湖南长沙市湖南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期月考（二）数学试题

高三数学二 命题人、审题人：孙瑶、赵优良、谢美丽、唐博文 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.在复平面内，复数之=一1+2i的共轭复数对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 國 C.第三象限 D.第四象限 如 2.已知集合A=(x∈Zx2一4x十3≤0)，则集合A的真子集个数是 A.3 B.4 C.7 D.8 艾 长 3.若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影 数 长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为15尺，则春分时节的日 影长为 分 A.6尺 B.6.5尺 C.7尺 D.7.5尺 4.如图，圆锥PO的底面直径和高均是4，过PO的中点O,作平行于底面 的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为 A.(8+4√5)π B.(7+4√5)π C.(6+4√5)π D.(9+45)π 数学试题(27T)第1.页（共8页） 5.已知(3x一1)”的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则(3x一1) 的展开式中x2的系数为 A.-135 B.135 C.-28 D.28 6.若tan2a=3tan(a十B),则tan(a一)的最大值为 A号 B 6 c号 7.已知a=e+,b=3, ,C=COs 之，则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 8.已知a,b,e是平面向量，其中e是单位向量，a⊥e,且|a=2√2，向量b 满足b2一6e·b十5=0，则|e十a十b1的取值范围为 A.[2√3-2,2√3+2] B.[2w√6-2,2√6+2] C.[3√2-2,3√2+2] D.[2√7-2,2√7+2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.已知函数f(x)=x3十bx2+cx+1(b,c∈R),则下列说法正确的是 A.当b=c=1时，函数f(x)在R上单调递增 B.函数f(x)在R上单调，当且仅当b2<3c C.若函数f(x)在R上存在单调递减区间，则b2>3c D.若不等式f(x)>0的解集为(x|x>a且x≠1)，则函数f(x)的单调 递减区间为[-号，] 数学试题(27T)第2页（共8页） 10.已知R,R分别是椭圆C:苦+苦=1的左、右焦点，0为坐标原点，P 为C上异于左、右顶点的一点，H是线段PF2的中点，则 A.OH+HF2=2 B.OH>1 C△0HR,内切圆半径的最大值为得 D.△HFF2外接圆半径的最小值为1 11.已知x1,x2,x3(x1<x2<x3)是函数f(x)=e2一tx2的三个零点，则 A.x1<0 B公号 C.若x,x2,x3成等差数列，则x一1=2ln(1十√2) D.若x1,x2,x3成等差数列，则一x1,x2,x3成等比数列 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列{an)满足a1=2,且an+1=3a,十2，则a2026= 13.若关于x的方程2sinx十cosx=1在区间[0,2π)上有2个不同的解 a,B,则cos(a十)= 14.已知函数f(x)=e一(a+1)x一b,且f(x)≥0恒成立，则(a+1)b的 最大值为 数学试题(27T)第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(本小题满分13分) 教育部《关于实施学生体质强健计划的意见》提出要保障中学生每日综 合体育活动时间，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长.某 中学对本校学生体育锻炼情况开展调研：有÷的学生每日综合体育活 动时间不足1小时，这部分学生体质健康测试不达标的概率为；每日 综合体育活动时间不少于1小时的学生，体质健康测试不达标的概率 (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该学生体质健康测试不 达标的概率； (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中 体质健康测试不达标的人数，求X的分布列和数学期望！ 16.(本小题满分15分) 如图，AB是半径为2的圆O的一条直径，C为半圆弧AB上的一个三 等分点(AC>BC),PA⊥平面ABC,PA=4,E为PB的中点，AF⊥PC 于点F. (1)证明：PB⊥平面AEF; (2)求平面PAB与平面PBC所成角的正弦值. E B 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos2A十cos2B+ sin2C=sin Asin B+2. (1)求角C的大小； (2)若c=2,∠ACB的平分线交AB于点D,求线段CD长度的最 大值. 18.(本小题满分17分) 知函数f)=-1nz十ax,其中e=2,718为自然对数的数 (1)当a=1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数F(x)=f(x)一1在区间(0，十∞)上存在两个不同的零点 C1,C2. (i)求实数a的取值范围； (i)若x1<x2,求证：xx>e5. 19.（本小题满分17分) 知双曲线E,:无一1(a,>0,6>0,n∈N)的一条渐近线的倾斜 角是另一条渐近线的倾斜角的2倍，其中a1=1,Fn为双曲线En的右 焦点，过Fn的直线与双曲线En的右支交于A,B两点，过点An,B, 分别作平行于x轴的直线，与直线z=a分别交于C,D,两点，直线 BnCn与x轴的交点为Mn(5an+1,0). (1)求双曲线En的离心率； (2)求数列(an)的通项公式； (3)定义：无穷递减等比数列(6)的所有项和S=产。其中q为 (cn)的首项，q为(cn)的公比，且0<q<1.设直线BnCn与直线AnD, 的交点为Gn,△A B.Gn的面积记为Sn,求数列(Sn)的所有项和S 的最小值