精品解析：广西桂林市奎光学校2021-2022学年上学期期中考试八年级数学科试题

桂林市奎光学校2021学年度上学期期中考 八年级数学科试题 （总分∶120分 时间：120分钟） 一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1. 若分式的值不存在，则需x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 2 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A. 1，2，6 B. 2，2，4 C. 2，2，3 D. 2，3，5 3. 2011年3月11日，里氏9.0级的日本大地震导致当天地球的自转时间减少了秒，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 的相反数是（ ） A. 9 B. C. 19 D. 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 两点确定一条直线 D. 垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 6. 分式方程的增根是( ) A. B. 0 C. 3 D. 0或3 7. 如果把分式中的和都扩大了3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（ ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 26 9. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 10. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 11. 甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（ ） A. AD=AE B. AD＜AE C. BE=CD D. BE＜CD 二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分) 13. 若实数m，n 满足，则 _______． 14. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 15. 如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC =___． 16. 已知，则分式的值为_________． 17. 如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=____°． 18. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接E，F．给出下列五个结论：①AP=EF；②PD=EC；③∠PFE=∠BAP；④△APD一定是等腰三角形；⑤AP⊥EF．其中正确结论的序号是_____． 三、解答题(共66分) 19. 计算： （1） （2） 20. 解分式方程： （1） （2） 21. 如图，已知线段AB．用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不要求写出作法）； 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 24. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 25. 为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买种图书花费了3000元，购买种图书花费了1600元，A种图书的单价是种图书的1.5倍，购买种图书的数量比种图书多20本． （1）求和两种图书的单价； （2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了种图书20本和种图书25本，共花费多少元？ 26. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市奎光学校2021学年度上学期期中考 八年级数学科试题 （总分∶120分 时间：120分钟） 一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1. 若分式的值不存在，则需x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式的值不存在即分式无意义可得，进一步求解即可. 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴， 解得：. 故选：B 2. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A. 1，2，6 B. 2，2，4 C. 2，2，3 D. 2，3，5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐项分析解答即可. 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项不符合题意. B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意. C、，能组成三角形，故此选项符合题意. D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意. 故选：C． 3. 2011年3月11日，里氏9.0级的日本大地震导致当天地球的自转时间减少了秒，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值即可解答． 【详解】解：. 故选B 4. 的相反数是（ ） A. 9 B. C. 19 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，相反数的含义，先计算，再求相反数即可. 【详解】解：∵， ∴的相反数是. 故选B 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 两点确定一条直线 D. 垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是真假命题的判断，涉及对顶角的性质，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，两点确定一条直线.根据以上基础知识逐一分析判断即可. 【详解】解：A．对顶角相等，所以A选项为真命题. B．只有两直线平行时，同旁内角互补，所以B选项为假命题. C．两点确定一条直线，所以C选项为真命题. D．垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，所以D选项为真命题． 故选：B． 6. 分式方程的增根是( ) A. B. 0 C. 3 D. 0或3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键．根据分式方程的增根问题可进行求解． 【详解】解：由可知当时，分式方程有增根， ∴该分式方程的增根为； 故选：C． 7. 如果把分式中的和都扩大了3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 【答案】C 【解析】 【分析】将分子与分母中未知数分别乘以3，进而化简即可． 【详解】， 故分式的值缩小3倍． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的性质，将未知数扩大3倍后再化简分式是解题关键． 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（ ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据三角形周长计算公式得到的值，再由线段垂直平分线的性质得到以及的长，进而求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的周长为22， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：A． 9. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B 【详解】∵∠ACD=∠A+∠B ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120° ﹣40°=80°． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，解决此题的关键是要认真细致，不要算错． 10. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°， ∴∠B=90°﹣25°=65°． ∵△CDB′由△CDB折叠而成， ∴∠CB′D=∠B=65°． ∵∠CB′D是△AB′D的外角， ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°． 故选D． 11. 甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可． 解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得： =， 故选A． 12. 如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（ ） A. AD=AE B. AD＜AE C. BE=CD D. BE＜CD 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由∠C＜∠B利用大角对大边得到AB＜AC，进一步得到BE+ED＜ED+CD，从而得到BE＜CD． 解：∵∠C＜∠B， ∴AB＜AC， ∵AB=BD，AC=EC， ∴BE+ED＜ED+CD， ∴BE＜CD． 故选D． 点评：考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角． 二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分) 13. 若实数m，n 满足，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂和负整数指数幂，非负数的性质，关键是掌握零指数幂：，负整数指数幂：为正整数．首先利用非负数的性质确定、的值，再利用零次幂和负整数指数幂的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得：， . 故答案为： 14. 请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：___________ 【答案】 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 15. 如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC =___． 【答案】15 【解析】 【详解】因为EF是AB的垂直平分线， 所以AF=BF, 因为BF=12，CF=3， 所以AF=BF=12, 所以AC =AF+FC=12+3=15． 故答案为15 16. 已知，则分式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．由条件可得，再把约分，最后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， . 故答案为： 17. 如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=____°． 【答案】30 【解析】 【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=30°， 故答案为30°． 18. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接E，F．给出下列五个结论：①AP=EF；②PD=EC；③∠PFE=∠BAP；④△APD一定是等腰三角形；⑤AP⊥EF．其中正确结论的序号是_____． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】可以作PG⊥AB，证明△APG≌△FEP即可. 【详解】如图，作PG⊥AB，易知PG=PE，且AG=EC=FP，则△APG≌△FEP，所以AP=EF，∠PFE=∠BAP，运用旋转的知识易知AP⊥EF，所以正确结论的序号是①③⑤. 【点睛】做辅助线证明全等是解题的关键. 三、解答题(共66分) 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，零次幂的含义. （1）先计算二次根式的乘法运算，化简二次根式，计算零次幂，再合并即可. （2）先化简二次根式，再合并即可. 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： . 20. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转换为一元一次方程是解题的关键． （1）先去分母，转换为一元一次方程求解，再检验根，即可求解. （2）先去分母，转换为一元一次方程求解，再检验根，即可求解． 【小问1详解】 解： ， 方程两边同乘得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得：， 把代入， ∴是原分式方程的解. 【小问2详解】 解：， 方程变形得，， 方程两边同乘得， 去括号得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 把代入， 是原分式方程的解． 21. 如图，已知线段AB．用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不要求写出作法）； 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的方法作图即可． 【详解】如图，直线MN为线段AB的垂直平分线． 【点睛】此题考查了基本作图：线段垂直平分线，正确掌握线段垂直平分线的作图方法是解题的关键． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，-1 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： = = 当a=-3时， 原式==-1． 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 23. 已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 【答案】 证明：如图所示，过点A作于F， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴， ∴，即（等式的性质）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，如图所示，过点A作于F，由三线合一定理得到，，再由线段的和差关系即可证明． 【详解】略 24. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质．利用等腰三角形的性质得到底角与顶角的关系，设出顶角度数，结合三角形内角和定理求出底角的度数；再根据高的定义得到，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：设， ， ， 又， ， 根据三角形内角和定理，， ，解得， ， 是边上的高， ， ． 25. 为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买种图书花费了3000元，购买种图书花费了1600元，A种图书的单价是种图书的1.5倍，购买种图书的数量比种图书多20本． （1）求和两种图书的单价； （2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了种图书20本和种图书25本，共花费多少元？ 【答案】（1）种图书的单价为30元，种图书的单价为20元；（2）共花费880元． 【解析】 【分析】（1）设种图书的单价为元，则种图书的单价为元，根据数量＝总价÷单价结合花3000元购买的种图书比花1600元购买的种图书多20本，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据总价＝单价×数量，即可求出结论． 【详解】（1）设种图书的单价为元，则种图书的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：种图书的单价为30元，种图书的单价为20元． （2）（元）． 答：共花费880元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形 【解析】 【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $