山东省日照市莒县第一中学2025-2026学年高三清北班开学考试模拟（二）数学试题

清北班高三开学考试模拟题数学（二） 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 2. 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若的图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二､多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题，，则命题的否定为， B. “”是“”成立的充要条件 C. 函数的最小值是 D. “”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件 10. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，且，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题 12. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 13. 若方程在上的解为，则的值为______ 14. 函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为__________． 四､解答题 15. 定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）已知，，边BC上有一点D满足，求AD． 17. 已知数列，，，，且为等比数列. （1）求的值； （2）记数列的前项和为.若，求的值. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处切线的方程； （2）当时，试判断在上零点的个数，并说明理由； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 19. 设函数，. （1）试判断的单调性； （2）证明：对任意，有，当且仅当时等号成立. （3）已知，证明：（其中） 清北班高三开学考试模拟题数学（二） 一､单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二､多选题 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BC 三､填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四､解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）2 （2）2 【18题答案】 【答案】（1） （2）1个，理由： ，令，则， 当时，，则在上单调递增. 因为，， 所以存在唯一的，使得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 又，所以，又， 所以当时，在上有且只有一个零点. （3） 【19题答案】 【答案】（1）在上单调递增. （2） 令， 则. 又在上单调递增， 当时，； 当时，； 当时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取最小值， 即， 从而， 即. （3） ， 要证， 只需证， 即证.（*） 显然，当时，不等式（*）中等号成立. 令， 由（2）可知：成立， 即：成立， 即： 而 成立， 从而成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $