精品解析： 江苏省南通市海安市南莫中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南通市海安市南莫中学八年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个 1. 下面国产汽车品牌标志中，是轴对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：下列图形中，是轴对称的图形的有第二个，第三个，第四个，共三个． 故选C． 【点睛】主要考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、和不是同类项，不可合并，选项错误； B、，选项正确； C、，选项错误； D、，选项错误． 故选B． 考点：1．合并同类项；2．同底幂乘法；3．同底幂乘除法；4．幂的乘方和积的乘方． 3. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A. B. ( C. ) D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据平方差公式的特征，易得C. 4. 下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，三角形的三边关系，根据ASA、SAS、SSS等判定唯一三角形，同时考虑三角形三边关系．需根据每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A项：，，只给出直角和斜边，无法唯一确定三角形，不符合题意； B项：, ，，已知两角及夹边，符合ASA全等条件，能唯一画出，符合题意； C项：，，，因为，不满足三角形三边关系，不能画出三角形，不符合题意； D项：，，，已知两边及非夹角，属于SSA情况，不能保证唯一三角形，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等， ∴超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D 6. 有下列说法正确的有（　　） （1）点P到线段两个端点距离相等，且点P在直线l上，则直线l是该线段的垂直平分线； （2）两个成轴对称的图形的对称点一定在对称轴的两侧； （3）到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，轴对称图形的性质，垂直平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据垂直平分线的判定，轴对称图形的性质，角平分线的判定等知识内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：（1）点P到线段两个端点距离相等，且点P在直线l上，这样的直线l有很多，则直线l不一定是该线段的垂直平分线，故原说法错误； （2）轴对称图形的对称点不一定在对称轴的两侧，也可能在对称轴上，故原说法错误； （3）在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，原说法错误． ∴说法正确的有0个． 故选：A 7. 如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过P作，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：过P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． ． 【点睛】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线． 8. 如图，在中，F是高，的交点，，，，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，能熟练利用全等三角形的判定及性质进行求解是解题的关键．结合直角三角形的特征，由判定，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：F是高，的交点， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 9. 如图，两个正方形边长分别为a和b，如果a-b=2，ab=26，那么阴影部分的面积是（ ） A. 30 B. 34 C. 40 D. 44 【答案】A 【解析】 【分析】由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和． 【详解】解：如图， ∵a-b=2，ab=26， ∴a2-2ab+b2=4， ∴a2+b2=4+2ab=4+52=56， 阴影部分的面积=S△ABC+S△CDM+S△AEF+S△GHM =2×（a-b）×a+2×b×b =a（a-b）+b2 =a2+b2-ab =56-26 =30． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键． 10. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接， ，过A作于E，依据，，即可得出，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到．本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【详解】解：如图，连接，，过A作于E， ∵点关于的对称点恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形中， ， ∴， ∴ 故选：B． 二、填空题：（本大题共8小题，第11、12每小题3分，第13～18每小题3分） 11. 点关于轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称，根据关于轴对称的点的坐标是，即可解题． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图,在△ABC中，AC=BC，∠A=40∘，观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为 _______ 【答案】50° 【解析】 【分析】由基本作图可知CG⊥AB，由等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，CG平分∠ACB，利用∠A＝∠B和三角形内角和定理计算出∠ACB，进一步求得∠BCG的度数． 【详解】解：由基本作图可知CG⊥AB， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B，CG平分∠ACB， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BCG＝∠ACB＝50°． 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图和等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图是解答本题的关键． 13. 如果3m＝2，3n＝5，那么32m﹣n的值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵3m＝2，3n＝5， ∴32m﹣n＝（3m）2÷3n＝4÷5＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的除法运算及其逆运算，考查幂的乘方运算的逆运算，掌握幂的运算及其逆运算是解题关键． 14. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7， 解得AC=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 15. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法，同底数幂的乘法运算．利用路程等于速度乘以时间，再利用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：米． 米即千米． 故答案为：． 16. 如图，D为内一点，平分，，若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 17. 如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，C为线段上一点，当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示数______． 【答案】2或3或4 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，两点间的距离，先求出的长，分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】∵数轴上A点表示数10，B点表示数6， ∴，， 当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，分3种情况： ①时，此时，符合题意，则：点C表示数4； ②时，此时，符合题意，则：点C表示数2； ③时，符合题意，则：点C表示数3； 综上：点C表示数2或3或4； 故答案为：2或3或4． 18. 如图，在中，，点D是边上的定点，，点E、点P分别是边上的动点，当的值最小时，，则为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形，作点关于的对称点，连接，得到，得到三点共线时，的值最小，根据垂线段最短，得到当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 则：， ∴， ∴三点共线时，的值最小，为的长， ∵点E是边上的动点， ∴当时，最小， ∵的值最小时，，， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 三、解答题：（本大题共8小题，共90分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）（运用乘法公式计算）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）先算乘方，再计算单项式的除法； （2）先算单项式的乘法，再合并同类项即可； （3）先用平方差公式，再用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 21. 如图，中，，，、分别为线段的垂直平分线段，点为垂足． （1） °； （2）求的度数． 【答案】（1）100 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接根据三角形内角和定理，进行列式计算即可作答． （2）先结合线段垂直平分线的性质，得，则，，再代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：∵、分别为线段的垂直平分线段，点为垂足． ∴， ∴，， 由（1）得， ∴． 22. 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）试判断△ADE的形状，并证明． 【答案】（1）见解析； （2）△ADE为等边三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，再证∠ACE＝∠B，然后由SAS即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，再证∠DAE＝∠BAC＝60°，然后由等边三角形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴∠ACD＝120°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝60°， ∴∠B＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； 【小问2详解】 解：△ADE是等边三角形，证明如下： 由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， 即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简； （2）若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 【答案】（1）“T”型图形的面积为； （2）5440元 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键． （1）根据图形可用割补法进行求解； （2）把代入（1）中式子进行求解面积，然后再根据草坪的造价“T”型区域的面积单价，进而问题可解． 【小问1详解】 解：由题意得：“T”型图形的面积为； 【小问2详解】 解：当米时，此时米， （平方米）， ∴造价为（元）． 24. 如图，和都是等边三角形，，相交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：平分． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（）利用全等三角形判定条件 “” 证明，即可得证； （）由（）可知，，得到，应用外角定理可知，，即可得出结论； （）在上截取，连接，利用全等三角形判定条件 “” 证明，再利用 “同角的补角相等” ，可得，即可得证． 【小问1详解】 （1）证明：和都是等边三角形， ，， ，， ，即， 在与中， ， ， ； 【小问2详解】 由（）知，， ， ， 的度数是； 【小问3详解】 证明：在上截取，连接， 由（）的证明，知， ，即， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， 平分． 【点睛】本题关键是掌握全等三角形的判定条件 “”，灵活运用外角定理，以及掌握角平分线的定义． 25. 平面直角坐标系中，已知点A． （1）如图，点B，以A为直角顶点，为腰在第三象限作等腰，求点C的坐标； （2）点P为y轴负半轴上的一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点D在y轴右侧，轴于点E，若，求P点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过C作轴于M点，由“”证明，可得出，，即可求点C坐标； （2）如图2，过D作于Q点，可证四边形是矩形，可得，，即，由“”可证明，可得，进而得到点P的坐标． 【小问1详解】 ∵，， ∴，， 过C作轴于M点，如图1， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 如图2，过D作于Q点， ∵，轴交x轴于点E，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴． 26. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例， 如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如： 第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数； 第四行的数1，3，3，1，对应展开式中的系数等． 利用上面的规律，完成以下问题： （1）的展开式为 ； （2）计算：； （3）若（a、b为常数）的展开式中不含和的项，求a、b的值； （4）若今天是星期一，经过天后是星期 ． 【答案】（1） （2）256 （3） （4）二 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及对“杨辉三角”的理解，找到规律是解决问题的关键． （1）根据杨辉三角规律即可作答； （2）根据第1问倒推，写成的形式解题即可； （3）根据多项式乘以多项式法则将式子展开，令含有和的项系数为0建立方程组求解即可； （4）根据题意作答即可． 【小问1详解】 解：根据规律写出第五行数字，即的展开式的各项系数. 故答案为:：； 【小问2详解】 由题意得： 【小问3详解】 （a、b为常数）的展开式中不含和的项 ，解得； 【小问4详解】 ， 除以7余数为1， 若今天是星期一，经过天后是星期二． 故答案为：二． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年江苏省南通市海安市南莫中学八年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个 1. 下面国产汽车品牌标志中，是轴对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A. B. ( C. ) D. 4. 下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）． A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 6. 有下列说法正确的有（　　） （1）点P到线段两个端点距离相等，且点P在直线l上，则直线l是该线段的垂直平分线； （2）两个成轴对称的图形的对称点一定在对称轴的两侧； （3）到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在中，F是高，的交点，，，，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 9. 如图，两个正方形边长分别为a和b，如果a-b=2，ab=26，那么阴影部分的面积是（ ） A. 30 B. 34 C. 40 D. 44 10. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共8小题，第11、12每小题3分，第13～18每小题3分） 11. 点关于轴对称的点的坐标是________． 12. 如图,在△ABC中，AC=BC，∠A=40∘，观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为 _______ 13. 如果3m＝2，3n＝5，那么32m﹣n的值为_____． 14. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____． 15. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为______千米． 16. 如图，D为内一点，平分，，若，则______． 17. 如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，C为线段上一点，当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示数______． 18. 如图，在中，，点D是边上的定点，，点E、点P分别是边上的动点，当的值最小时，，则为_____． 三、解答题：（本大题共8小题，共90分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）（运用乘法公式计算）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，中，，，、分别为线段的垂直平分线段，点为垂足． （1） °； （2）求的度数． 22. 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）试判断△ADE的形状，并证明． 23. 如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简； （2）若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 24. 如图，和都是等边三角形，，相交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：平分． 25. 平面直角坐标系中，已知点A． （1）如图，点B，以A为直角顶点，为腰在第三象限作等腰，求点C的坐标； （2）点P为y轴负半轴上的一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点D在y轴右侧，轴于点E，若，求P点坐标． 26. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例， 如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如： 第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数； 第四行的数1，3，3，1，对应展开式中的系数等． 利用上面的规律，完成以下问题： （1）的展开式为 ； （2）计算：； （3）若（a、b为常数）的展开式中不含和的项，求a、b的值； （4）若今天是星期一，经过天后是星期 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $