精品解析：河南省巩义市2024-2025学年八年级下学期期末质量检测数学试题

初中第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 2，3，4 D. 7，15，17 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2023年全国两会期间，某校组织开展了以“聚焦两会，关注祖国发展”为主题的阅读活动，如图所示的扇形统计图描述了该校学生在一周内阅读关于两会文章的篇数情况，则阅读篇数的众数为（ ） A. 18篇 B. 13篇 C. 15篇 D. 40% 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等平行四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6. 若一次函数的图象上有，两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如下图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（ ） A. 7尺 B. 8尺 C. 12尺 D. 13尺 8. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 12. 某校为了解八年级名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下： 跳绳的个数个 人数人 根据以上数据估计八年级名学生中跳绳的个数不低于个的人数为______人． 13. 如图，在中， ，对角线与相交于点O，，则周长为______． 14. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为________． 15. 如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小义家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小义的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分，1公里千米），如下表： 续航里程/分 百公里加速/分 智能化水平/分 甲款汽车 80 90 100 乙款汽车 80 100 90 两款汽车的综合得分按下图所示的权重计算． 同时小义的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（单位：分，满分10分）， 并整理、描述、分析如下： a．网友评价得分（满分10分）： 甲款：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10 乙款：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9 b．网友评价得分统计表： 平均数 中位数 方差 甲款汽车 7 4.2 乙款汽车 7 7 2.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________． （2）由表中评分和扇形图所示权重，分别计算甲、乙两款汽车的综合评分． （3）综合考虑甲、乙两款汽车综合评分以及网友评价，你认为小义的爸爸应选择购买哪款汽车？请说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴分别交于点．点在第一象限，且四边形是矩形． （1）请用无刻度的直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）． 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，则四边形是矩形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明：___________，___________， 四边形是平行四边形．（___________）（填推理依据） 四边形是矩形．（___________）（填推理的依据） （3）若直线的表达式为，直接写出矩形的面积和直线的表达式． 19. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 20. 消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 21. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）甲种水果每千克的销售价为 元； （2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围； （3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和． 22. 为了有效落实河南省教育厅颁布《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 （1）参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？ （2）现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．甲、乙两种型号的客车各租几辆，学校租车总费用最少？并求出最少的费用． 23. 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，将矩形纸片沿过点A 的直线折叠，使点 B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为 ． （2）如图2，矩形纸片的边长，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点 D 的直线折叠纸片，使点 C落在上的点 处，折痕为．则 ， ． （3）如图3，矩形纸片的长为，宽为，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点 F（不与点重合），沿折叠，点 C的对应点为延长交直线于点 G． ①判断与的数量关系，并证明； ②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可. 【详解】A. ，被开方数含开方开的尽的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B. 是最简二次根式，故本选项正确； C. ，原式不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D. ，原式不是最简二次根式，故本选项不符合题意；. 故选：B. 【点睛】此题考查的是最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解决此题的关键. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（　　） A 1，2，3 B. 1，1， C. 2，3，4 D. 7，15，17 【答案】B 【解析】 【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则即为不是． 【详解】解：A．，不可以构成直角三角形，故A选项不符合题意； B． ，可以构成直角三角形，故B选项符合题意； C． ，不可以构成直角三角形，故C选项不符合题意； D． ，不可以构成直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算判断即可． 【详解】A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 4. 2023年全国两会期间，某校组织开展了以“聚焦两会，关注祖国发展”为主题的阅读活动，如图所示的扇形统计图描述了该校学生在一周内阅读关于两会文章的篇数情况，则阅读篇数的众数为（ ） A. 18篇 B. 13篇 C. 15篇 D. 40% 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义即可得出答案． 【详解】解：由扇形统计图，可知学生在某一周阅读篇数为15的学生人数最多，故阅读篇数的众数为15篇， 故选C． 【点睛】本题考查了确定一组数据的众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是真命题； B．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题； C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故原命题是假命题； D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题是假命题； 故选：A． 6. 若一次函数的图象上有，两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，正确掌握相关知识是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， ， ． 故选：B． 7. 在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如下图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（ ） A. 7尺 B. 8尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理列出方程，进行计算即可． 【详解】解：设“矩尺”的较长的直角边的长为x尺，则斜边长为尺，根据勾股定理得： ， 解得：， 即“矩尺”的较长的直角边的长为12尺， 故选：C． 8. 数形结合是我们解决数学问题常用思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直接根据一次函数的图象即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象下方， ∴不等式的解集是， 在数轴上表示的解集为 ， 故选：． 9. 小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图像，再与选项对比判断即可． 【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下： 从家到凉亭，用时10分钟，路程600米，s从0增加到600米，t从0到10分，对应图像为 在凉亭休息10分钟，t从10分到20分，s保持600米不变，对应图像为 从凉亭到公园，用时间10分钟，路程600米，t从20分到30分，s从600米增加到1200米，对应图像为 故选：A． 【点睛】本题考查了一次折线图像与实际结合问题，注意正确理解每段时间与路程的变化情况是解题关键． 10. 如图，在中，，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理垂线段最短，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 连接，则，当取最小值时，最小，当时，最小， 推出，则，根据勾股定理可得：，即可解答． 【详解】解：连接， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴， ∴当取最小值时，最小， 当时，最小， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 某校为了解八年级名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下： 跳绳的个数个 人数人 根据以上数据估计八年级名学生中跳绳的个数不低于个的人数为______人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，先求出样本中学生中跳绳的个数不低于个的人数的所占比例，再乘以总数，即可求解，理解样本与总体之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得：（人）， ∴八年级名学生中跳绳的个数不低于个的人数为人， 故答案为：． 13. 如图，在中， ，对角线与相交于点O，，则的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：， ，，， ， ， 的周长． 故答案为：8． 14. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，再推出，进而得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴与尺上沿的交点C在尺上的读数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确求出的长是解题的关键． 15. 如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，根据运算顺序和相关公式进行计算即可； （1）根据二次根式的性质进行化简，再进行合并同类二次根式即可得到答案； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行化简，再进行同类二次根式合并即可得到答案. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小义家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小义的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分，1公里千米），如下表： 续航里程/分 百公里加速/分 智能化水平/分 甲款汽车 80 90 100 乙款汽车 80 100 90 两款汽车的综合得分按下图所示的权重计算． 同时小义的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（单位：分，满分10分）， 并整理、描述、分析如下： a．网友评价得分（满分10分）： 甲款：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10 乙款：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9 b．网友评价得分统计表： 平均数 中位数 方差 甲款汽车 7 4.2 乙款汽车 7 7 2.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________． （2）由表中评分和扇形图所示权重，分别计算甲、乙两款汽车的综合评分． （3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小义的爸爸应选择购买哪款汽车？请说明理由． 【答案】（1）6.5 （2）甲款车的综合评分为分，乙款车的综合评分为分 （3）小义的爸爸应选择购买乙款汽车，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，根据统计数据作决策．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键． （1）根据中位数的定义，得，计算即可； （2）根据加权平均数的计算方法求解即可； （3）根据调查数据作决策即可． 【小问1详解】 解：甲中位数：， 则， 故答案为：； 【小问2详解】 甲款车的综合评分为（分） 乙款车的综合评分为（分） 答：甲、乙两款汽车的综合评分分别为88分、87分； 【小问3详解】 小义的爸爸应选择购买乙款汽车； 理由：甲、乙两款汽车的综合评分相差不大，网友评价得分甲和乙的平均数相同，但是网友对乙款汽车的评价的中位数高于甲款汽车，且对乙款汽车的评价更稳定． （答案不唯一，突出综合两方面去评价，合理即可） 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴分别交于点．点在第一象限，且四边形是矩形． （1）请用无刻度的直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）． 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，则四边形是矩形． （2）根据（1）中的作法，完成下面的证明： 证明：___________，___________， 四边形是平行四边形．（___________）（填推理的依据） 四边形是矩形．（___________）（填推理的依据） （3）若直线的表达式为，直接写出矩形的面积和直线的表达式． 【答案】（1）见解析 （2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角为直角的平行四边形是矩形 （3）矩形的面积为8，直线的表达式为 【解析】 【分析】（1）根据要求依次作出线段即可作出图形； （2）先根据作图得到对边相等，再根据矩形的判定即可得到答案； （3）先根据解析式得到矩形的四边的长，即可求出矩形的面积和点的坐标，根据待定系数法即可求出直线的表达式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵ ∴四边形是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 【小问3详解】 解：∵直线的表达式为， 令，则，解得：， ∴， 令，则， ∴， ∴矩形的面积为； ∴点， 又∵点， 设直线的表达式为， 即， ∴， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图作线段，矩形的判定和性质，待定系数法求一次函数和一次函数图象的性质等知识点，解决此题的关键是合理的作出图形． 19. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明． （2）由菱形的性质得出，进而得出，根据勾股定理得出，利用平行四边形的性质得出，根据菱形的性质求菱形的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴． ∴ 在中，，，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键． 20. 消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意，易得，，A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为． 21. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）甲种水果每千克的销售价为 元； （2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间函数解析式，并写出自变量 x的取值范围； （3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和． 【答案】（1）20 （2）当时，；当时，； （3）900 【解析】 【分析】（1）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，得到单价为元； （2）当时，是正比例函数；当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可． （3）确定甲水果的解析式，结合乙的解析式，分类计算即可． 本题考查了图象信息，待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． c 【小问1详解】 根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元， 故单价为元； 故答案为：20． 【小问2详解】 当时，是正比例函数， 设解析式为， 把点代入解析式，得， 解得， 故解析式为； 当时，是一次函数， 设解析式为， 把点，代入解析式，得， 解得， 故解析式为． 【小问3详解】 根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元， 故单价为元； 故甲的解析式为． 由两种水果销售额相同，且销售额大于0， 得， 解得， ∴甲水果销售额为；乙水果销售额为 ∴甲水果销售利润；乙水果销售利润为 ∴两种水果的总利润为(元)． 22. 为了有效落实河南省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 （1）参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？ （2）现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．甲、乙两种型号的客车各租几辆，学校租车总费用最少？并求出最少的费用． 【答案】（1）参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名 （2）租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设参加此次研学活动的老师有x位，则参加此次研学活动的学生有y名，根据每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生列出方程组求解即可； （2）设租用m辆甲型客车，则租用辆乙型客车，设租车的总费用为 W元，根据载客量之和要大于等于总人数列出不等式求出m的值，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设参加此次研学活动的老师有x位，则参加此次研学活动的学生有y名， 根据题得： ， 解得， 答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名； 【小问2详解】 解：设租用m辆甲型客车，则租用辆乙型客车，设租车的总费用为 W元 根据题意得：， ∴， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时， ， ∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元． 23. 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，将矩形纸片沿过点A 的直线折叠，使点 B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为 ． （2）如图2，矩形纸片的边长，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点 D 的直线折叠纸片，使点 C落在上的点 处，折痕为．则 ， ． （3）如图3，矩形纸片的长为，宽为，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点 F（不与点重合），沿折叠，点 C的对应点为延长交直线于点 G． ①判断与的数量关系，并证明； ②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2） （3）①，证明见解析；②或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先推出，根据矩形的性质推出，即可求出,由矩形，即可求出； （3）①由矩形性质得，推出，由折叠可知，，由此推出，即可推出； ②分两种情况：若过中点，即G为中点；若过中点M，连接，根据矩形的性质及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ，， 由折叠性质可得：，， 四边形是正方形， 故答案为正方形． 【小问2详解】 由（1）知四边形为正方形， ， ∵， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠，点C落在点处， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴在中，，即， ∴, ∴, ∵矩形， ∴， ∴, ∵，， ∴， 故答案为； 【小问3详解】 ① ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴， 由（1）知四边形，均为正方形， ∴， 由折叠得，，, 若过中点，即G为中点， ∴， ∴, 在中，, ∴； 若过中点M，连接， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， 综上，的长为或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$