专题03有理数的加减运算同步培优讲义（重点知识梳理+12大核心题型+分层练习）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题03有理数的加减运算同步培优讲义 ✺知识框架 1.有理数加法：加法分类法则、加法交换律、加法结合律 2.有理数减法：减法转化法则、基础减法运算 3.有理数加减混合运算：统一加法形式、省略括号与加号写法、简便运算技巧 4.实际应用与易错辨析：相反意义量建模、高频运算误区纠错 ✺学习目标 1.掌握有理数加、减运算法则与加法运算律，理解加减运算可统一为加法。 2.能规范完成有理数加减运算，会运用运算律简便计算，能用正负数解决实际问题。 3.体会转化思想，养成规范严谨的运算习惯。 ✺知识梳理 知识点一、有理数加法法则 有理数加法运算严格遵循先定符号，再算绝对值的核心原则。 1.同号两数相加：取与加数相同的符号，并将两数的绝对值相加。 2.异号两数相加：两数绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；两数绝对值相等时，和为0，即互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 知识点二、有理数加法运算律 加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。字母表示：a+b=b+a 加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(a+b)+c=a+(b+c) 简便运算四大分组原则：在多数字混合运算中，优先利用运算律分组：①互为相反数优先结合，和为 0；②同分母分数优先结合；③可凑整的小数、整数优先结合；④同符号数优先结合，简化绝对值计算。 知识点三、有理数减法法则 核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。该法则实现了有理数加减运算的完全统一，是减法运算的本质依据。 字母表示：a-b=a+(-b) 运算变换规则：运算过程发生两处变化：减号变为加号，减数变为它的相反数；被减数保持不变。 特殊运算规律：一个数减去0，仍得原数；0减去一个数，结果为这个数的相反数。 知识点四、有理数加减混合运算 运算统一形式：依据减法法则，将算式中所有减法统一转化为加法，将混合算式改写为若干有理数相加的和式。 注意：省略加号的和式中，每个数字前面的符号是它本身的性质符号，不是运算符号。 标准运算步骤如下表： 运算顺序规则：有理数加减属于同级运算，若无括号，一般按照从左到右的顺序计算。如果有括号，要先计算括号内的部分。 知识点五、有理数加减运算的实际应用 有理数加减运算主要用于解决现实生活中具有相反意义的量的变化问题。 通用解题步骤：（1）先根据题意规定正、负对应的实际意义；（2）再将实际数量转化为有理数，（3）列出加减算式；（4）最后通过运算求解。 易错点提醒 1.符号变换错误：减法变加法时，仅改变运算符号与减数符号，被减数符号固定不变；多重符号化简易出现判断偏差。 2.异号相加失误：异号两数相加，易错将绝对值相加，或符号判断错误、大小相减颠倒。 3.运算律误用：分组简便运算时，遗漏数字、错带符号，导致算式结构改变、结果出错。 4.0的运算误区：混淆 “一个数加 0” 与 “0 减一个数” 的运算结果，对特殊运算规律掌握不牢。 5.去括号易错：括号前为负号，去括号后括号内每一项均需变号；括号前为正号，去括号后各项符号保持不变。 6.省略加号和式读写错误：混淆性质符号和运算符号，抄写算式时丢失符号，造成计算错误。 ✺题型精讲 题型1.有理数加法运算 1．计算的结果等于（     ） A． B．7 C． D．3 【答案】A 【分析】算式中两个加数分别为和，均为负数，属于同号两数相加的运算．同号两数相加，取与加数相同的符号，再将两个加数的绝对值相加． 【详解】解：． 2．已知表示不超过x的最大整数，如：，．现定义：，如，则_________． 【答案】 【分析】根据新定义运算规则，分别计算两个项的值再求和即可． 【详解】解：由定义可知，不超过的最大整数为， ， 不超过的最大整数为， ， ． 3．已知，，是绝对值最小的有理数，求的值． 【答案】的值为，，， 【分析】首先化简绝对值得到，，然后求出，然后分情况讨论，分别代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是绝对值最小的有理数， ∴， ∴当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 综上所述，的值为，，，． 题型2.有理数加法中的符号问题 1．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案． 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 2．的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 3．定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 题型3.有理数加法在生活中的应用 1．一场足球赛下午时分开始，共进行了分钟，这场足球赛是下午（     ）结束的． A．时分 B．时分 C．时分 D．时分 【答案】D 【分析】根据分钟等于时分，用下午的时间加上时分，即可解答． 【详解】解：∵分钟等于时分， ∴比赛结束时间为：时分时分时分． 2．2026年9月，某市统计局发布数据：第二季度比第一季度增长了个百分点．若第一季度增长了，则第二季度增长了______． 【答案】5.2 【分析】已知第一季度增长率，以及第二季度相对第一季度的增长百分点，直接通过有理数加法计算即可得到第二季度增长率. 【详解】解：由题意得，第二季度增长率为第一季度增长率加上第二季度相对第一季度的增长值，即 因此第二季度增长了. 3．为了有效控制酒后驾驶，交警驾驶汽车在一条东西向公路上巡逻，规定向东为正方向，从出发地A出发，汽车的行驶记录（单位：km）如下：，，，，，，，．假设汽车每次行驶均为单向行驶，请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的位置及距离． 【答案】交警最后所在地在A地正东方向处 【分析】把所给的行驶记录相加，若结果为正，则在A地东边，若结果为负，则在A地西边，据此得出结论即可． 【详解】解：． 答：交警最后所在地在A地正东方向处． 题型4.有理数加法运算律 1．下列变形中，运用加法运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】加法交换律、结合律变形时，加数的符号与数值均不改变，据此判断各选项正误． 【详解】解：A选项，，交换加数时符号错误，不符合题意， B选项，，先交换与的位置，再将与结合，符合加法运算律，符合题意， C选项，，改变了加数的数值，不符合题意， D选项，，结合后符号错误，不符合题意． 2．计算：（______）][（______）]（______）（______）______． 【答案】 【分析】此题考查有理数的加减法，根据有理数加法交换律交换加数位置，根据简便算法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：，，，，． 3．计算： 【答案】 【分析】把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 【详解】解： ． 题型5.有理数的减法运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据减去一个数等于加上它的相反数逐项计算即可． 【详解】解：A.，原计算错误； B.，原计算正确； C.，原计算错误； D.，原计算错误． 2．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 3．求值 (1)已知，，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求的值； (3)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) 的值为或或或． (2) 的值为或． (3) 的值为或． 【分析】此题考查了化简绝对值，绝对值的性质，已知字母的值求式子的值，正确掌握绝对值的性质及绝对值的化简是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出分别计算即可； （2）根据题意，利用绝对值的代数意义求出由，得到异号，即可求出结果； （3）根据题意，利用绝对值的代数意义求出由，得到，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故的值为或或或． （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴异号， 当时，； 当时，； ∴的值为或． （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 题型6.有理数减法的实际应用 1．李老师乘坐高铁从南京南站到嘉兴南站，到达时间是当日，他想知道自己乘坐了多长时间，需要从车票上找到的信息是（     ） A．10月27日 B．开 C．06车号 D． 【答案】B 【分析】根据行驶时间等于到达时间减去出发时间，故需要确定高铁的发车时间即可． 【详解】解：根据题意，行驶时间等于到达时间减去出发时间， 故李老师想知道自己乘坐了多长时间，需要从车票上找到的信息是开， 选项B符合题意． 2．某商店出售的新疆长绒棉的外包装上印有“总质量”的字样，小明买了一包称了一下，发现只有，则该包棉花___________（填“符合”或“不符合”）质量要求． 【答案】符合 【详解】解：由题意可知，合格质量的最小值为，最大值为， ∵， ∴在合格范围内，该包棉花符合质量要求． 3．小亮为备战中考体育，每天以1000米为标准目标跑步，跑步米数超过标准目标的米数记作正数，不足标准目标的米数记作负数，下表是他连续6天跑步情况的记录，第5天小亮忘了记录在表上，但小亮第5天实际跑了945米． 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 与标准目标的差值/米 (1)小亮第2天实际跑了______米，并补全表格； (2)求小亮这6天跑步的总米数比标准目标总米数多（或少）多少米？ 【答案】(1)955；； (2)小亮这6天跑步的总米数比标准目标总米数多20米 【详解】（1）解：； （2）解：（米） 即小亮这6天跑步的总米数比标准目标总米数多20米． 题型7.有理数的加减混合运算 1．下列式子可读作“负2，负3，正6，负5的和”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把文字描述转化为有理数加法式子即可． 【详解】解：“负2，负3，正6，负5的和”可表示为：． 2．_______ 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据去括号法则化简原式，再利用有理数加减法则计算即可得到结果． 【详解】解： 原式 ． 3．定义一种新运算：，例：． (1)计算：； (2)比较：和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给定义列式计算即可； （2）根据所给定义分别求出和的结果，再比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解： ， ， ∵， ∴． 题型8.有理数加减中的简便运算 1．计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算，把小数转化成分数，然后根据同分母相加减计算即可． 【详解】解： 故选：C． 2．计算的结果是________． 【答案】 【分析】先判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后相邻项可相互抵消，简化计算即可得到结果． 【详解】解： ． 3．计算：； 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型9.有理数加减混合运算的应用 1．某地某一天三次测量气温情况记录如下：早上是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据上升的温度为正，下降的温度为负进行计算即可． 【详解】解：由题意得，半夜的气温为． 2．在某次航展中，飞行表演队的一架飞机在离地面800米处开始进行特技表演，共升降3次，若这3次升降中上升记为正，下降记为负（单位：米），则这3次高度变化的情况是：，，，第3次结束时这架飞机距离地面______________米． 【答案】 【分析】已知飞机初始离地面高度，将初始高度加上三次升降的高度变化量，即可得到第三次结束后飞机离地面的高度． 【详解】解：飞机初始离地面高度为米，根据题意列出算式： （米）， 因此第三次结束时飞机距离地面米． 3．游戏《黑神话：悟空》和动画电影《浪浪山小妖怪》让山西古建火出了圈，山西旅游业借此得以蓬勃发展．住在汾城古镇的小明家依靠经营民宿取得了不错的经济效益．2026年1月份，民宿收入为2万元，之后每个月在前一个月的基础上略有变动．小明以超出为正，不足为负，记录如下： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 和前月收入相比（万元） (1)请通过计算说明几月份的收入最多． (2)小明家2026年上半年总收入为多少万元？ 【答案】(1)5月份的民宿收入最多 (2)小明家2026年上半年总收入为万元 【分析】（1）根据表格算出每个月的收入，进行比较即可； （2）将所有数据相加即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，1月份，民宿收入为：2万元， 2月份，民宿收入为：（万元）， 3月份，民宿收入为：（万元）， 4月份，民宿收入为：（万元）， 5月份，民宿收入为：（万元）， 6月份，民宿收入为：（万元）， ， 月份的民宿收入最多； （2）解：总收入为：（万元）， 答：小明家2026年上半年总收入为万元． 题型10.省略加法和括号的形式 1．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是省略加号的和的形式，将各选项中的算式通过有理数加减法则转换为省略括号和加号的形式，逐一对比即可确定正确选项． 【详解】解：A． 转换为：，不符合题意； B． 转换为：，不符合题意； C． 转换为：，不符合题意； D． 转换为：，符合题意． 2．把式子写成省略括号与加号的形式______ 【答案】 【详解】解： ． 3．将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【答案】（1），读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 ；（2），负，负，负，正，正，正4的和；负减减加加； 【分析】（1）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可； （2）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可． 【详解】解：（1）原式； 读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 （2）原式． 读作：负，负，负，正，正，正4的和； 负减减加加； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型11.根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．a，b，c在数轴上位置如图所示，则的值为（    ） A．正数 B．负数 C．整数 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，由数轴可知，进而可得，． 【详解】解：由数轴知， ， ， 即的值为正数， 故选：A． 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】异号两数相加，符号取绝对值较大的数的符号，根据数轴比较两数的绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴． 3．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由数轴得，，结合有理数的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，，， 故选项B中结论正确，符合题意． 题型12.数轴上两点之间的距离 1．在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据数轴上两点间距离公式计算即可． 【详解】解：． 2．已知点A在数轴上表示的数为，点B到点A的距离为2，则点B表示的数是___________． 【答案】 或/或 【分析】点B存在两种位置情况，分别位于点A的左侧和点A的右侧，分情况计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点B在点A左侧时，点B表示的数为； 当点B在点A右侧时，点B表示的数为． 综上，点B表示的数是或． 3．阅读材料： 的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离． 根据材料的说法，试求： (1)使成立的的值； (2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由； (3)若为有理数，则有最　　　　　值（填“大”或“小”），其值为　　　　　． 【答案】(1)或2025 (2)有最大值3，此时x的值为2，理由如下： 因为， 所以当时，取得最大值， 所以令，解得， 所以代数式的最大值为3，此时x的值为2； (3)小，2 【分析】（1）根据绝对值的几何意义求解； （2）根据绝对值的非负性求解； （3）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：表示数轴上数与数1的对应点之间的距离为2024， ∴或2025； （2）略 （3）解：∵表示数轴上数与数1和数3的对应点之间的距离之和， ∴当时，有最小值，即1和3之间的距离，即2． ✺分层练习 一、单选题 1．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．如图①表示的是计算的过程，按照这种方法，图②表示的计算过程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图1可知，1条虚线代表负1，1条实线代表正1，据此即可得到答案． 【详解】解：由图1可得，1条虚线代表，1条实线代表， ∴图2表示为，． 3．某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表．根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为（   ） 2.1 0.8 1.5 1.6 A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查有理数的减法运算在实际问题中的应用，解题的关键是通过已知温度差的关系推导与的差值． 利用温度差的关系，将转化为已知的与的差，计算后比较大小判断温度关系． 【详解】解：因为， 已知， 所以， 由于，即，所以，关键是处比处高． 故选：B． 4．如图，数轴上，两点之间的距离为个单位长度，，两点之间的距离为个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到，，三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两段讨论动点的位置，把三点距离之和转化为含的式子，结合取值范围确定距离和的最大与最小值，再计算． 【详解】解：当点在上，即， ， 由，可知； 当点在上，即， ， 由，可知， 则，， 故． 二、填空题 5．的最小值为_____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义可得，表示到与的距离的和，计算即可得出结果． 【详解】解：表示到与的距离的和， ∴当时，取得最小值，即． 6．观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得：． (1)猜想并写出：． (2)尝试解决：． (3)试一试：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用所给的变化规律解答即可； （2）利用所给的变化规律，再结合有理数的加减法即可得出答案； （3）利用所给的变化规律，再结合有理数的加减法及提公因式法即可得出答案； 【详解】（1）略 （2）解： （3）解：， 由此可得出规律：，n为正整数， ∴ 7．琪琪和辰辰玩抽卡片游戏，如图，两人原来手中各有4张卡片，并且都不知道对方手中卡片上的数．游戏规则是：将卡片上带“”的记为正分，如“3”记为分，将带“”的记为负分，如“5”记为分．现在两人各自从对方手中任意抽取一张卡片，然后与手中剩余的卡片计算总分，得分高的人获胜．如果琪琪从辰辰手中抽到“5”，辰辰从琪琪手中抽到“3”，分别计算此时两人的得分，__________获胜． 【答案】 琪琪分，辰辰分，辰辰 【分析】根据题意确定每张卡片代表的有理数，明确交换卡片后两人手中各自剩余的卡片数值，利用有理数加法法则分别计算总分，最后比较大小即可得出获胜者． 【详解】解：由题意可知，带“”的卡片记为正数，带“”的卡片记为负数， 琪琪原有的张卡片数值分别为：，，，， 辰辰原有的张卡片数值分别为：，，，， 因为琪琪从辰辰手中抽到“5”（即），辰辰从琪琪手中抽到“3”（即）， 所以琪琪手中剩余的卡片数值为：，，，以及新抽到的， 琪琪的总分为： ， 辰辰手中剩余的卡片数值为：，，，以及新抽到的， 辰辰的总分为： ， 因为， 所以辰辰获胜． 三、解答题 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可得出结果； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．2026年暑期，某市博物馆举办了“古代科技展”．小明记录了参观当天展馆内人数的变化情况（规定进馆为正，出馆为负）．上午开馆后，记录如下（单位：人）：，，，，， (1)经过上述六次记录后，展馆内的人数比开馆时增加了多少人？ (2)若展馆最多容纳500人，上述记录过程中，展馆内人数是否超过最大容量？ 【答案】(1)增加了110人 (2)没有超过最大容量 【分析】（1）把6次记录的进出馆人数相加，即可求解； （2）计算每次记录时馆内的人数，根据馆内人数最多时与展馆最多容纳人数相比，即可判断． 【详解】（1）解： （人）． 答：经过上述六次记录后，展馆内人数比开馆时增加了110人． （2）解：∵开馆后，第1次记录时人数是120人，第2次记录时人数是（人），第3次记录时人数是（人），第4次记录时人数是（人）， 第5次记录时人数是（人），第6次记录时人数是（人）， ∴人数最多是第5次记录时的人数人， ∵， ∴没有超过最大容量． 10．数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题：已知点 、、为数轴上的点． (1)若把、、这个点移动到同一位置，则三个点移动距离的和最少为________个单位长度； (2)如果把点向右移动个单位长度，那么点、、表示的数中，最小的数是________； (3)如果把点向左移动________个单位长度，那么点与点之间的距离为； (4)如果把数轴上一点先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，点表示的数是．则点表示的数是________； (5)一般地，如果点表示数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点．那么用、、表示点表示的数是________；点、之间的距离是________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) (5)； 【分析】（1）三个点移动到同一点时，总移动距离最小的落点是三个点的中间点，也就是点的位置； （2）点向右移动个单位长度，对应点代表的数增加，再找出三个点中最小的数即可； （3）要让点和点之间的距离为，移动后的点数值可以是，也可以是，分这两种情况讨论即可； （4）将得到的点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，反向逆推即可得到点； （5）数轴上的点向右移动，对应数值加上移动的长度，向左移动，则对应数值减去移动的长度；两点之间的距离为两点数值差的绝对值． 【详解】（1）解：三个点移动到同一点时，总移动距离最小的落点是三个点的中间点，也就是点的位置，此时点移动个单位长度，点移动个单位长度，点移动个单位长度，总和为个单位长度． （2）解：点向右移动个单位长度后对应的数值为，此时三个点的数值分别为，最小的数是． （3）解：要让点和点之间的距离为，移动后的点数值可以是，也可以是．点起始数值为，移动到需要左移个单位长度，移动到需要左移个单位长度，因此结果为或． （4）解：已知点先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，可反向逆推得到点起始的位置，即将点向右移动个单位，再向左移动个单位，得到点的数值为． （5）解：点表示的数为，将点向右移动个单位长度后表示的数为，再向左移动个单位长度到达点，则最终点表示的数为．根据两点之间的距离为两点数值差的绝对值，点、之间的距离是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的加减运算同步培优讲义 ✺知识框架 1.有理数加法：加法分类法则、加法交换律、加法结合律 2.有理数减法：减法转化法则、基础减法运算 3.有理数加减混合运算：统一加法形式、省略括号与加号写法、简便运算技巧 4.实际应用与易错辨析：相反意义量建模、高频运算误区纠错 ✺学习目标 1.掌握有理数加、减运算法则与加法运算律，理解加减运算可统一为加法。 2.能规范完成有理数加减运算，会运用运算律简便计算，能用正负数解决实际问题。 3.体会转化思想，养成规范严谨的运算习惯。 ✺知识梳理 知识点一、有理数加法法则 有理数加法运算严格遵循先定符号，再算绝对值的核心原则。 1.同号两数相加：取与加数相同的符号，并将两数的绝对值相加。 2.异号两数相加：两数绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；两数绝对值相等时，和为0，即互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 知识点二、有理数加法运算律 加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。字母表示：a+b=b+a 加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表示：(a+b)+c=a+(b+c) 简便运算四大分组原则：在多数字混合运算中，优先利用运算律分组：①互为相反数优先结合，和为 0；②同分母分数优先结合；③可凑整的小数、整数优先结合；④同符号数优先结合，简化绝对值计算。 知识点三、有理数减法法则 核心法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。该法则实现了有理数加减运算的完全统一，是减法运算的本质依据。 字母表示：a-b=a+(-b) 运算变换规则：运算过程发生两处变化：减号变为加号，减数变为它的相反数；被减数保持不变。 特殊运算规律：一个数减去0，仍得原数；0减去一个数，结果为这个数的相反数。 知识点四、有理数加减混合运算 运算统一形式：依据减法法则，将算式中所有减法统一转化为加法，将混合算式改写为若干有理数相加的和式。 注意：省略加号的和式中，每个数字前面的符号是它本身的性质符号，不是运算符号。 标准运算步骤如下表： 运算顺序规则：有理数加减属于同级运算，若无括号，一般按照从左到右的顺序计算。如果有括号，要先计算括号内的部分。 知识点五、有理数加减运算的实际应用 有理数加减运算主要用于解决现实生活中具有相反意义的量的变化问题。 通用解题步骤：（1）先根据题意规定正、负对应的实际意义；（2）再将实际数量转化为有理数，（3）列出加减算式；（4）最后通过运算求解。 易错点提醒 1.符号变换错误：减法变加法时，仅改变运算符号与减数符号，被减数符号固定不变；多重符号化简易出现判断偏差。 2.异号相加失误：异号两数相加，易错将绝对值相加，或符号判断错误、大小相减颠倒。 3.运算律误用：分组简便运算时，遗漏数字、错带符号，导致算式结构改变、结果出错。 4.0的运算误区：混淆 “一个数加 0” 与 “0 减一个数” 的运算结果，对特殊运算规律掌握不牢。 5.去括号易错：括号前为负号，去括号后括号内每一项均需变号；括号前为正号，去括号后各项符号保持不变。 6.省略加号和式读写错误：混淆性质符号和运算符号，抄写算式时丢失符号，造成计算错误。 ✺题型精讲 题型1.有理数加法运算 1．计算的结果等于（     ） A． B．7 C． D．3 2．已知表示不超过x的最大整数，如：，．现定义：，如，则_________． 3．已知，，是绝对值最小的有理数，求的值． 题型2.有理数加法中的符号问题 1．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 2．的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 3．定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 题型3.有理数加法在生活中的应用 1．一场足球赛下午时分开始，共进行了分钟，这场足球赛是下午（     ）结束的． A．时分 B．时分 C．时分 D．时分 2．2026年9月，某市统计局发布数据：第二季度比第一季度增长了个百分点．若第一季度增长了，则第二季度增长了______． 3．为了有效控制酒后驾驶，交警驾驶汽车在一条东西向公路上巡逻，规定向东为正方向，从出发地A出发，汽车的行驶记录（单位：km）如下：，，，，，，，．假设汽车每次行驶均为单向行驶，请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的位置及距离． 题型4.有理数加法运算律 1．下列变形中，运用加法运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：（______）][（______）]（______）（______）______． 3．计算： 题型5.有理数的减法运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：__________． 3．求值 (1)已知，，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求的值； (3)在（1）的条件下，若，求的值． 题型6.有理数减法的实际应用 1．李老师乘坐高铁从南京南站到嘉兴南站，到达时间是当日，他想知道自己乘坐了多长时间，需要从车票上找到的信息是（     ） A．10月27日 B．开 C．06车号 D． 2．某商店出售的新疆长绒棉的外包装上印有“总质量”的字样，小明买了一包称了一下，发现只有，则该包棉花___________（填“符合”或“不符合”）质量要求． 3．小亮为备战中考体育，每天以1000米为标准目标跑步，跑步米数超过标准目标的米数记作正数，不足标准目标的米数记作负数，下表是他连续6天跑步情况的记录，第5天小亮忘了记录在表上，但小亮第5天实际跑了945米． 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 与标准目标的差值/米 (1)小亮第2天实际跑了______米，并补全表格； (2)求小亮这6天跑步的总米数比标准目标总米数多（或少）多少米？ 题型7.有理数的加减混合运算 1．下列式子可读作“负2，负3，正6，负5的和”的是（ ） A． B． C． D． 2．_______ 3．定义一种新运算：，例：． (1)计算：； (2)比较：和的大小． 题型8.有理数加减中的简便运算 1．计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 2．计算的结果是________． 3．计算：； 题型9.有理数加减混合运算的应用 1．某地某一天三次测量气温情况记录如下：早上是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是（     ） A． B． C． D． 2．在某次航展中，飞行表演队的一架飞机在离地面800米处开始进行特技表演，共升降3次，若这3次升降中上升记为正，下降记为负（单位：米），则这3次高度变化的情况是：，，，第3次结束时这架飞机距离地面______________米． 3．游戏《黑神话：悟空》和动画电影《浪浪山小妖怪》让山西古建火出了圈，山西旅游业借此得以蓬勃发展．住在汾城古镇的小明家依靠经营民宿取得了不错的经济效益．2026年1月份，民宿收入为2万元，之后每个月在前一个月的基础上略有变动．小明以超出为正，不足为负，记录如下： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 和前月收入相比（万元） (1)请通过计算说明几月份的收入最多． (2)小明家2026年上半年总收入为多少万元？ 题型10.省略加法和括号的形式 1．不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（ ） A． B． C． D． 2．把式子写成省略括号与加号的形式______ 3．将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 题型11.根据点在数轴的位置判断式子的正负 1．a，b，c在数轴上位置如图所示，则的值为（    ） A．正数 B．负数 C．整数 D．不能确定 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 3．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型12.数轴上两点之间的距离 1．在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是（     ） A．5 B． C．1 D． 2．已知点A在数轴上表示的数为，点B到点A的距离为2，则点B表示的数是___________． 3．阅读材料： 的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离． 根据材料的说法，试求： (1)使成立的的值； (2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由； (3)若为有理数，则有最　　　　　值（填“大”或“小”），其值为　　　　　． ✺分层练习 一、单选题 1．将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 2．中国人很早就开始使用负数，著名的中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．如图①表示的是计算的过程，按照这种方法，图②表示的计算过程是（     ） A． B． C． D． 3．某农业科研小组要测量A、B两处土壤温度差，他们选取了D、E、F、G四个中间测量点，并测得它们之间的温度差如下表．根据以下数据，可以判断A、B之间的温度关系为（   ） 2.1 0.8 1.5 1.6 A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定 4．如图，数轴上，两点之间的距离为个单位长度，，两点之间的距离为个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到，，三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．的最小值为_____________． 6．观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得：． (1)猜想并写出：． (2)尝试解决：． (3)试一试：． 7．琪琪和辰辰玩抽卡片游戏，如图，两人原来手中各有4张卡片，并且都不知道对方手中卡片上的数．游戏规则是：将卡片上带“”的记为正分，如“3”记为分，将带“”的记为负分，如“5”记为分．现在两人各自从对方手中任意抽取一张卡片，然后与手中剩余的卡片计算总分，得分高的人获胜．如果琪琪从辰辰手中抽到“5”，辰辰从琪琪手中抽到“3”，分别计算此时两人的得分，__________获胜． 三、解答题 8．计算： (1)； (2)． 9．2026年暑期，某市博物馆举办了“古代科技展”．小明记录了参观当天展馆内人数的变化情况（规定进馆为正，出馆为负）．上午开馆后，记录如下（单位：人）：，，，，， (1)经过上述六次记录后，展馆内的人数比开馆时增加了多少人？ (2)若展馆最多容纳500人，上述记录过程中，展馆内人数是否超过最大容量？ 10．数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题：已知点 、、为数轴上的点． (1)若把、、这个点移动到同一位置，则三个点移动距离的和最少为________个单位长度； (2)如果把点向右移动个单位长度，那么点、、表示的数中，最小的数是________； (3)如果把点向左移动________个单位长度，那么点与点之间的距离为； (4)如果把数轴上一点先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，点表示的数是．则点表示的数是________； (5)一般地，如果点表示数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点．那么用、、表示点表示的数是________；点、之间的距离是________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $