第一章 三角形单元 同步检测卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第1章单元同步检测卷 考试时间:120分钟 满分:100 分 成绩: 一、选择题(每题2分，共16分) 1. 如图,已知△ABC≌△DEC,∠A =55°,∠B=45°,则∠DCE 的度数为 ( ) A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 2.(2024·青海)如图,OC 平分∠AOB,点P 在OC 上,PD⊥OB,垂足为D.若PD=2,则点P 到OA 的距离是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 如图,在△ABC 中,AD 是中线,△ABD 的周长比△ACD 的周长多3cm.若AB=10cm,则AC 的长为 ( ) A. 5cm B. 6 cm C. 7 cm D. 8cm 4.(2023·河北)四边形ABCD 的边长如图所示，对角线AC的长随四边形形状的改变而变化.当△ABC 为等腰三角形时，AC 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F 是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD 的长为 ( ) A. a+c B. b+c C. a-b+c D. a+b-c 6. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接EF.若△ADF 的面积为24,AD=10,则 EF 的长为 ( ) B. D. 12 7. 如图,△DCE≌△AME,点 B 在EC 的延长线上,且B,C,E,M 四点共线,连接 1 学科网（北京）股份有限公司 AB.若 ，阴影部分的面积为 30，则CD 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C.6 D.8 8.(2025·江苏常州模拟)如图,在第1个三角形 A₁BC 中, 在边 上任取一点D,延长CA₁到点 A₂,使 ，得到第2个三角形. 在边A₂D上任取一点E,延长A₁A₂到点 A₃,使. 得到第3个三角形A₂A₃E；···；按此作法继续下去，则第 n 个三角形中以 An为顶点的内角的度数是 ( ) 二、填空题(每题2分，共20 分) 9. (2024·黑龙江牡丹江)如图,在△ABC 中,D 是边AB 上一点,CF∥AB,D,E，F三点共线，请添加一个条件： ，使得AE=CE.(只填一种情况即可) 10. 如图,∠AOB=90°,OA=OB,直线l经过点O,过点A 作AC⊥l于点C,过点 B 作BD⊥l于点 D.若AC=6,BD=4,则CD= . 11.(2023·辽宁锦州)如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线交BC 于点D,交AB 于点E,连接CE.若CE=CA,∠ACE=40°,则∠B 的度数为 . 12.(2024·四川内江)如图,在△ABC 中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB 的度数为 . 13. 如图,在△ABC中,点D,E 分别在边AB,AC上,连接CD,BE.若∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则 CE= . 14.如图,在△ABC 中,BD 是角平分线,BC 的垂直平分线交BC 于点E,交 BD 于点 F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF 的度数是 . 15.如图，将面积为m²的大正方形分成4个全等的长方形和一个面积为n²的小正方形，则小长方形的长是 ，宽是 .(用含m，n的代数式表示) 2 学科网（北京）股份有限公司 16. 如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点 O, 给出下列结论： BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④AD=CD.其中正确的是 .(填序号) 17.(2025·江苏扬州期末)过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形底角的度数为 . 18.如图，O为线段AB上的任意一点(不与点A，B 重合)，分别以AO，BO为腰在AB同侧作等腰三角形AOC和等腰三角形 BOD,OA=OC,OB=OD,∠AOC与 都是锐角，且∠AOC=∠BOD,AD与BC 相交于点 P.若 则 三、解答题(共64分) 19. (4分)(2024·云南)如图,在△ABC 和△AED 中, AC=AD.求证:△ABC≌△AED. 20.(4分)(2023·湖南益阳)如图,AB∥CD,直线 MN与AB,CD 分别交于点E,F,CD 上有一点G,且GE=GF.若∠1=122°,求∠2 的度数. 21.(6分)(2023·辽宁营口)如图,点A,B,C,D 在同一条直线上,点 E,F 分别在直线AB 的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF. (1) 求证:△ACE≌△BDF; (2) 若AB=8,AC=2,求 CD 的长. 3 学科网（北京）股份有限公司 22. (6分)如图,在△ABC中,∠C=90°. (1)用无刻度的直尺和圆规在边 AC上作点P，使点 P 到点A，B的距离相等；(保留作图痕迹，不写作法) (2)当满足(1)的点 P 到直线AB,BC的距离相等时,求∠A 的度数. 23.(6分)如图,AC 是四边形ABCD 的对角线,∠1=∠B,点E,F 分别在边AB,BC上,BE=CD,BF=CA,连接EF. (1) 求证:∠D=∠2; (2) 若EF∥AC,∠D=78°,求∠BAC 的度数. 24. (6分)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是高. (1) 若∠C=42°,求∠BAD 的度数; (2) 若点 E 在边AB 上,EF∥AC 交AD 的延长线于点 F.求证:AE=EF. 4 学科网（北京）股份有限公司 25. (8分)如图,在 Rt△ABC 中, ,CD 是高,点 E 从点 B 出发,沿直线 BC 以2cm/s的速度运动,过点 E 作BC 的垂线交直线CD 于点F. (1)求证:∠A=∠BCD; (2)当点 E 运动多长时间时，CF=AB?请说明理由. 26.(8分)数学课上，张老师讲解了下面的例题： 例1 在等腰三角形ABC 中,∠A=110°,求∠B 的度数.(答案:答案35°) 例2 在等腰三角形ABC 中,∠A=40°,求∠B 的度数.(答案:40°或70°或 100°) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 在等腰三角形ABC 中,∠A=80°,求∠B 的度数. (1)请你解答以上的变式题； (2)解(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形 ABC 中,设 ，那么当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围. 27.(8分)如图,在△ABC 中, ,D为AB的中点. (1)点P 在线段BC上以3cm/s的速度由点 B 向点C 运动，同时点Q 在线段CA 上由点C向点A 运动. ① 若点 Q 与点 P 的速度相同,则经过1s后,△BPD 与△CQP 是否全等?请说明理由; ② 若点 Q 与点 P 的速度不相同，则当点 Q 的速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等? 5 学科网（北京）股份有限公司 (2)若点Q 以(1)②中的速度从点 C 出发，点P 以原来的速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，则经过多长时间，点P 与点Q 第一次相遇?相遇时是在△ABC 的哪条边上? 28.(8分)(2025·江苏泰州模拟)最短路径问题 例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使 A，B到它的距离之和最短? 答案解：如图②，只有点A 关于直线l的对称点A'与点C，B在同一条直线上时，才能使AC+BC的值最小.作点A 关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点C，则C 就是所求的点. 应用:如图③,A 是锐角∠MON 内部任意一点,在∠MON 的两边OM,ON 上各取一点B,C,组成△ABC，使它的周长最小. (1)借助直角三角板在图③中找出符合条件的点 B 和点C，并画出△ABC； (2) 若∠MON=30°,OA=10,求△ABC周长的最小值. 6 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 1. C 2. C 3. C 4. B 5. D 6. C参考答案 7. C 解析:因为△DCE≌△AME,所以CD=MA,∠D =∠MAE,S△DCE = S△AME,所以S△ABM=S△ABE +S△AME =S△ABE +S△DCE =S阴影=30.因为∠AEM=90°,所以∠MAE+∠M=90°,所以∠D+∠M=90°.因为∠B=∠D,所以∠B+∠M=90°,所以∠BAM=90°,所以 因为 AB=10,所以 8. C 解析:因为∠B=30°,A₁B=CB,所以 因为 ,所以∠A₁A₂D=∠A₁DA₂,所以 所以 因为 所以 所以 2∠A₂A₃E,所以 依此类推，第n 个三角形中以 An为顶点的内角的度数是 9. (答案不唯一)AD=CF 10. 2 11. 35° 12. 100° 13. 3 14. 48° 16. ①②③ 17. 45°或36°解析:分类讨论如下:① 如图①,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在边 BC 上,且AD = BD, AD = CD, 所以∠B = ∠C,∠BAD=∠B,∠CAD=∠C,所以∠BAD+∠CAD=∠B+∠C,所以∠BAC=2∠B.因为∠BAC+∠B+∠C=180°,所以4∠B=180°,所以∠B=45°;② 如图②,在△ABC中,AB=AC, 点 D 在边 BC 上,且 AC=DC,AD=BD,所以∠B=∠C,∠CAD=∠CDA,∠BAD = ∠B,所以∠CAD =∠CDA=∠BAD+∠B=2∠B.因为∠CAD+∠CDA+∠C=180°,所以5∠B=180°,所以∠B=36°.综上所述，原等腰三角形底角的度数为45°或 36°. 18. 110° 解析:因为∠AOC=∠BOD,所以∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD,所以∠AOD=∠COB.在△AOD 和△COB 中, 所以△AOD≌△COB (SAS),所以∠ADO=∠CBO.因为∠APB=∠CPD = 145°, 所以∠DAO +∠CBO =180°-∠APB=35°,所以∠AOC=∠BOD=∠DAO+∠ADO=∠DAO+∠CBO=35°,所以∠COD=180°-∠AOC-∠BOD=110°. 19. 因为∠BAE=∠CAD,所以∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,所以∠BAC=∠EAD.在△ABC 和△AED 中. 所以△ABC≌△AED(SAS). 20. 因为 AB∥CD,所以∠DFM=∠1=122°,所以. .因为GE=GF,所以∠GEF=∠GFE=58°,所以∠2=∠DFM-∠GEF=64°. 21. (1)在△ACE 和△BDF 中 所以△ACE≌△BDF(AAS). (2) 因为△BDF≌△ACE,所以 BD=AC=2.因为 AB =8,所以 CD = AB - AC -BD=4. 22.(1)作线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点P，则点 P 即为所求.图略. (2) 连接 BP.因为点 P 到直线 AB,BC 的距离相等，所以点 P 在∠ABC 的平分线上，所以 PB 平分∠ABC,所以∠ABP=∠CBP.因为 PA=PB,所以∠A=∠ABP=∠CBP.因为∠C=90°,所以∠A+∠ABP+∠CBP=90°,所以3∠A=90°,所以∠A=30°. 23. (1) 在△CDA 和△BEF 中, 所以△CDA≌△BEF(SAS),所以∠D=∠2.(2) 因为∠D=∠2,∠D=78°,所以∠2=8°.因为 EF∥AC,所以∠BAC=∠2=78°. 24. (1) 因为 AB=AC,所以∠B=∠C=42°.因为 AD 是△ABC 的高,所以 AD⊥BC,所以∠ADB=90°,所以∠ .(2) 因为 EF∥AC,所以∠F=∠CAF.因为AB=AC,AD⊥BC,所以∠CAF=∠BAF,所以∠F=∠BAF,所以AE=EF. 25. (1) 因为 CD 是△ABC 的高,所以CD⊥AB,所以∠ADC=90°,所以∠A+∠ACD=90°.因为∠ACB=90°,所以∠BCD+∠ACD=90°,所以∠A=∠BCD. (2) 因为 EF⊥BC,所以∠CEF=90°.因为∠ACB = 90°,所以∠CEF = ∠ACB. 若CF=AB，则分类讨论如下：①如图①，当点E 在射线 BC 上运动时,因为∠A=∠BCD,∠BCD =∠ECF,所以∠ECF =∠A.在△CFE 和△ABC 中 所 以△CFE≌△ABC(AAS),所以CE=AC= 7 cm.因为 BC=3cm,所以 BE=BC+CE= 10 cm,所以点 E 运动了10÷2=5(s);② 如 图②，当点 E 在射线 CB 上运动时，在 △CFE 和△ABC 中. 所 以△CFE≌△ABC(AAS),所以 CE =AC=7 cm,所以 BE=CE-BC=4 cm,所以点 E 运动了4÷2=2(s).综上所述,当点E 在射线 BC 上运动5s 或在射线 CB 上运动2 s时,CF=AB. 26. (1) 当∠A 为顶角时, ；当∠A 为底角时，若∠B 为底角，则∠B=80°,若∠B 为顶角,则. .综上所述，∠B 的度数为50°或80°或20°. (2) 当90≤x<180时,∠A 只能为顶角,则∠B 的度数只有一个，不合题意，所以0<x<90.当∠A 为顶角时. 当∠A 为底角时，若∠B为底角,则∠B =x°,若∠B 为顶角,则∠B=(180-2x)°.当∠B 有三个不同的度数时， 且x≠180-2x,所以x≠60.又0<x<90,所以x的取值范围为0<x<60或60<x<90. 27. (1) ① △BPD 与△CQP 全等.理由如下:由题意,得 BP=CQ=3×1=3(cm).因为AB=10 cm,D 为AB 的中点,所以 BD = 因为 BC=8cm,所以CP=BC-BP=5cm,所以 BD=CP.在△BPD和△CQP 中, 所以△BPD≌△CQP(SAS). ② 因为vp≠vQ,所以BP≠CQ.因为∠B=∠C,所以若△BPD 与△CQP 全等,则只能是△BPD≌△CPQ,所以 BP=CP 且 BD=CQ.设点 Q 的速度为x cm/s,运动的时间为 ts,则 解得 故当点Q的速度为 时,能够使△BPD 与△CQP 全等. (2)设经过y s后点 P 与点Q 第一次相遇.由题意，得 解得 所以点 P 共运动了 因为△ABC的周长为10+10+8=28(cm),80=28×2+24,且18<24<28,所以点 P 与点 Q 在边AB上相遇.故经过 ,点 P 与点 Q 第一次相遇，且相遇时是在△ABC 的边AB 上. 28. (1) 如图①,分别作点 A 关于直线OM,ON的对称点A',A相交于B,C 两点,连接AB,AC,则△ABC 即为所求. (2) 如图②,线段 A'A周长的最小值.连接OA'，OA可得 ∠AOA'=OA''= 2∠AOM+2∠AON=2∠MON.因为∠MON=30°,所以 ,所以△OA'A边三角形，所以A'A''=OA'=10.故△ABC周长的最小值为10 8 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$