等差数列， 所以. 16. 某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量20000个，测量所得数据如下频率分布直方图所示： （1）求图中的值以及尺寸在内的零件数量； （2）求这批零件尺寸的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到0.1）； （3）现采用分层抽样的方法，从尺寸在和内的零件中随机抽取6个，再从这6个零件中任取2个，求至少有1个零件的尺寸在内的概率． 【答案】（1）； （2）平均数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程求得，进而求得尺寸在内的零件数量； （2）根据频率分布直方图的平均数和中位数的计算公式，即可求解； （3）根据题意，得到尺寸在内的有2个，记为，尺寸在内的有4个，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得： ，解得， 所以尺寸在内的零件数量为． 【小问2详解】 解：由题意得，这批产品尺寸的平均数为： ， 由频率分布直方图，可得前三个小矩形的面积和为， 前四个小矩形的面积之和为， 所以数据的中位数为． 【小问3详解】 解：由题意得，尺寸在内的有2个，记为，尺寸在内的有4个， 记为，任选2个， 所有的情况为，，共15种， 其中满足条件的为，共9种， 根据古典摡型的概率计算公式，可得所求概率． 17. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点Q，使与平面所成的角的正弦值为，若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 证明:由是矩形，，，则 所以为正方形，连接，则 又平面，平面，所以 又，所以平面. (2) (3) 存在满足条件的点Q，满足 【解析】 【分析】(1)由条件可得为正方形，即得，由根据条件可得，从而可证. (2) 以分别为轴建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量，利用向量法可求解. (3) 设,表示出坐标，利用向量法可求解即可. 【详解】(1)略； (2) 以分别为轴建立空间直角坐标系. 则 所以， 设平面的法向量为 则，即，取，则 设平面的法向量为 则，即，取，则 则 所以平面与平面夹角的余弦值 （3）在线段上存在一点Q，满足条件. 设, 又设平面的法向量为 设与平面所成的角为 则 化简得 ，解得(负值舍) 即在线段上存在一点Q，当时满足条件. 18. 已知函数，的图象在点处的切线为． （1）求函数的解析式； （2）设，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2），得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． ∴，从而,即 （3） 【解析】 【分析】（1）求导根据切线方程公式得到，解得答案. （2）求导得到单调区间，计算得到证明. （3）求导并利用（2）中结论，得到函数单调区间，，得到答案. 【小问1详解】 ，由已知得，解得， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，， ∴， 由（2）可知当时，恒成立， 令，得；得． ∴的增区间为，减区间为，， ∴，∴实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为求函数最值是解题的关键. 19. 圆，圆，动圆与两圆、外切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于不同的两点，求直线斜率的取值范围； （3）是否存在直线与轨迹交于点，使，且，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，使得题设成立 【解析】 【分析】（1）确定圆和圆的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得，，可知点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程； （2）设，结合渐近线斜率可确定，联立直线方程与双曲线方程，利用即可求得的范围； （3）当时，显然不成立；当时，设；与抛物线方程联立可求得，从而表示出；将与抛物线联立，利用弦长公式可求得，由可整理得到；两直线方程联立可求得点坐标，利用建立等式，可得，从而得到方程组，解方程组可求得的值. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆的圆心，半径；圆的圆心，半径 设，且动圆半径为 则， 即到，的距离之差为定值，且，满足双曲线定义 点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为： （2）设直线方程为： 双曲线渐近线方程为，且与双曲线上半支有两个交点 联立得： ，解得：或（舍） ，即直线斜率的取值范围为 （3）当时，直线为，显然不成立 当时，直线的方程为： 或 或 联立得：，即， 联立得： 则，即 设，，则， 即，整理可得： 联立得： 整理可得： ，，解得： 当时，直线与轨迹无交点，不合题意 存在，使得题设成立 【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及到圆与圆的位置关系的应用、利用定义求解轨迹方程、根据直线与曲线交点个数求解参数范围、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过已知的等量关系构造出关于变量的方程，通过解方程的方式求得结果；本题整体计算难度和计算量较大，对于学生运算求解能力有较高的要求，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $