精品解析：山东省日照市莒县第一中学2025-2026学年高三清北班开学考试模拟（二）数学试题

清北班高三开学考试模拟题数学（二） 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 2. 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若的图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题，，则命题的否定为， B. “”是“”成立的充要条件 C. 函数的最小值是 D. “”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件 10. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，且，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题 12. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 13. 若方程在上的解为，则的值为______ 14. 函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为__________． 四､解答题 15. 定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）已知，，边BC上有一点D满足，求AD． 17. 已知数列，，，，且为等比数列. （1）求的值； （2）记数列的前项和为.若，求的值. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处切线的方程； （2）当时，试判断在上零点的个数，并说明理由； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 19. 设函数，. （1）试判断的单调性； （2）证明：对任意，有，当且仅当时等号成立. （3）已知，证明：（其中） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清北班高三开学考试模拟题数学（二） 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集运算即可. 【详解】，则，且，解得， 则集合， 则 故选：B. 2. 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 3. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的计算公式结合等差数列的性质可求. 【详解】. 故选：D. 4. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 5. 设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数零点的定义，转化为函数，在上的图象有公共点求解. 【详解】由，得， 依题意，在上有解，记，， 因此函数在上的图象有公共点，，如图， 当时，，显然函数在上的图象无公共点， 当时，函数图象都关于对称， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 6. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数的对称性排除A，再根据对应的函数值符号排除BC即可求解. 【详解】， ，定义域关于原点对称， ， 是奇函数，排除A； 当时，，排除C； 当时，中，故，排除B. 故选：D 7. 若的图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求“友情对点”，可把的函数图象关于原点对称，即研究对称过去的图象和的图象有两个交点即可. 【详解】关于原点对称的解析式为． 的图象与的交点个数即为方程根的个数，即， 设，于是． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，函数取最小值． 于是作出的图象如图所示： 所以，即时与有两个交点， 原函数有两对“友情对点”．故实数a的取值范围是． 故选：D 8. 已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得 ，为奇数时，， 根据单调性可得： ，为偶数时，，根据单调性可得： ，可得的最大值与最小值分别为2，， 考虑到函数 在上单调递增，即可得出结论． 【详解】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得， 所以， 当为奇数时，，易得单调递减，且，所以； 当为偶数时，，易得单调递增，且，所以． 所以的最大值与最小值分别为2，． 函数在上单调递增，所以． ．所以的最小值． 故选：B． 【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前n项和，通过分类讨论并利用函数单调性求得的最大值和最小值，再由函数在上单调递增且，可求取值范围. 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题，，则命题的否定为， B. “”是“”成立的充要条件 C. 函数的最小值是 D. “”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A，根据必要条件的定义和不等式的性质判断B， 设，结合对勾函数性质求函数的最小值，判断C，根据零点的定义，结合指数函数和对数函数图象判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，若，，则， 所以“”不是“”成立必要条件，故B错误； 对于C，设，则，， 设，， 由对勾函数的性质可得，函数在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，取最小值，最小值为，故C正确； 对于D，令，则， 当时，作出函数，的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 所以当时，函数的零点个数为2； 当时，作出函数，的图象， 由图可知函数，的图象有1个或2个或3个交点， 所以当时，函数的零点个数为1或2或3， 所以“”是“函数的零点个数为2”成立的充分不必要条件， 故D错误. 故选：AC. 10. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D. 【详解】由，又斜边，则，则，A正确； 若为中点，则，故，又， 所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误； 由上，则， 又，则，当且仅当等号成立， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】法一、利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性可判定A、B、C选项，利用C的结论可判定D项；法二、构造函数，利用正、余弦函数的性质一一判定选项即可. 【详解】法一、由题意可知为上奇函数，即， 令 或0（舍去），故A错误； 令， 故B正确； 由条件可知，， 则有， 所以，则，故C正确； 由C：，即的一个周期为， 所以，故D错误. 法二、由题意可设，则，显然符合条件， 对于A项，，故A错误； 对于B项，，故B正确； 对于C项，，故C正确； 对于D项，，所以， 故D错误. 故选：BC 【点睛】思路点睛：抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令及构造并判定其是否相等可分别判定A、B、C选项，另外结合函数的奇偶性与其导函数奇偶性的关系可得出最终结果；还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更快捷的得出结果. 三､填空题 12. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得. 【详解】对于，易知，切线斜率为，切点为； 则曲线在处的切线为， 显然，设切点， 由，解得. 故答案为：2 13. 若方程在上的解为，则的值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得到关于对称，得到，即可求解. 【详解】令，即对称轴为， 因为，可得， 因为在上的解为，可得关于对称， 所以，则. 故答案为：. 14. 函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造，得到其在上为偶函数，且在上单调递增，变形得到，从而得到，求出答案. 【详解】令，则， 又，所以得， 即，所以为上的偶函数， 又时，，所以在上单调递增， 又为上的偶函数，所以在上单调递减， 由，得， 所以， 即，所以得，解得：， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 四､解答题 15. 定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：由奇函数性质列方程求解，并检验；方法二：由奇函数的性质得恒等式，进而求解； （2）利用奇函数、减函数的性质结合题意可得在上有解，进一步可得，由此即可得解. 【小问1详解】 方法一：是奇函数，，即，解得， 又由知：，解得． 此时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是奇函数． 故． 方法二：是奇函数， ， ， 即恒成立． 或， 当时，的定义域为，舍去， 当时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是奇函数． 故满足题意． 【小问2详解】 由（1）知， 则由复合函数单调性可知在上为减函数， 又是奇函数，由得： ， ，即在上有解， 当且仅当，即时等号成立， 在上的最大值为， ，即． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）已知，，边BC上有一点D满足，求AD． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理，有， 即， 又，即有，， ，，所以，，故． 【小问2详解】 设，，由（1）知， 在△ABC中，由余弦定理，可知 ，∴ 又，可知， 在△ABD中，， 即，① 在△ACD中，， 即，② 联立①②解得. 17. 已知数列，，，，且为等比数列. （1）求的值； （2）记数列的前项和为.若，求的值. 【答案】（1）2 （2）2 【解析】 【分析】（1）计算出，，，.，进而得到，根据等比数列得到方程，求出，验证后得到答案； （2）求出，分为偶数和为奇数时，得到，，又，故，所以为偶数，从而得到方程，求出. 【小问1详解】 因为，则，，，. 又，则，，. 因为为等比数列，则，所以， 整理得，解得或2. 因为，故. 当时， . 则，故为等比数列，所以符合题意. 【小问2详解】 ， 当为偶数时， ； 当为奇数时，. 综上，， 因为，又， 故，所以为偶数. 所以， 整理得，解得或（舍），所以. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处切线的方程； （2）当时，试判断在上零点的个数，并说明理由； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）1个，理由： ，令，则， 当时，，则在上单调递增. 因为，， 所以存在唯一的，使得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 又，所以，又， 所以当时，在上有且只有一个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可求解； （2）根据题意，将函数零点问题转化为导函数极值点问题，再由零点存在定理代入计算，即可判断； （3）根据题意，分与讨论，利用导数判断函数的单调性，然后再由的正负分情况讨论，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则， 所以曲线在处切线的斜率. 又因为，所以曲线在处切线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，，与当时，矛盾，不满足题意. ②当时，，， 令，则，. 记函数，，则， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减， 所以，所以. 又因为在上单调递增， 所以，所以在上单调递增. （i）若， 则，所以在上单调递增， 则，符合题意； （ii）若，可得，则. 因为，且在上单调递增， 所以存在唯一的，使得. 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 其中，且. 所以 ， 因为，所以. 又因为，所以， 所以，满足题意. 结合①②可知，当时，满足题意. 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用分类讨论，结合导数问题中隐零点的处理方法判断区间函数值符号为关键. 19. 设函数，. （1）试判断的单调性； （2）证明：对任意，有，当且仅当时等号成立. （3）已知，证明：（其中） 【答案】（1）在上单调递增. （2） 令， 则. 又在上单调递增， 当时，； 当时，； 当时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取最小值， 即， 从而， 即. （3） ， 要证， 只需证， 即证.（*） 显然，当时，不等式（*）中等号成立. 令， 由（2）可知：成立， 即：成立， 即： 而 成立， 从而成立. 【解析】 【分析】（1）利用二次求导即得； （2）令，则，由（1）得在上的单调性，进而，即可证明； （3）将原不等式转化为，令，由（2）得，结合即可证明. 【小问1详解】 ， 令， ， ，， 故在上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：小问（2），令，则，由在上单调递增，得到在处取最小值，即，命题得证；小问3，解决该小问的关键是利用分析法证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $