2.2 有理数的加减运算 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数加法运算，系统梳理加法法则、运算步骤及运算律，通过“判断类型-定符号-定绝对值”步骤分解，衔接小学加法知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以典例变式强化运算能力，结合巡逻耗油、射击成绩等实例培养数学眼光与应用意识，通过“相反数结合法”等技巧总结提升数学思维，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

第2课时　有理数的减法 知识点1 有理数减法法则 减一个数，等于加上这个数的_______，即a－b＝a＋(－b)． 【注意】 有理数的减法法则的作用就是把有理数的减法运算转化为加法运算，体现了转化的数学思想．将减法转化为加法时，要同时进行“两变”：一是减法变加法，二是减数变为它的相反数． 相反数 知识点2 利用减法比较大小(作差法) a，b是两个有理数，若a－b>0，则a>b；若a－b<0，则a<b；若a－b＝0，则a＝b. 考点1 有理数减法法则 思路导析 根据有理数减法法则，将所有的减法运算化成加法运算，再进一步进行计算即可． 变式1 计算下列各题： (1)(－3)－0＝____； (2)9－(－7)＝___； (3)(－4)－(－6)＝__； (4)(－7.3)－(＋7.3)＝_______． －3 16 2 －14.6 变式2 计算： 考点2 有理数减法的应用 典例2 [2024·衢州期中]某种零件，标明要求是Φ25－0.02 (Φ表示直径，单位：mm)，那么合格品的最大直径与最小直径 的差是_____mm. 0.05 思路导析 Φ25－0.02表示零件直径最大不超过(25＋0.03)mm， 最小不小于(25－0.02)mm，据此求解即可． ＋0.03 ＋0.03 变式1 [2024·青岛期中改编]夏天打开冰箱冷冻室门时常常会 看到一团“白雾”．这是因为夏天空气温度较高，冰箱内外部 温差较大，空气中的水蒸气遇冷凝结成小水滴而形成的．假设 夏天空气温度是34 ℃，而冰箱冷冻室的温度是－21 ℃，那么 此时的温差是___℃. 55 变式2 [2024·桥西区期中]全班学生分成五个小组进行知识抢答 比赛，每组的基本分是100分，答对1题加50分，答错1题扣50分， 游戏结束时，其中四个小组的分数如表：(单位：分) (1)第二组的分数超过第五组多少分？ (2)五个小组中，成绩最低的两组分数相差50分，请推断m的值？ 解：(1)根据题意，得150－(－100)＝150＋100＝250(分)， 答：第二组的分数超过第五组250分； (2)由题意可知成绩最低的两组为第三组和第五组， 当第五组比第三组高50时，m＝－100－50＝－150， 当第五组比第三组低50时，m＝－100＋50＝－50， 所以，m的值为－50或－150. 典例1 计算：(1)0－(－3.2)；(2)eq \f(2,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))；(3)(－2)－(＋10)． 解：(1)0－(－3.2)＝0＋3.2＝3.2； (2)eq \f(2,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))＝eq \f(2,3)＋eq \f(5,6)＝eq \f(9,6)＝eq \f(3,2)； (3)(－2)－(＋10)＝(－2)＋(－10)＝－12. (1)5.6－(－3.2)； (2)(－1.24)－(＋4.76)； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2)))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－2）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))； (4)1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋1\f(1,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,4))). 解：(1)原式＝5.6＋3.2＝8.8； (2)原式＝(－1.24)＋(－4.76)＝－6； (3)原式＝eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋\f(1,2)))＝eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)＝2； (4)原式＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1\f(1,2)))＋eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝[1＋(－1eq \f(1,2))＋eq \f(1,2)]＋(－eq \f(1,4))＝0＋(－eq \f(1,4)) ＝－eq \f(1,4). $$第3课时　有理数的加减混合运算 知识点1 加减混合运算的方法 在进行有理数的加减混合运算时，通过有理数的减法法则，把减 法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算． 知识点2 有理数加减混合运算的一般方法和步骤 1．写成有理数的和的形式．运用减法法则将有理数加减混合运算中的减法转化为加法(还可以写成省略加号和括号的和的形式)． 2．运用加法运算律(加法交换律、加法结合律)使运算简便． 考点1 有理数加减混合运算 思路导析 本题将减法化成加法后利用加法法则进行计算． 变式 计算： (1)－7－(－5)＋(－4)＝____； (2)－2＋|＋3|－(－6)＋|－7|＝___； (3)（－ ）－ ＝__； (4) －[0.75 －(－3)]＋6＝____． －6 14 1 1.5 思路导析 根据有理数加、减混合运算法则以及运用加法的交换律和结合律进行计算即可． 考点3 有理数加减混合运算的应用 典例3 六月份某天，利民超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖(其他损耗不计)．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“＋”，不足的数量记为“－”，如表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况： 日期 第一天 第二天 第三天 销售量(千克) －15 ＋26 ＋16 日期 第四天 第五天 第六天 销售量(千克) －7 ＋10 －8 (1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？ (2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？ (3)若利民超市最开始以每千克12元的价格出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？ 思路导析 根据题意分别列式计算即可． 解：(1)根据题意可知，26－(－15)＝26＋15＝41(千克)， 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售41千克香瓜； (2)根据题意可知，120×6＋(－15＋26＋16－7＋10－8)＋18＝720＋40＝760(千克)， 故利民超市这次共购进香瓜760千克； (3)前4天出售的香瓜为120×4－15＋26＋16－7＝500(千克)， 前4天香瓜的收入为500×12＝6 000(元)． 后2天出售的香瓜为120×2＋10－8＝242(千克)， 后2天香瓜的收入为242×12×75%＝2 178(元)． 购买香瓜花费为760×6＝4 560(元)， 获利为6 000＋2 178－4 560＝3 618(元)， 故利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润3 618元． 变式 世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门线为基准，向前跑记作正数，向后跑则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下(单位：m)：＋10，－2，＋5，－6，＋12，－9，＋4，－14.(假定开始计时时，守门员正好在球门线上) (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米(不包括10米)，则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 解：(1)＋10－2＋5－6＋12－9＋4－14＝0， 答：守门员最后正好回到球门线上； (2)第一次10米，第二次10－2＝8(米)，第三次8＋5＝13(米)，第四次13－6＝7(米)，第五次7＋12＝19(米)，第六次19－9＝10(米)，第七次10＋4＝14(米)，第八次14－14＝0(米)， 19>14>13>10>8>7， 答：守门员离开球门线的最远距离达19米； (3)第一次10＝10，第二次8<10，第三次13>10，第四次7<10，第五次19>10，第六次10，第七次14>10，第八次0＜10， 答：对方球员有三次挑射破门的机会. 典例1 计算： (1)－40－(－18)＋(－26)－(－19)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,6)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,12))). 解：(1)原式＝－40＋18＋(－26)＋19 ＝－22＋(－26)＋19＝－48＋19＝－29； (2)原式＝eq \f(1,6)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,12)＝－eq \f(1,6)＋eq \f(1,12)＝－eq \f(1,12). eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))＋\f(1,6)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))) 考点1有理数加减混合运算的简便运算 典例2 用简便方法计算： (1)18＋(－12)＋(－18)－12； (2)(－3)＋17－(－33)－81； (3)－5.5－(－3.2)＋(－2.5)－(－4.8)； (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,7)))＋(－0.5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋1\f(1,7))). 解：(1)原式＝18＋(－12)＋(－18)＋(－12)＝18＋(－18)＋ [(－12)＋(－12)]＝－24； (2)原式＝－3＋17＋33－81＝(－3－81)＋(17＋33)＝－84＋50＝－34； (3)原式＝－5.5＋3.2－2.5＋4.8＝(－5.5－2.5)＋(3.2＋4.8)＝－8＋8＝0； (4)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(6,7)＋)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(1,7)))＝－4＋2＝－2. 变式 计算：(1)(－72)＋(－37)＋(－22)＋17； (2)(－16)－(－12)－24－(－18)； (3)eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))； (4)33.1－(－22.9)＋(－10.5)． 解：(1)原式＝－131＋17＝－114； (2)原式＝－16＋12＋(－24)＋18＝12＋18＋[(－16)＋(－24)]＝30＋(－40)＝－10； (3)原式＝eq \f(1,2)－eq \f(2,3)＋eq \f(4,5)－eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)))＋eq \f(4,5)－eq \f(2,3)＝eq \f(2,15)； (4)原式＝33.1＋22.9＋(－10.5)＝56＋(－10.5)＝45.5. $$2　有理数的加减运算 第1课时　有理数的加法 知识点1 有理数加法法则 1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值_____． 2．异号两数相加，绝对值相等时和为__；绝对值不等时，取绝 对值较大的数的符号，并用较大的绝对值___较小的绝对值． 3．一个数同0相加，仍得_______． 【注意】 互为相反数的两数相加得0. 相加 0 这个数 减 知识点2 有理数加法运算的步骤 1．判断加法的类型，即判断两个加数是同号，还是异号，加数 中是否有0，根据加法的类型确定用加法法则中的哪一条． 2．确定和的符号． 3．确定和的绝对值． 知识点3 加法运算律 1．加法交换律：a＋b＝_____． 2．加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋_______． b＋a (b＋c) 知识点4 加法运算律中的技巧 1．互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； 2．符号相同的数先相加——“同号结合法”； 3．整数与整数、小数与小数分别相加——“同形结合法”； 4．分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加—— “易通分结合法”； 5．带分数相加时，可先拆成整数与真分数的和，再分别相加—— “拆项结合法”； 6．几个数相加得到整数先相加——“凑整法”． 考点1 有理数加法法则 思路导析 (1)互为相反数的两数相加得0； (2)异号两数相加， 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值 减较小的绝对值． 变式 计算： (1)(－5)＋(－15)＝_____； (2)(＋26)＋(－18)＋5＋(－26)＝_____． －20 －13 考点2 利用有理数加法运算律运算 典例2 计算： (1)25.7＋(－7.3)＋(－13.7)＋7.3； (2)(－2.125)＋ ＋ ＋(－3.2)． 思路导析 充分利用加法运算律中的技巧解答．。 变式 计算： (1)(－23)＋(＋58)＋(－17)； (2)(－2.8)＋(－3.6)＋(－1.5)＋3.6. 解：(1)原式＝[(－23)＋(－17)]＋(＋58)＝－40＋58＝18； (2)原式＝[(－2.8)＋(－1.5)]＋[(－3.6)＋3.6]＝－4.3＋0＝－4.3. 考点3 有理数加法的应用 典例3 为了有效控制酒后驾驶，交警在路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为(单位：千米)：＋14，－9，＋8，－7，＋13，－6，＋12，－5. (1)请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位； (2)若车辆每千米耗油0.2升，如果队长命令马上返回出发点，这次巡逻(含返回)共耗油多少升？ 思路导析 (1)根据有理数的加法法则进行计算，根据结果的正负判断方向；(2)求出行驶的总路程，再计算耗油量即可．求行驶总路程就是求各数绝对值的和加上返回路程． 解：(1)＋14＋(－9)＋(＋8)＋(－7)＋(＋13)＋(－6)＋(＋12)＋ (－5)＝20(千米)， 答：交警最后所在地在A地的正东20千米处； (2)14＋|－9|＋8＋|－7|＋13＋|－6|＋12＋|－5|＋20＝94(千 米)， 94×0.2＝18.8(升)， 答：这次巡逻(含返回)共耗油18.8升． 变式 巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体金牌赛中，中国选手黄雨婷和盛李豪组成的队伍经过十四轮激烈比拼，以总比分16比12击败韩国队，夺得中国队首金并卫冕该项目冠军．其中决赛从第8轮以后开始进入白热化阶段，两位选手最后的6轮成绩如表所示： 若以10.5环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： (1)请填写表中空格； (2)请计算两位选手最后六轮各自的总成绩． 解：(1)－0.3，0.2，0，0.3； (2)黄雨婷总成绩：＋0.1＋(－0.2)＋(－0.3)＋(－0.1)＋ (－0.2)＋0.2＋10.5×6＝62.5(环)． 盛李豪总成绩：＋0.1＋(－0.2)＋0＋(－0.1)＋(－0.1)＋0.3 ＋10.5×6＝63(环)． 典例1 计算： (1)(－1.2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋1\f(1,5)))；(2)eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))). 解：(1)(－1.2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋1\f(1,5)))＝(－1.2)＋(＋1.2)＝0； (2)eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(1,3)))＝－eq \f(5,12). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋3\f(1,5))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋5\f(1,8))) 解：(1)原式＝[25.7＋(－13.7)]＋[(－7.3)＋7.3]＝12＋0＝12； (2)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－2.125）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋5\f(1,8)))))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋3\f(1,5)))＋（－3.2）))＝3＋0＝3. $$