专题4.8 相似三角形几何模型（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（北师大版 ）

专题4.8 相似三角形几何模型 目录 一．模型梳理与题型分类精析 1 相似三角形几何模型（一）“A”字模型 1 【题型1】利用“A”字模型求值证明 2 相似三角形几何模型（二）“8”字模型 2 【题型2】利用“8”字模型求值证明 3 相似三角形几何模型（三）反“A”字模型 3 【题型3】利用反“A”字模型求值证明 4 相似三角形几何模型（四）特殊反“A”字（母子）模型 4 【题型4】利用特殊反“A”字模型求值证明 5 相似三角形几何模型（五）特殊反“8”字模型 6 【题型5】利用特殊反“A”字模型求值证明 6 相似三角形几何模型（六）“共边等角”模型 6 【题型6】利用“共边等角”模型求值证明 7 相似三角形几何模型（七）“一线三垂直”模型 7 【题型7】利用“一线三垂直”模型求值证明 8 相似三角形几何模型（八）“一线三等角”模型 9 【题型8】利用“一线三等角”模型求值证明 9 相似三角形几何模型（九）“三角形内接特殊四边形”模型 10 【题型9】利用“三角形内接矩形”模型求值证明 10 相似三角形几何模型（十）“射影图形”模型 11 【题型10】利用“射影图形”模型求值证明 12 相似三角形几何模型（十一）“三平行线”模型 12 【题型11】利用“三平行线”模型求值证明 13 相似三角形几何模型（十二）“旋转手拉手”模型 14 【题型12】利用“旋转手拉手”模型求值证明 14 相似三角形几何模型（十三）“十字架”模型 15 【题型13】利用“十字架”模型求值证明 15 二. 同步练习 17 【基础巩固（18题）】 17 【能力提升（23题）】 21 一．模型梳理与题型分类精析 相似三角形几何模型（一）“A”字模型 模型 基本图形 条件 结论 “A”字模型 （1） （2） 【题型1】利用“A”字模型求值证明 【例题1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点D、E分别在的边、上，且． （1）求证：；（2）已知，，，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，D、E、F分别是中边、、上的点，若四边形是平行四边形，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）如图，在中，点、分别在边、上，，．如果的面积为1平方厘米，那么的面积是 平方厘米． 相似三角形几何模型（二）“8”字模型 模型 基本图形 条件 结论 “8”字模型 （1） （2） 【题型2】利用“8”字模型求值证明 【例题2】（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，，点D，E分别在，上，且，若，，则的长度是 ． 【变式1】（2025·江苏常州·三模）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则 ． 【变式2】（24-25九年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点O，交边于点P，则的长度为（   ） A． B．1 C． D． 相似三角形几何模型（三）反“A”字模型 模型 基本图形 条件 结论 反“A”字模型 （1） （2） （3） 【题型3】利用反“A”字模型求值证明 【例题3】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． （1）求证：；（2）如果．，求的值 【变式1】（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为 ． 相似三角形几何模型（四）特殊反“A”字（母子）模型 模型 基本图形 条件 结论 特殊反“A” 字模型（母子型） （1） （2） （3） 【题型4】利用特殊反“A”字模型求值证明 【例题4】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【变式1】（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H．若H恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东济宁·三模）如图，在中，． （1）尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若与交于点P，，，求的长度． 相似三角形几何模型（五）特殊反“8”字模型 模型 基本图形 条件 结论 反“8”字模型 （1） （2） 【题型5】利用特殊反“A”字模型求值证明 【例题5】（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）如图，，相交于点O，且，，．求的长度． 【变式1】（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度． 【变式2】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在中，是的平分线，过点C的射线交的延长线于E，且，求证： 相似三角形几何模型（六）“共边等角”模型 模型 基本图形 条件 结论 共边等角模型 （1） （2） （3） 【题型6】利用“共边等角”模型求值证明 【例题6】（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）如图，，． （1）求证：；（2）若，，求的值． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，，．过点作，过点作．交于点，则的长为（   ） A． B．3 C． D．2 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：；（2）若，求的度数． 相似三角形几何模型（七）“一线三垂直”模型 模型 基本图形 条件 结论 “一线三垂直” 模型 （1） （2） 【题型7】利用“一线三垂直”模型求值证明 【例题7】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，，，． （1）求证：． （2）与有什么位置关系？请说明理由． 【变式1】（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 【变式2】（2025·四川达州·模拟预测）如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是 ． 【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 相似三角形几何模型（八）“一线三等角”模型 模型 基本图形 条件 结论 “一线三等角” 模型 三点共线，且 （1） （2） 【题型8】利用“一线三等角”模型求值证明 【例题8】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在正方形中，点P在上，，连接，将绕点B顺时旋转得线段，连接交于点E， 若，则的长是 ． 【变式1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕，若，则 ． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，E为上一点，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 【变式3】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）（1）问题发现 如图1，是等边三角形，点，分别在边，上，若，则，，，之间的数量关系是 ． （2）拓展探究 如图2，是等腰三角形，，，点，分别在边，上．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）解决问题 如图3，在中，，，点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接，在右侧作，该角的另一边交射线于点，连接．设运动时间为（），当为等腰三角形时，直接写出t的值． 【题型9】利用“三角形内接矩形”模型求值证明 【例题9】（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（   ） A． B．6 C． D．8 【变式1】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点、分别在、上． （1）若四边形是正方形，那么正方形边长是多少? （2）在矩形中， 设，． ①求y与x的函数关系，并求出自变量的取值范围； ②x取多少时，有最大值，最大值是多少? 【变式2】（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，正方形 的顶点 D，G 分别在边上， 在边 上、则点 C 到 的距离为 ； 的长是 ． 相似三角形几何模型（九）“三角形内接特殊四边形”模型 模型 基本图形 条件 结论 “三角形内接矩形”模型 四边形DGFE是矩形而且交DE于点M. （1） （2） （3） 相似三角形几何模型（十）“射影图形”模型 模型 基本图形 条件 结论 “射影图 形”模型 ，. （1） （2） （3） 【题型10】利用“射影图形”模型求值证明 【例题10】（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    （1）自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： （2）直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）在中，，于D点，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）在中，，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，，求的长． 相似三角形几何模型（十一）“三平行线”模型 模型 基本图形 条件 结论 “三平行线” 模型 （1） （2） （3） （4） 【题型11】利用“三平行线”模型求值证明 【例题11】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知 、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（      ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南新乡·三模）如图，在矩形中，，，为上一点且、交于点，若．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 相似三角形几何模型（十二）“旋转手拉手”模型 模型 基本图形 条件 结论 “三平行线” 模型 （1） （2） 【题型12】利用“旋转手拉手”模型求值证明 【例题12】（2025·江苏无锡·二模）将一个图形绕一个点旋转，往往可以得到很多有趣的结论．小明在学习旋转变换时，作了以下的尝试： （1）如图1，将绕点B旋转至 ，连接 ，请找出图中的一对相似三角形（全等除外），并证明； （2）如图2，小明又将绕点B旋转至，其中，直线 与直线相交于点D，通过观察、实验、猜想等操作方式，发现点D是线段的中点，请你帮助验证这个结论是正确的，写出证明过程； （3）如图3，若是边长为2的等边三角形，D是内一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，若，直线与直线交于点F，且F是中点，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）四边形均为正方形，若，则长为 ． 【变式2】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ． 【变式3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D在上，． （1）求证：；（2）已知，求的大小． 相似三角形几何模型（十三）“十字架”模型 模型 基本图形 条件 结论 “十字架”模型 【题型13】利用“十字架”模型求值证明 【例题13】（2025·宁夏银川·三模）【初识图形】 （1）如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； （2）如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 （3）如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，则的值为________：（直接写出结果） （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，求的值． 【变式2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，矩形中，点E、F分别是、边上两点，若，． （1）求证：； （2）若，，求BC的长． 二. 同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．9 2．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，相交于点E，且，点C，F，B在同一条直线上．已知，，．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 4．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 二、填空题 5．（24-25九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，、两处被池塘隔开，为了测量、两处间的距离，在外选一个适当的点，连接、并分别延长至点、，使得，，若测得m，则 m． 6．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，点E，F分别在边，上，，，，的面积为12，则的面积是 ． 7．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为 ． 8．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，如果，且，那么 ． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，D是的边上的点，且，，，则的长等于 ． 11．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，点E是AD的中点，点F是上一点，连接，，，若，，则的值为 ． 12．（2025·安徽合肥·一模）矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行于交于M，N．若，则四边形的面积等于 ． 三、解答题 13．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 14．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边，上，是边上的高，与相交于点O，已知，，则正方形的边长是多少？ 15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点D，E分别为，边上两点，且，，，．求证：． 16．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，正方形的四个顶点都在的边上． （1）求证：； （2）若正方形的边长是，，求的长． 17．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，于点． （1）求证：；（2）若，，求． 18．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 【能力提升（23题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在中，，用直尺和圆规在上确定点F，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·三模）如图，等边的边长为6，点在上，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，正方形的顶点E，F在内，顶点D，G分别在边上，，，则点F到的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，中，，有三个正方形、、，它们分别是、和的内接正方形，，，则第三个正方形的边长的长（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，平分，若，则长度为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，四边形的对角线，交于点E，则以下结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 11．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是边上的一点，连结交于点；若，面积为8，则平行四边形的面积是 ． 12．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，，．将绕着点旋转得到，若点恰好落在上，则的长为 ． 13．（2025·江西宜春·三模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，点P在下方矩形的边上，当为直角三角形，且点P为直角顶点时，的长为 ． 14．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 15．（2025·北京·模拟预测）在中，是边上的高且满足，若，则 ． 16．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则边长x为 ． 17．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，E为上一点，且，连接，与相交于点F．若，则的长为 ． 18．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在正方形中，E是边的中点，F是边上异于B，C的一点． （1）若，则 ． （2）当与满足数量关系 时，． 三、解答题 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图1，在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接．   （1）求证：四边形是菱形． （2）如图2，连接，求证：． （3）若，求的值． 22．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． （1）如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． （2）如图1所示，若为任意锐角，证明：． （3）若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 23．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.8 相似三角形几何模型 目录 一．模型梳理与题型分类精析 1 相似三角形几何模型（一）“A”字模型 1 【题型1】利用“A”字模型求值证明 2 相似三角形几何模型（二）“8”字模型 4 【题型2】利用“8”字模型求值证明 5 相似三角形几何模型（三）反“A”字模型 7 【题型3】利用反“A”字模型求值证明 8 相似三角形几何模型（四）特殊反“A”字（母子）模型 10 【题型4】利用特殊反“A”字模型求值证明 10 相似三角形几何模型（五）特殊反“8”字模型 13 【题型5】利用特殊反“A”字模型求值证明 13 相似三角形几何模型（六）“共边等角”模型 15 【题型6】利用“共边等角”模型求值证明 15 相似三角形几何模型（七）“一线三垂直”模型 18 【题型7】利用“一线三垂直”模型求值证明 18 相似三角形几何模型（八）“一线三等角”模型 23 【题型8】利用“一线三等角”模型求值证明 23 相似三角形几何模型（九）“三角形内接特殊四边形”模型 30 【题型9】利用“三角形内接矩形”模型求值证明 30 相似三角形几何模型（十）“射影图形”模型 34 【题型10】利用“射影图形”模型求值证明 34 相似三角形几何模型（十一）“三平行线”模型 37 【题型11】利用“三平行线”模型求值证明 37 相似三角形几何模型（十二）“旋转手拉手”模型 41 【题型12】利用“旋转手拉手”模型求值证明 41 相似三角形几何模型（十三）“十字架”模型 47 【题型13】利用“十字架”模型求值证明 48 二. 同步练习 53 【基础巩固（18题）】 54 【能力提升（23题）】 67 一．模型梳理与题型分类精析 相似三角形几何模型（一）“A”字模型 模型 基本图形 条件 结论 “A”字模型 （1） （2） 【题型1】利用“A”字模型求值证明 【例题1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点D、E分别在的边、上，且． （1）求证：； （2）已知，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明； （2）根据相似三角形的性质，求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 【变式1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，D、E、F分别是中边、、上的点，若四边形是平行四边形，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得到，，从而，，根据相似三角形的性质即可判断选项A，B，D，根据平行线分线段成比例可判断选项C． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． A选项：∵， ∴， ∵， ∴不成立，故本选项错误； B选项：∵， ∴，故本选项正确； C选项：∵ ∴，故本选项正确； D选项：∵， ∴，故本选项正确． 故选：A 【变式2】（2025·上海·模拟预测）如图，在中，点、分别在边、上，，．如果的面积为1平方厘米，那么的面积是 平方厘米． 【答案】6 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出是解题的关键． 由，得，由，证明，得 ，则，最后根据求出结果． 解：， ， ， ， ， ， 平方厘米， 平方厘米， 平方厘米， 平方厘米， 故答案为：6． 相似三角形几何模型（二）“8”字模型 模型 基本图形 条件 结论 “8”字模型 （1） （2） 【题型2】利用“8”字模型求值证明 【例题2】（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，，点D，E分别在，上，且，若，，则的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形．过点C作交的延长线于F，判定是等腰直角三角形，得到，判定，推出，求出，判定，得到，即可求出的长． 解：过点C作交的延长线于F， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025·江苏常州·三模）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 先根据正方形的性质证明，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 解：∵正方形，， ∴，， ∵正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即，解得∶． 故答案为：3． 【变式2】（24-25九年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点O，交边于点P，则的长度为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行四边形的性质得到，进而可得，即得是等边三角形，故，再证明，得到，根据即可求出答案． 解：由作图可知，平分， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的定义等知识． 相似三角形几何模型（三）反“A”字模型 模型 基本图形 条件 结论 反“A”字模型 （1） （2） （3） 【题型3】利用反“A”字模型求值证明 【例题3】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． （1）求证：； （2）如果．，求的值 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），结合（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 解：（1）证明：∵分别是的高线， ∴． ∵， ∴； （2）在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，运动时间为，则得到，，当与相似时，有或，列方程即可得到结论．利用分类讨论及方程的思想解决问题是解题的关键． 解：∵运动时间为，则，， ∵，，， ∴当与相似时，有或， 当时，则有， ∴， 解得：； 当时，则有， ∴， 解得：； 综上所述，当点、同时运动秒或秒后，与相似． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质．利用勾股定理求得，再证得，进而可得，进而可求解． 解：由图可知， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 相似三角形几何模型（四）特殊反“A”字（母子）模型 模型 基本图形 条件 结论 特殊反“A” 字模型（母子型） （1） （2） （3） 【题型4】利用特殊反“A”字模型求值证明 【例题4】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D是边上的一点，请添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 利用相似三角形的判定定理进行添加条件即可． 解：∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交于点H．若H恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，证明三角形全等以及三角形相似是解题关键．连接，先证明，得到，进一步证明得到，再由H是中点，得到，即可得到答案． 解：如图，连接， 由题意得，， ∴， 由作图即可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（2025·山东济宁·三模）如图，在中，． （1）尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若与交于点P，，，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查作图作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，在的上方作，射线，交于点D即可； （2）设，，利用相似三角形的性质构建方程求解． 解：（1）解：如图所示： ； （2）解：设， ， ， ，， ， ， ， 解得，， 经检验，是分式方程的解， ． 相似三角形几何模型（五）特殊反“8”字模型 模型 基本图形 条件 结论 反“8”字模型 （1） （2） 【题型5】利用特殊反“A”字模型求值证明 【例题5】（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）如图，，相交于点O，且，，．求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据，，证明，再根据相似三角形的性质进行列式计算，即可作答． 解：∵相交于点O， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【变式1】（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答． 解：， ， ∴， ， ∴， ． 【变式2】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在中，是的平分线，过点C的射线交的延长线于E，且，求证： 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了角平分线性质，相似三角形判定和性质，根据是的平分线，得到，由，得到，证明，得到即可证明结论． 解：证明：是的平分线， ， 又， ， 又， ， ， 即． 相似三角形几何模型（六）“共边等角”模型 模型 基本图形 条件 结论 共边等角模型 （1） （2） （3） 【题型6】利用“共边等角”模型求值证明 【例题6】（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）如图，，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握相似三角形的判定及性质，能用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由平行线的性质得，由相似三角形的判定方法，即可得证； （2）由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 解：（1）证明：， ， 又， ． （2）解：由（1）知， ， 在中，，， ∴ ， ， 解得：． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，，．过点作，过点作．交于点，则的长为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，证明是关键．先求出，．，再证明，则，代入数值即可得到答案． 解：∵过点作，过点作．交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 相似三角形几何模型（七）“一线三垂直”模型 模型 基本图形 条件 结论 “一线三垂直” 模型 （1） （2） 【题型7】利用“一线三垂直”模型求值证明 【例题7】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，，，． （1）求证：． （2）与有什么位置关系？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由正方形性质可得，，，则，，则有，然后证明即可； （）由，则，又，则，所以，从而得出，从而求证． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质及相似三角形判定与性质，先证明，得出，代入计算求出答案． 解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（2025·四川达州·模拟预测）如图，已知中，，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式等知识，过点作于，设，构建一元二次方程，利用判别式求出的最大值，可得结论．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 解：过点作于，如图所示： 设， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴或（，不符合题意，舍去）， ∴， ∴的最大值为， 当点从点运动到点的过程中，开始时，点从点B开始向左运动，达到最大值时，然后点应该是再往右运动，然后回到点B， ∴点经过的路径长是2倍的的最大值， ∴点经过的路径长是， 故答案为：． 【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】（1）见分析（2）10 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，可推导出，继而证明，即可解答； （2）先证明，再推导出，可得到，则，求出，即可解答． 解：（1）证明：∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， 在△ABC和△EDB中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 相似三角形几何模型（八）“一线三等角”模型 模型 基本图形 条件 结论 “一线三等角” 模型 三点共线，且 （1） （2） 【题型8】利用“一线三等角”模型求值证明 【例题8】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在正方形中，点P在上，，连接，将绕点B顺时旋转得线段，连接交于点E， 若，则的长是 ． 【答案】 【分析】由正方形的性质得，，则，由点P在上，，求得，由旋转得，则，所以，由，证明，推导出，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 解：四边形是正方形，， ，， ， 点P在上，， ， ， 将绕点B顺时针旋转得线段交于点E， ， ， °， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，由条件可以得出 设，就有，设 ，根据相似三角形的性质就可以表示出，再根据，就可以求出与的数量关系，从而求出结论，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠可知：与关于对称， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，E为上一点，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是得到． （1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答 ． （2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案． 解：（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ，即 ， ∴． 【变式3】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）（1）问题发现 如图1，是等边三角形，点，分别在边，上，若，则，，，之间的数量关系是 ． （2）拓展探究 如图2，是等腰三角形，，，点，分别在边，上．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）解决问题 如图3，在中，，，点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接，在右侧作，该角的另一边交射线于点，连接．设运动时间为（），当为等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）；（1）结论成立，见分析；（3）2或4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握分类的思想方法是解题的关键． （1）问题发现：通过角的关系可证，根据相似三角形对应边成比例可得到线段的关系； （2）拓展探究:可证明，即可得到结论； （3）解决问题:可证，然后得到，用可表示线段的长，当点在线段上时，若为等腰三角形时，则，代入计算即可；当点在延长线上时，若为等腰三角形时，则为等边三角形，代入计算得到． 解：（1）问题发现 ，，，之间的数量关系是：， 理由：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． （2）拓展探究 （1）中的结论成立， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解决问题 ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 由题意可知，，即， 如图，过点作于， ，， ， ，， ， ， ，即， 当点在线段上时，若为等腰三角形时，则，如图2， 此时， ， 解得：， 当点在延长线上时，若为等腰三角形时，如图3， 此时，则为等边三角形，， 此时， ， 解得：， 当为等腰三角形时，的值为或． 相似三角形几何模型（九）“三角形内接特殊四边形”模型 模型 基本图形 条件 结论 “三角形内接矩形”模型 四边形DGFE是矩形而且交DE于点M. （1） （2） （3） 【题型9】利用“三角形内接矩形”模型求值证明 【例题9】（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】由，推出，设，，在中，则有，可得，求出，的面积即可解决问题． 解：四边形是正方形， ，，， ， ∴， ，设，， 在中，则有， ， ， ， ， ， 故选：. 【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【变式1】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点、分别在、上． （1）若四边形是正方形，那么正方形边长是多少? （2）在矩形中， 设，． ①求y与x的函数关系，并求出自变量的取值范围； ②x取多少时，有最大值，最大值是多少? 【答案】（1）这个正方形的边长是；（2） ；时， S的最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用，得出是解题关键． （1）首先得出，进而利用相似三角形的性质求出即可； （2）①利用正方形的判定方法得出邻边关系进而得出答案； ②由根据二次函数的最值即可求． 解：（1）解：， ∴， ， 设正方形的边长为， ， ， 答：这个正方形的边长是； （2）解：①在矩形中，设，， 由（1）可得：， ∴； ②由题意得， ∴ ∴时，的最大值是． 【变式2】（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，正方形 的顶点 D，G 分别在边上， 在边 上、则点 C 到 的距离为 ； 的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的性质及应用．解题关键是利用数形结合思想，将几何图形的性质与代数方程结合，逐步推导．利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边长度，通过三角形面积的不同表达方式求出点C到的距离；再通过构造辅助线，利用正方形的性质和相似三角形的对应边成比例关系，建立方程求解正方形的边长． 解：在中，，由勾股定理， ， ， ， ， 解得， 过点C作于点M，交于点N， 四边形是正方形， ， ，且， ， ， 设，则，， ， 解得， 相似三角形几何模型（十）“射影图形”模型 模型 基本图形 条件 结论 “射影图形” 模型 ， . （1） （2） （3） 【题型10】利用“射影图形”模型求值证明 【例题10】（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    （1）自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： （2）直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用三角形相似证明结论； （2）设长为x，则，根据射影定理可得，求出长，再根据射影定理求出结果即可． 解：（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设长为x，则， 根据射影定理可知， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）在中，，于D点，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．根据根据勾股定理可判断A，证明，，，可判断B，C，D． 解：如图， A．∵， ∴，故A正确； B．∵， ∴． ∵， ∴ ∴ ∴． ， ， ∴， ∴，故B不正确； C．同理可证， ∴， ∴，故C正确； D． 同理可证， ∴， ∴，故D正确； 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）在中，，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 解：（1）证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ （2）∵ ∴， 又 ∴． ∴． 【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 相似三角形几何模型（十一）“三平行线”模型 模型 基本图形 条件 结论 “三平行线” 模型 （1） （2） （3） （4） 【题型11】利用“三平行线”模型求值证明 【例题11】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知 、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定方法得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，于是得到结论． 解：、，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【变式1】（2025·河南新乡·三模）如图，在矩形中，，，为上一点且、交于点，若．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；由矩形的性质及勾股定理可求得，由得，得，由此可求得；再可得，则，即可求得． 解：∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：． 【变式2】（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质、乘法公式等知识．由，，，，则，，所以，，则，所以，则，，由，得，所以，则，可判断①符合题意；由得，因为不一定等于，所以与不一定相等，可判断②不符合题意；由，且，得，可判断③符合题意，于是得到问题的答案． 解：，，，，，， ∴， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故①符合题意； 由得， 与不一定相等， 不一定等于， 与不一定相等， 故②不符合题意； ，且， ， 故③符合题意， 故选：B． 相似三角形几何模型（十二）“旋转手拉手”模型 模型 基本图形 条件 结论 “三平行线” 模型 （1） （2） 【题型12】利用“旋转手拉手”模型求值证明 【例题12】（2025·江苏无锡·二模）将一个图形绕一个点旋转，往往可以得到很多有趣的结论．小明在学习旋转变换时，作了以下的尝试： （1）如图1，将绕点B旋转至 ，连接 ，请找出图中的一对相似三角形（全等除外），并证明； （2）如图2，小明又将绕点B旋转至，其中，直线 与直线相交于点D，通过观察、实验、猜想等操作方式，发现点D是线段的中点，请你帮助验证这个结论是正确的，写出证明过程； （3）如图3，若是边长为2的等边三角形，D是内一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，若，直线与直线交于点F，且F是中点，求的长． 【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3） 【分析】（1）根据旋转可得，即可证明． （2）根据旋转的性质得出，，，证出，过作交的延长线于点，得出，即可得，  等角对等边得，证出，即可得，即是的中点． （3）过作交的延长线于点，连接，得出，根据是等边三角形，得出，，根据旋转可得，则是等边三角形，从而得，证明，得出，再证明，得出，设，求出，证出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 解：（1）解： ， 理由如下： 根据旋转可得， ∴， ∴． （2）解：∵将绕点B旋转至，其中， ∴，，， ∴，， ∴， 过作交的延长线于点， ∴， ∴，   ∴， ∵，，  ， 所以， ∴， 即是的中点． （3）解：过作交的延长线于点，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点拨】该题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）四边形均为正方形，若，则长为 ． 【答案】 【分析】连接对角线和，与分别是四边形 和的角平分线，可得，再证，则，即可求出结果. 解：如图，连接对角线和， ∵四边形 和都是正方形， ∴与分别是四边形 和的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即： 解得： 【点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，耐心推理是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及线段最短，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 由题意得，即可证明，得和，即有，进一步得，有，则有，即当最短时，最短、最长，当时，即可求得最大值． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，． ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即当最短时，最短、最长， ∵当时，最短、最长，此时， ∴， 则， 故答案为∶． 【变式3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D在上，． （1）求证：； （2）已知，求的大小． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似可证明结论； （2）证明得到，根据三角形内角和定理可得，据此可得答案． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 相似三角形几何模型（十三）“十字架”模型 模型 基本图形 条件 结论 “十字架”模型 【题型13】利用“十字架”模型求值证明 【例题13】（2025·宁夏银川·三模）【初识图形】 （1）如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； （2）如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 （3）如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； （3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； 解：（1）解：四边形为正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图，过点作于点， 四边形为正方形，，， ， ，， 四边形为矩形，， ， 于点， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如图所示，过点作于点， 是直角三角形，， ， 点是的中点， ， 在中，， ， 设， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查相似形综合应用，主要考查全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造相似三角形，数形结合分析是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，则的值为________：（直接写出结果） （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，若，求的值． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形和相似三角形的性质是解答的关键． （1）先根据正方形的性质得，，再根据余角性质得到，进而利用证明，根据全等三角形的对应边相等得到即可求解； （2）根据矩形的性质和余角性质得到，，进而证明，然后根据相似三角形的性质可得结论． 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，矩形中，点E、F分别是、边上两点，若，． （1）求证：； （2）若，，求BC的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）2 【分析】（1）利用证明即可解答； （2）连接BF，根据，证得是等腰直角三角形，则，，根据求出，证明，列比例式求出即可． 解：（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接BF， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， ， ， 【点拨】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判定． 二. 同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过两角对应相等判定三角形相似，并利用相似三角形对应边成比例建立等量关系求解． 利用公共角 和已知，判定；设长为x，表达出的长度；根据相似三角形对应边成比例列出关于x的方程，求解得到的长． 解：∵（公共角） ∴（两角分别相等的两个三角形相似） （相似三角形对应边成比例） 设则 已知代入比例式得： 交叉相乘得： 化简： 解得： 故选： C． 2．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质及相似三角形判定与性质，先证明，得出，代入计算求出答案． 解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，相交于点E，且，点C，F，B在同一条直线上．已知，，．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先说明和，可得，，进而得出答案. 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 由上述可知， 即， ∴. 所以只有淇淇正确. 故选：B. 4．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 解：∵， ∴ ， ∴， 故选：C. 二、填空题 5．（24-25九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，、两处被池塘隔开，为了测量、两处间的距离，在外选一个适当的点，连接、并分别延长至点、，使得，，若测得m，则 m． 【答案】75 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，证明，根据相似三角形的性质即可解答． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：75 6．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，点E，F分别在边，上，，，，的面积为12，则的面积是 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据，可得，从而得到，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∵，，的面积为12， ∴， ∴． 故答案为：75 7．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，正方形的边长为4，是边上的动点，作交边于点，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 设，证明，可得，即可求解． 解：设， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为1． 故答案为：1 8．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．设再经过t秒与相似，分两种情况：当时，当时，即可求解． 解：设再经过t秒与相似， 根据题意得：， ∴， ∵， 当时，， 此时， 解得：； 当时，， 此时， 解得：； 综上所述，再经过或秒与相似． 故答案为：或 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，如果，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据“两边对应成比例，夹角相等”证明可以得出． 解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，D是的边上的点，且，，，则的长等于 ． 【答案】9 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，则，求出，即可得到的长． 解：∵，， ∴ ∴, ∵，， ∴, ∴， ∴； 故答案为：9． 11．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，点E是AD的中点，点F是上一点，连接，，，若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上性质是解题的关键． 根据题意得出∽，设，则，进而得出，，即可求解． 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ∽， ， 点E是中点， ， 设，则， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（2025·安徽合肥·一模）矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行于交于M，N．若，则四边形的面积等于 ． 【答案】3 【分析】本题主要查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 根据旋转的性质以及勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，可得，，设，则，然后根据，可得，即可求解． 解：∵矩形绕点B旋转得到矩形，， ∴， ∴， ∵平行于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴四边形的面积等于． 故答案为：3 三、解答题 13．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 解：证明：，，， ，， ， ， 14．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边，上，是边上的高，与相交于点O，已知，，则正方形的边长是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键． 设正方形的边长为，由正方形的性质可知，，从而，由相似三角形对应边成比例得，再建立关于的方程求解即可． 解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 则正方形的边长为． 15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点D，E分别为，边上两点，且，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知可得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可得证． 解：证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，正方形的四个顶点都在的边上． （1）求证：； （2）若正方形的边长是，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． （1）先由正方形得到，再由互余关系证明，即可证明相似； （2）由求出，再由线段和差计算即可． 解：（1）解：四边形是正方形， ，， ， ∴ ∵ ， ， （2）解：， ， ，， ， 解得， （）． 17．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 解：（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 18．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，点在边上，连接，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定，先由旋转得，进而得，，，即可证． 解：证明：根据旋转的性质，得， ， ， ． 由， 得， ． 【能力提升（23题）】 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故选：C． 2．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在中，，用直尺和圆规在上确定点F，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，相似三角形的判定与性质；由作图可得，即可得出，再由相似三角形的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 解：由作图可得：， ∴， ∵， ∴，，故D错误； ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵，， ∴， ∴， 即，， 故A、C错误； 故选：B． 3．（2025·江苏南通·三模）如图，等边的边长为6，点在上，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，过作于，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．熟练掌握各知识点是解题的关键． 解：如图，过作于， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转得到， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，正方形的顶点E，F在内，顶点D，G分别在边上，，，则点F到的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于点M，交于点N，延长交于点H，通过证明，可得，可证，可证，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案． 解：过点A作于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由尺规作图可知平分，过点作，根据角平分线的定义可知，利用勾股定理可以求出，因为，，可证，根据相似三角形的性质可得：，从而可以求出的长度． 解：如下图所示，过点作， 由作图可知平分， ， ， ， 在中，， ，， ， 又在和中，，， ， ， ， 解得：． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了尺规作图、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据作图的方法判断射线是的平分线，再根据角平分线的性质找边、角之间的关系． 6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加平行线辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．过点作交于点，先证明得到，再证明得到，即可求出的值． 解：如图，过点作交于点， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，中，，有三个正方形、、，它们分别是、和的内接正方形，，，则第三个正方形的边长的长（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，正方形的性质，得到是解题的关键．先由相似三角形的判定可得，再由相似三角形的性质可得，然后将已知条件代入，即可求得的长度． 解：∵正方形、、， ∴，，，， ， ， ∴， 设正方形的边长为， ∴，，， ∴， 解得， 故选：D． 8．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，平分，若，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和列式计算得，运用角平分线的定义得，整理得，，再证明，代入数值到，进行解方程，即可作答． 解：∵在中，，， ∴． ∵平分， ∴．， ∴， ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 即（负值已舍去） 故选：B． 【点拨】本题考查了三角形内角和，三角形外角性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质，公式法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据矩形的性质可证明，，即可证明结论正确； ②根据可证明，利用相似三角形的性质即可证明，但无法证明； ③过点D作，分别交，于点M，N，可证明四边形平行四边形，则，进一步可证明垂直平分，可得结论正确； ④设，，证明，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，即可判断结论是否正确． 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， 是边的中点， ， ，但无法证明，故②错误； 如图，过点D作，分别交，于点M，N，则四边形平行四边形，    ， ， ， ， ， 垂直平分， ，故③正确； 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的结论有3个． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 10．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，四边形的对角线，交于点E，则以下结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据选项正确三角形相似，由此进行判断即可 解：A.∵，， ∴， ∴；故A选项正确，不符合题意； B.∵， ∴， ∴， ∴故选项B正确，不符合题意； C.∵，， ∴ ∴，故选项C错误，符合题意； D.∵，， ∴ ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C 二、填空题 11．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是边上的一点，连结交于点；若，面积为8，则平行四边形的面积是 ． 【答案】140 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．由，得到，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论． 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴，， ∴，， ∴的面积是， ∴平行四边形的面积是， 故答案为：140． 12．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，，．将绕着点旋转得到，若点恰好落在上，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点A作交于点F，设，则，勾股定理求出，然后由旋转得到，由三线合一求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 解：如图所示，过点A作交于点F ∵，， 设，则 ∴ ∴ 解得 ∴ ∵将绕着点旋转得到 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：． 【点拨】此题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 13．（2025·江西宜春·三模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，点P在下方矩形的边上，当为直角三角形，且点P为直角顶点时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．当点P在边上时，可证明四边形是矩形，求得的长，再根据勾股定理求解即可；当点P在边上时，先证明，可得，设，列出方程求解即可． 解：当点P在边上时， 四边形是矩形， ，，， 点E为的中点， ， 为直角三角形，点P为直角顶点， ， 四边形是矩形， ， ； 当点P在边上时， 为直角三角形，点P为直角顶点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得，或， 或； 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 14．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】作于点M，根据角平分线的性质得到，进而得到，根据等角对等边得到，证明，得到，证明，得到，代入计算即可． 解：如图，作于点M， 由题意得，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴ ， ， ，， ∴ ，即， ， ． 故答案为：3． 【点拨】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 15．（2025·北京·模拟预测）在中，是边上的高且满足，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键．分三种情况讨论，一是点在边上，因为是边上的高且满足，所以，，则，所以，则；二是点在边的延长线上，由，，证明，则，所以；三是点在边的延长线上，则，于是得到问题的答案． 解：是边上的高且满足，， ，， 如图，点在边上， ，， ， ， ； 如图，点在边的延长线上，则， ，， ， ， ； 如图，点在边的延长线上， ，且， ，不符合题意， 综上所述，或， 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则边长x为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由正方形的性质得出平行线，证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解． 由正方形的性质得，可证，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求的值． 解：∵， ∴， ，即， 解得． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，E为上一点，且，连接，与相交于点F．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 根据矩形的性质得，，，则，有，再根据，可得，从而得，即可解答． 解：四边形是矩形， ，，． ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴ 故答案为：2． 18．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在正方形中，E是边的中点，F是边上异于B，C的一点． （1）若，则 ． （2）当与满足数量关系 时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． （1）利用相似三角形的性质得出对应角相等，然后利用角的和差可求解； （2）利用相似三角形的判定定理确定，再利用线段中点的性质确定线段的数量关系即可． 解：（1）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， , ， 故答案为：； （2）当时，， ∵E是边的中点， ， ∴， 此时，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 解：（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 20．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，是斜边上的高． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明； （2）根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论． 解：（1）证明：， ， ， ∴； （2）解：∵ ， 即， ． 21．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图1，在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接．   （1）求证：四边形是菱形． （2）如图2，连接，求证：． （3）若，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）． 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，熟练掌握菱形的判定及性质定理是解本题的关键． （1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可； （2）根据四边形是菱形得到，得到，再利用等腰三角形的性质得到，即可解答； （3）求得，得到，再通过角度计算得到，即可解答． 解：（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 垂直平分， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ． ， ， ， ， ∴； （3）解：， ∵， ∴， ． ， ， ， ， ∴． 22．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． （1）如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． （2）如图1所示，若为任意锐角，证明：． （3）若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）成立，证明见分析 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 解：（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 23．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） ，  （2）结论成立，理由见分析  （3）或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． （1）通过证明可得 ，即可求解； （2）通过证明可得 ，即可求解； （3）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，过点作于，由勾股定理可求的长，即可求解． 解：（1）如图①， 连接， 连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： ，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； （3）如图③，当点在直线的左侧时，过点作交的延长线于，则， ， ， ， ， ， ； 如图④，当点在直线的右侧时，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$