精品解析：浙江省杭州市江干区景芳中学2021-2022学年上学期九年级期中数学试卷

2021-2022学年浙江省杭州市江干区景芳中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题．（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币，正面朝上 B. 购买一张彩票，一定中奖 C. 任意画一个三角形，它的内角和等于 D. 存在一个实数，它的平方是负数 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．根据定义即可解决． 【详解】解：A．掷一枚硬币，正面朝上是随机事件； B．购买一张彩票，一定中奖是随机事件； C．任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件； D．存在一个实数，它的平方是负数是不可能事件； 故选：C． 【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 二次函数图象与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标特征，计算自变量为0时的函数值即可得到交点坐标． 【详解】解：根据题意， 令，则， ∴二次函数图象与y轴的交点坐标是； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 3. 在中，，，，点D是AB上的中点，以点C为圆心，6为半径作圆，则点D与的位置关系是（ ） A. 点D在内 B. 点D在上 C. 点D在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】解：由勾股定理，得 AB==10， ∵CD是AB边上中线， ∴CD=AB=5， ∴CD=5<⊙C的半径， ∴点D在⊙C内． 故选：A． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 4. 掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是（　　） A. 大于4的点数 B. 小于4的点数 C. 大于5的点数 D. 小于5的点数 【答案】D 【解析】 【分析】求出各个选项的概率即可判断. 【详解】解：A、大于4的点数的概率＝＝； B、小于4的点数的概率＝＝； C、大于5的点数的概率＝； D、小于5的点数的概率＝＝． ∴骰子停止后，出现可能性最大的是小于5的点数． 故选D． 【点睛】本题考查可能性的大小，解题的关键是理解题意，掌握概率公式． 5. 如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理求出当点P为圆心时的度数，从而得解． 【详解】解：∵，P点为圆心， ∴， 故选：C． 6. 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 7. 若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）． A. x＜﹣4或x＞2 B. ﹣4≤x≤2 C. x≤﹣4或x≥2 D. ﹣4＜x＜2 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可． 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， 则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2． 故选D． 8. 已知二次函数，则当时，该函数( ) A. 有最大值7，有最小值4 B. 只有最大值7，无最小值 C. 只有最小值3，无最大值 D. 有最小值3，有最大值7 【答案】D 【解析】 【分析】由可得：抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为 所以当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，再根据函数的增减性求解函数的最大值与最小值，再逐一判断各选项可得答案． 【详解】解： 抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为 所以当时，随的增大而减小， 当时，函数值有最大值：当时，函数值有最小值： 当时，随的增大而增大， 当时，函数值有最小值： 当时，函数值有最大值： 综上：函数值最大为 最小为 所以：错误，正确； 故选： 【点睛】本题考查的是二次函数的增减性，二次函数的最值问题，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 9. 如图，为的直径，P为延长线上的一点，D在上（不与点A，点B重合），连结交于点C，且．设，，下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是作出合适的辅助线，分别表示出和． 连接，，根据圆的半径相等和等边对等角分别求出和，然后利用三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：如图，连接，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 已知二次函数，一次函数，有下列结论： ①当时，随x的增大而减小； ②二次函数的图象与x轴交点的坐标为和； ③当时，； ④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的增减性可判断①，根据二次函数与一元二次方程的关系可判断②，求出两函数的交点坐标可判断③，根据根的判别式可判断④． 【详解】解：①∵， ∴对称轴是直线， ∴当，时，随x的增大而增大，当，时，y1随x的增大而减小，故①错误； ②令，则，或，二次函数的图象与x轴交点的坐标为和，故②正确； ③当时，二次函数为， 解：，得和 ， ∵抛物线开口向上， ∴当时，；故③错误； ④∵， ∴，整理得，， 当时，函数值成立， 解得，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，二次函数与不等式，抛物线与直线的交点，难度中等，要熟练掌握． 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的位置关系是 _____． 【答案】在圆外 【解析】 【分析】根据由⊙O的半径为3，而点A到圆心O的距离为3，得到点A到⊙O的距离大于圆的半径，根据点与圆的位置关系即可判断点A与⊙O的位置关系． 【详解】解：∵⊙O的半径为3， 又∵点A到圆心O的距离为5， ∴ ∴点A与⊙O的位置关系是在圆外． 故答案为：在圆外． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d与圆半径大小关系完成判定． 12. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系，用“”连接：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，函数有最大值， ∵关于对称点为，， ∴． 故答案为：． 13. 已知弧长为，半径为6，则弧的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，解题关键在于掌握弧长公式．根据弧长公式（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），将题中数据代入公式，即可求解． 【详解】解：设弧的的度数为度， 则， 解得：． ∴弧的度数为． 故答案为：． 14. 若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与二次函数图象与轴的交点个数关系是解题的关键． 【详解】解：函数的图象与轴有两个交点， 令，则， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 一个盒中装着大小、外形一模一样的颗白色弹珠和12颗黑色弹珠，已知从盒中随机取出一颗弹珠，得白色弹珠的概率是，则盒中有白色弹珠的颗数为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】设盒中有白色弹珠颗，那么盒中一共有弹珠颗，根据概率公式列方程解答即可． 【详解】解：设盒中有白色弹珠颗，那么盒中一共有弹珠颗， 从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是， ， 解得：． 经检验：是原方程的根，且符合题意． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）． 16. 二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围________． 【答案】-1≤t＜24 【解析】 【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到-2＜x＜6时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-2＜x＜6的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点解答． 【详解】解：对称轴为直线x==1， 解得b=-2， 所以二次函数解析式为y=x2-2x， y=（x-1）2-1， x=1时，y=-1， x=6时，y=36-2×6=24， ∵x2+bx-t=0的解相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标， ∴当-1≤t＜24时，在-2＜x＜6的范围内有解． 故答案为：-1≤t＜24． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 三、解答题（共66分） 17. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个函数的解析式； （2）函数的开口方向、对称轴． 【答案】（1）yx （2）函数开口向上，对称轴 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴，解得， ∴函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴函数开口向上，对称轴为：直线． 18. 城市小区生活垃圾分为干垃圾、湿垃圾、有害垃圾和可回收垃圾四种不同的类型． （1）甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是 ． （2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，通过画树状图或列表求恰好是同一类型垃圾概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由于共有4种类型的垃圾，其中有1种是湿垃圾，按照概率计算方法求概率即可； （2）按题意列出树状图，由图可知共有16种可能的情况，其中甲、乙两人投放同一类垃圾的4种情况，最后求概率即可． 【详解】解：（1）∵共有4种类型的垃圾，其中有1种是湿垃圾， ∴甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是＝． 故答案为：． （2）记这四类垃圾为A，B，C，D， ∴投放同一类垃圾概率为：P＝． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，圆弧经过图中格点三点． （1）线段绕点A逆时针旋转得到线段，按要求作出线段． （2）连接交圆弧于点E，计算线段与圆弧围成的面积．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质找出点B绕点A逆时针旋转的对应点D，然后连接即可； （2）设的中点为O，由圆周角定理可得，连接，由等腰直角三角形性质得，由勾股定理求出，进而得到，然后根据进行计算． 【小问1详解】 解：如图，线段AD即为所求； 【小问2详解】 解： 设AB的中点为O，连接． ∵， ∴AB是该圆弧所在圆的直径， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了画旋转图形，求扇形的面积，掌握旋转的性质，圆周角定理，勾股定理，求扇形面积公式是解题的关键． 20. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 【答案】（1）米 （2）不需要采取紧急措施，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【小问1详解】 连接， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 解得，； 【小问2详解】 连接， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ． ， 不需要采取紧急措施． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 21. 如图，是的直径，点A在上，，垂足为D，，分别交，于点F，G． （1）证明：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握． （1）根据是 的直径，，，推出，即可得到结论； （2）连接、，根据，，求出，再根据，求出，进而可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵是 的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长度． 22. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （3）如果要使围成花圃面积最大，求最大面积是多少． 【答案】（1）（） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用， 由宽为x米，则花圃的长为，利用面积公式求解即可； 由条件列出，求解并结合取值范围即可判定； 根据将二次函数解析式化为顶点式，结合x的取值范围求其最大值即可． 【小问1详解】 解：由题可知，花圃的宽为x米，则花圃的长为， 那么，， ∵，解得：， ∴（）； 【小问2详解】 由条件， 化简得，解得， ∴不合题意，舍去， 即的长度为5米； 【小问3详解】 （）， ∵，开口向下， ∴当时，y有最大值， 故最大面积为． 23. 已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若． （1）如图1，当，，时，求的半径； （2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积 （3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；见解析 【解析】 【分析】（1）连接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB是⊙O的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径； （2）证明是等腰直角三角形，得出，根据可得结论； （3）连接OA、OB、OQ，由∠APQ=∠BPQ证得，即可证得OQ⊥AB，然后根据三角形内角和定理证得∠NOQ=90°，即NO⊥OQ，即可证得AB∥ON． 【详解】（1）连接AB，如图1， ∵， ∴， ∴AB是的直径， ∴， ∴的半径为； （2）连接AQ，BQ，如图2， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴ ∴ （3），理由如下：连接OQ，如图3， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年浙江省杭州市江干区景芳中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题．（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币，正面朝上 B. 购买一张彩票，一定中奖 C. 任意画一个三角形，它的内角和等于 D. 存在一个实数，它的平方是负数 2. 二次函数图象与y轴交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，点D是AB上的中点，以点C为圆心，6为半径作圆，则点D与的位置关系是（ ） A. 点D在内 B. 点D在上 C. 点D在外 D. 不能确定 4. 掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是（　　） A. 大于4的点数 B. 小于4的点数 C. 大于5的点数 D. 小于5的点数 5. 如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是(　　) A. B. C. D. 6. 如图，五边形是内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）． A. x＜﹣4或x＞2 B. ﹣4≤x≤2 C. x≤﹣4或x≥2 D. ﹣4＜x＜2 8. 已知二次函数，则当时，该函数( ) A. 有最大值7，有最小值4 B. 只有最大值7，无最小值 C. 只有最小值3，无最大值 D. 有最小值3，有最大值7 9. 如图，为的直径，P为延长线上的一点，D在上（不与点A，点B重合），连结交于点C，且．设，，下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，一次函数，有下列结论： ①当时，随x的增大而减小； ②二次函数的图象与x轴交点的坐标为和； ③当时，； ④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 已知⊙O半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的位置关系是 _____． 12. 已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系，用“”连接：______． 13. 已知弧长为，半径为6，则弧的度数为__________． 14. 若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 _____． 15. 一个盒中装着大小、外形一模一样的颗白色弹珠和12颗黑色弹珠，已知从盒中随机取出一颗弹珠，得白色弹珠的概率是，则盒中有白色弹珠的颗数为_______． 16. 二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围________． 三、解答题（共66分） 17. 已知二次函数的图象经过点和点． （1）求这个函数的解析式； （2）函数的开口方向、对称轴． 18. 城市小区生活垃圾分为干垃圾、湿垃圾、有害垃圾和可回收垃圾四种不同的类型． （1）甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是 ． （2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，通过画树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率． 19. 如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，圆弧经过图中格点三点． （1）线段绕点A逆时针旋转得到线段，按要求作出线段． （2）连接交圆弧于点E，计算线段与圆弧围成面积．（结果保留） 20. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米否要采取紧急措施？ 21. 如图，是的直径，点A在上，，垂足为D，，分别交，于点F，G． （1）证明：； （2）若，求的长度． 22. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少． 23. 已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若． （1）如图1，当，，时，求的半径； （2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积 （3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $