精品解析：重庆市第一中学校2026届高三上学期开学考试数学试题

2025年重庆一中高2026届高三上期开学考试 数学测试试题卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解出集合，再找到集合的补集，再求出和的补集的交集. 【详解】，， ， 故选：C 2. 设随机变量服从正态分布，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的方差的性质求解即可. 【详解】设随机变量服从正态分布，则，的值为. 故选：D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”否定是“，” D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合命题的真假判定，可得判定A错误，根据充分条件、必要条件的判定，可得判定B错误；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确，D错误. 【详解】对于A中，由命题p为真命题，命题q为假命题，根据复合命题的真假判定，可得命题“p且q”为假命题，所以A错误； 对于B中，由，可得或，所以充分性不成立； 当时，可得，所以必要性成立，所以B不正确； 对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，所以C正确； 对于D中，根据全称命题与存在性命题关系，命题“”的否定是“” ，所以D不正确. 故选：C. 4. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为偶函数，且在上为增函数，由此可得，然后利用对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出，，的大小 【详解】解：因为，所以为偶函数， 所以， 当时，在上为增函数， 因为，， 所以， 因为在上为增函数， 所以， 所以， 故选：A 【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题. 5. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（ ） A. 20小时 B. 24小时 C. 28小时 D. 32小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案. 【详解】由题意得，即，其中，所以， 当时，. 故选：B 6. 已知甲乙丙3名同学从学校的2个科技类社团，2个艺术类社团，1个体育类社团中选择报名参加，每人只能报名参加一个社团，则有人报名参加体育类社团且仅有一人报名科技类社团的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列组合数及分类分步计数求有人报名参加体育类社团且仅有一人报名科技类社团的情况数，由分步计数求3人任意报名社团情况数，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】3人中有一人报名科技类社团有种报名方法， 余下2人报名其余3个社团，有人报名参加体育类社团，则报名情况分类如下: 2人都报名体育类社团，有1种报名方法， 若2人报名体育类、艺术类社团各1人，有种， 综上，有人报名参加体育类社团且仅有一人报名科技类社团共有种； 若3人任意报名社团，则共有种， 所以有人报名参加体育类社团且仅有一人报名科技类社团的概率为. 故选：B 7. 已知函数的极大值小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，令，求得或，分，和，三种情况讨论，求得函数的单调性，结合的极大值小于，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 令，即，解得或， 若，；当时，， 当时，可得，此时恒成立， 在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时， 在区间时，，所以，所以在上递增； 在区间上，，所以，所以在上单调递减； 在区间上，，所以，所以在上递增， 所以函数在处取得极大值，即， 因为函数的极大值小于，可得，即， 因为，所以实数满足； 当时， 在区间时，，所以，所以在上递增； 在区间时，，所以，所以在上递减； 在区间时，，所以，所以在上递增， 所以函数在处取得极大值，即， 令，可得， 再令，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为，即， 所以在上单调递减， 又因为，由极大值小于，即，所以， 因为，所以， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：A. 8. 已知关于的方程有两根为满足，若，满足，则函数在上的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的根互为倒数结合方程的特征可得，再利用导数求出在上的最小值后，可求在的最大值. 【详解】因为为方程的根， 故且， 而，故，即. 又，所以， 而，否则，与题设矛盾， 故，故. 若，则，这与矛盾，故. 故时，，此时. 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故在上的最小值为，而， 故在上的最大值为，即在上的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，则（ ） A. 的系数为-9 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数和为32 D. 所有项的系数和为32 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及性质逐项求解判断. 【详解】对于A，展开式中含的项为，因此的系数为-10，A错误； 对于B，的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，B正确； 对于C，的展开式所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得的展开式所有项的系数和为，D错误. 故选：BC 10. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（ ） A. B. 的面积为2 C. 椭圆的离心率为 D. 的内切圆半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入点的坐标求出，即可得到椭圆方程，从而求出，即可求出离心率，从而判断A、C，由面积公式判断B，由椭圆的定义及等面积法求出内切圆的半径，即可判断D. 【详解】依题意，解得，则，所以椭圆方程为， 所以，，即，，所以离心率，故A正确，C错误； 所以，故B正确； 又，设的内切圆半径为， 则，即，解得，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，的图象与直线分别交于A、B两点，则（ ） A. 的最小值为 B. 使得曲线在A处的切线垂直于曲线在B处的切线 C. 使得曲线在A处的切线平行于曲线在B处的切线 D. 曲线与曲线的公切线有2条 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求出与的坐标后结合导数可求的最小值为；对于B：结合A中的导数可判断B的正误；对于C，结合A的导数可构建关于的方程，再结合导数可求该方程的解，故可判断其正误；对于D：构造关于切点横坐标的方程组后结合导数可判断该方程组有两组解后判断其正误. 【详解】对于A，由题设有，令，则，令，则， 因为函数，的图象与直线分别交于A、B两点， 所以，，故， 设，则， 因为在上为增函数，故在上为增函数， 而，故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故，故A正确; 对于B，由A的分析可得：，， 而，故， 又，故，因为， 故不存在使得曲线在A处的切线垂直于曲线在B处的切线， 故B错误; 对于C，结合B的分析可令，故， 设，则， 故在上为增函数，而，故有且仅有一个实数解， 此时，，而， 故在处的切线方程为：， 在处的切线方程为：， 因，故两条切线平行，故C正确； 对于D，设公切线与曲线的切点坐标为， 结合B中函数的导数可得切线方程为， 公切线与曲线的切点坐标为， 结合B中函数的导数可得切线方程为， 故，故， 整理得到：， 设，则， 设，则， 当时，，当时，， 故即在上为增函数，在上为减函数， 而，，当时，， 故在上有且只有零点，且， 且当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 而， ， 由零点存在定理可得在有两个不同的零点， 故曲线与曲线的公切线有2条，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算化简可得答案. 【详解】 故答案： 13. 已知，，且满足，则的最大值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】先由条件配方，再由基本不等式即可得到. 【详解】因，，，得. 再由，得，所以. 所以的最大值为2. 故答案为：2. 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为互斥，所以， 所以 ， 解得，所以. 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数（即下四分位数）与第百分位数（即上四分位数）.四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示. 已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示. （1）据统计，两个班级中高于分的共人，其中A班人，B班人，从中抽取人作学习经验分享，设这人中来自B班的人数为X，求X的分布列和数学期望. （2）在两个班级中随机抽取一名学生，该生的分数大于分的概率是多少? 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】(1) 依题意的可能取值为，，，，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； (2) 利用全概率公式计算可得. 【小问1详解】 依题意的可能取值为，，，， 所以，， ，. 所以的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以. 【小问2详解】 设事件 “该同学来自班”，事件 “该同学的分数高于分”，两个班人数一样， 结合图2，A班的上四分位数为120分，B班的中位数为120分， 所以， 所以， 即该生的分数大于分的概率是. 16. 已知，函数，. （1）当时，求极值； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、、研究导数符号得单调性，即可得极值； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的取值范围，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，且， 若，则，故在上单调递增，无极值； 若，则，即，故在上单调递增，无极值； 若，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由题设，又， 所以在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以在上单调递增，且时，， 综上，. 17. 如图，在椭圆中，，分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点、三等分线段. （1）求a的值； （2）设，，已知，求直线的斜率. 【答案】（1）3； （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合同底的两个三角形面积比等于高的比列式求解. 小问1详解】 设，而，由点、三等分线段，得， 则，即，由椭圆，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，椭圆左焦点，设直线的方程为， 由消去得， 设，则， ， 由，得，则，解得，而，所以. 18. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 （1）若，求数学期望； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示. （i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：. 【答案】（1）50 （2）（i）；（ⅱ）团队B可以求出的最大似然估计， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再根据求解即可； （2）（i）设，依题意得，化简即可； （ⅱ）记，求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提出函数模型即可得答案． 【小问1详解】 由题知，随机变量服从二项分布，， 由， 即， 得，所以； 【小问2详解】 （i）“”， ， 所以； （ii）记， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，取得最大值，即取得最大值， 在团队提出的函数模型，中， 记函数，，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得最大值，则不可以估计， 在团体提出的函数模型中， 记函数，单调递增， 令，解得， 则团队B可以求出的最大似然估计，且是的最大似然估计. 【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 19. 若函数满足“定义域内任意的，都有”则称函数具有“广义对称性”，已知函数. （1）判断是否具有“广义对称性”； （2）若有3个零点，，，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为的所有极值点，证明：. 【答案】（1）具有“广义对称性”，理由见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）计算出，故具有“广义对称性”； （2）（ⅰ）由（1）推出，，，求导，令得，，令，求导，得到单调性和，又时，，时，，分，和三种情况，得到的单调性，结合函数走势，得到满足有3个零点； （ⅱ）在（ⅰ）基础上，得到有2个极值点，即，不妨设，并推出，又，要证，只需证，由（ⅰ）知，变形得，证毕. 【小问1详解】 具有“广义对称性”，理由如下： ， 故， 故具有“广义对称性”； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，具有“广义对称性”， 故，令得，即， 的定义域为，有3个零点，，，其中， 由题意可知，，即若为零点，则也为零点， 故，，， ， 令得，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， ，又时，，时，， 当时，，此时恒成立， 此时在上单调递增，不满足有3个零点， 当时，，此时恒成立， 此时在上单调递减，不满足有3个零点， 当时，存在和，使得，， 当和时，， 当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 其中，故，， 又当时，，当时，， 所以在和上各有1个零点，满足有3个零点， 故； （ⅱ）由（ⅰ）可知，有2个极值点，即， 不妨设， ，两边求导得， 即，故若，则有，即， 又，要证，只需证， 即证， 由（ⅰ）知，故，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆一中高2026届高三上期开学考试 数学测试试题卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设随机变量服从正态分布，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题 B. “”是“”充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 命题“，”的否定是“，” 4. 设函数，若，，，则，，的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（ ） A. 20小时 B. 24小时 C. 28小时 D. 32小时 6. 已知甲乙丙3名同学从学校的2个科技类社团，2个艺术类社团，1个体育类社团中选择报名参加，每人只能报名参加一个社团，则有人报名参加体育类社团且仅有一人报名科技类社团的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的极大值小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程有两根为满足，若，满足，则函数在上的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，则（ ） A. 的系数为-9 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数和为32 D. 所有项的系数和为32 10. 已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则（ ） A. B. 的面积为2 C. 椭圆的离心率为 D. 的内切圆半径为 11. 已知函数，图象与直线分别交于A、B两点，则（ ） A. 最小值为 B. 使得曲线在A处的切线垂直于曲线在B处的切线 C. 使得曲线在A处的切线平行于曲线在B处的切线 D. 曲线与曲线的公切线有2条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 13. 已知，，且满足，则的最大值为_______. 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则______. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数（即下四分位数）与第百分位数（即上四分位数）.四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示. 已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示. （1）据统计，两个班级中高于分的共人，其中A班人，B班人，从中抽取人作学习经验分享，设这人中来自B班的人数为X，求X的分布列和数学期望. （2）在两个班级中随机抽取一名学生，该生的分数大于分的概率是多少? 16. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 如图，在椭圆中，，分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点、三等分线段. （1）求a的值； （2）设，，已知，求直线的斜率. 18. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 （1）若，求数学期望； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示. （i）试写出事件“”发生概率表达式（用表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：. 19. 若函数满足“定义域内任意的，都有”则称函数具有“广义对称性”，已知函数. （1）判断是否具有“广义对称性”； （2）若有3个零点，，，其中. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为的所有极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $