精品解析： 山东省淄博市张店区柳泉中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）（五四学制）

2024-2025学年山东省淄博市张店区柳泉中学八年级（下） 月考数学试卷（3月份）（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3 2. 下列命题正确的是（　　） A. 四个角相等四边形是正方形 B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等四边形是菱形 3. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 4. 菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 24 C. 15 D. 12 5. 若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ） A. B. C. D. 6. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C D. 7. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 8. 如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ①③④ 9. 如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E，连接．以下结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知，则的值是_______． 12. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD为菱形． 13. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是______． 14. 如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，，相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是______． 15. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，且，连接，求证：四边形是矩形． 17. 如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F． （1）如果，，，求的长． （2）如果，，线段x是线段和线段的比例中项，求x的值． 18. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 19. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF、CF； （1）求证：EF=CF； （2）若∠BAC=45°，AD=6，求C、E两点间的距离． 20. 如图，中，M为边的中点，E为上一点，且，连接并延长交的延长线于D，求证：． 21. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接． （1）与的数量关系是 ； （2）当D在的中点，四边形是什么特殊的四边形？请说明理由； （3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 22. 已知，如图，O为坐标原点，在四边形中，， ， ，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当P运动 秒，四边形是平行四边形． （2）在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 【问题背景】（1）如图1，已知，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在和中，，，点在边上，与相交于点，连接． ①填空：的值为______； ②若，求的值； 【拓展创新】（3）如图3，是内一点，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省淄博市张店区柳泉中学八年级（下） 月考数学试卷（3月份）（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列四组线段中，成比例线段的是（　　） A. 3、4、5、6 B. 5、15、2、6 C. 4、8、3、5 D. 8、4、1、3 【答案】B 【解析】 【详解】A、因为3：4≠5：6，则3、4、5、6不是比例线段，所以A选项错误； B、因为5：15=2：6，则5、：15、2、6是比例线段，所以B选项正确； C、因为4：8≠3：5，则4、8、3、5不是比例线段，所以C选项错误； D、因为8：4≠1：3，则8、4、1、3不是比例线段，所以D选项错误． 故选：B． 2. 下列命题正确的是（　　） A. 四个角相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是矩形，菱形的判定，根据矩形与菱形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：四个角相等的四边形是矩形，故A不符合题意； 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B不符合题意； 四条边相等的四边形是菱形，正确，故C符合题意； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D不符合题意； 故选C． 3. 若，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，设设，再代入所求分式化简求解即可． 【详解】∵， ∴设， ∴， 故选：B． 4. 菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 24 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 求出已知方程的解，确定出的长，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，设菱形对角线相交 于O，如图， ∵菱形， ∴，， 由勾股定理，得， ∴ ∴菱形面积为； 故选：B． 5. 若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 6. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，“三边对应成比例，两三角形相似”，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法依次判断即可． 详解】解：A、∵， ∴，故A能判定； B、根据不能证明，故B不能判定； C、∵， ∴，故C能判定； D、∵． ∴，故D能判定； 故选：B． 7. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，即可求解，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是对角线互相垂直，理由如下： 根据三角形的中位线定理得： ，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 8. 如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则 ①△ABC的各边长分别为1、、． ②△ACD的各边长分别为1、、2 ； ③△ADE的各边长分别为2、2 、2 ； ④△AEF的各边长分别为2、2、6； ⑤△AGH的各边长分别为、2、； ∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH， 故选A． 【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 9. 如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点E，连接．以下结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质推出，由角平分线定义求出，由等角对等边得到，设，，判定，推出，得到，求出（舍去负值），因此，求出，得到． 本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作图-基本作图，关键是判定，推出，得到关于x的方程 【详解】解：A、∵，， ∴， 由题意得到：平分， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； C、设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（已舍去负值）， ∴， ∴，故此选项符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC＝∠AED＝90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD＝BE；③MP·MD＝MA·ME；④2CB2＝CP·CM．其中正确的是 ( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据两个三角形的两角相等证明相似三角形； ②根据两个三角形的两边比值相等证明△BAE∽△CAD即可的CD与BE的比值； ③根据△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA，再根据△PME∽△AMD， 得MPMD=MAME； ④根据△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°，再根据MPMD=MAME得△PMA∽△EMD，又因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA，所以△APC∽△MAC，则AC2=MCPC，再根据AC=BC，得2CB2=CPCM. 【详解】①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°， 所以∠CAM=90°， 又因为∠CMA=∠DME（对顶角），∠AED=∠CAM=90°， 所以△CAM∽△DEM，故①正确. ②在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠CAB=∠EAD=45°，AC=AB，AD=AE， 所以∠CAB+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD， 又因为=，所以△BAE∽△CAD. 则CD=BE，故②正确. ③由②中△BAE∽△CAD，得∠BEA=∠CDA， 又因为∠BEA=∠AMD，所以△PME∽△AMD， 所以=，即MPMD=MAME，故③正确. ④，由③中△PME∽△AMD ，得∠MPE=∠MAD=45°， 因为MPMD=MAME，所以=，所以△PMA∽△EMD， 所以∠APM=∠DEM=90°， 因为∠APC=∠MAC=90°，∠ACP=∠MCA， 所以△APC∽△MAC， 所以=，即AC2=MCPC， 又因为AC=BC， 所以2CB2=CPCM，故④正确. 故答案选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与运用. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意得出，，，代入化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 12. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD为菱形． 【答案】AD=DC（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据菱形的定义或判定定理得出答案即可． 【详解】由四边形ABCD是平行四边形， 添加AD=DC，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形； 添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形． 故答案为：AD=DC（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键． 13. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴旗杆的高度约是． 故答案：． 14. 如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，，相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，根据题意得，，由得进一步得到，由勾股定理求得，由题意得得到对应线段成比例即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点E，F分别为BC，CD的中点， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴， 由勾股定理得： ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明,得到,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到,根据△ABC中，AB=4，BC=5，得到当AB⊥BC时，△ABC面积最大，即可求出△AFE面积的最大值． 【详解】解：如图，连接DF， ∵CD=2BD，CF=2AF， ∴， ∵∠C=∠C， ∴△CDF∽△CBA， ∴,∠CFD=∠CAB， ∴DF∥BA， ∴△DFE∽△ABE， ∴, ∴, ∵CF=2AF， ∴, ∴, ∵CD=2BD， ∴, ∴, ∵△ABC中，AB=4，BC=5， ∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，， 此时△AFE面积最大为． 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到,理解等高三角形的面积比等于底的比是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，且，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，，推出，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 17. 如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F． （1）如果，，，求的长． （2）如果，，线段x是线段和线段的比例中项，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出； （2）根据平行线分线段成比例定理求出，再根据比例中项的概念计算即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理、比例中项的概念，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 18. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由菱形的性质得出，再根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）直接利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， 负值舍去． 19. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF、CF； （1）求证：EF=CF； （2）若∠BAC=45°，AD=6，求C、E两点间的距离． 【答案】（1）见解析；（2）C，E两点间的距离是 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质可得进而求解EF=CF； （2）连接CE，易求EF=AF=CF=3，结合等腰三角形的性质可求解∠EFC=90°，利用勾股定可求解CE的长． 【详解】（1）证明:∵ DB⊥AB， ， 在和中， ∵点F是斜边AD的中点， （2）解：连接CE，由（1）得 ∴ ∴ 即C，E两点间的距离是 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质，求出∠EFC=90°是解题的关键． 20. 如图，中，M为边的中点，E为上一点，且，连接并延长交的延长线于D，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，找准对边作平行线构造相似三角形是解题的关键．过点作的平行线，根据同位角，内错角，公共角得出，进而得出，由为中点，得出，然后由对顶角得出，得出对应边，由于，，得出，根据得出即可得出结论． 【详解】证明：过点作，交于点， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即, ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 21. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接． （1）与的数量关系是 ； （2）当D在的中点，四边形是什么特殊的四边形？请说明理由； （3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 【答案】（1）相等 （2）四边形是菱形，理由见解析 （3）当时，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、菱形以及正方形的判定，熟记相关判定定理的内容即可． （1）证四边形是平行四边形即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，结合，D为中点，可得，即可求证； （3）根据题意得，结合D为中点，可得；结合（2）中的结论即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 故答案为：相等 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由：∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵，D为中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形， 理由：∵， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴°， ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 22. 已知，如图，O为坐标原点，在四边形中，， ， ，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当P运动 秒，四边形是平行四边形． （2）在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）时，；时，；时，； 【解析】 【分析】（1）根据题意得，四边形是平行四边形时，列一元一次方程即可求解； （2）分三种情况：当Q点在P点的右边时；当Q点在P点左侧且在线段上时；当Q点在P点左侧且在延长线上时，根据菱形的性质、勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∵点D是的中点， ∴ 由题意得： ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴，即，解得： ∴当秒，四边形是平行四边形； 【小问2详解】 分三种情况： 当Q点在P点的右边时，如下图 ∵四边形是菱形 ∴ 在中，由勾股定理得： ∴，解得 ∴； 当Q点在P点左侧且在线段上时，如图， 同理①得： ∴，解得 ∴； 当Q点在P点左侧且在延长线上时，如图3 同理①得： 即，解得 ∴； 综上：时，；时，；时，； 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，菱形的存在性问题等，解题的关键是掌握特殊平行四边形的性质，注意分类讨论． 23. 【问题背景】（1）如图1，已知，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在和中，，，点在边上，与相交于点，连接． ①填空：的值为______； ②若，求的值； 【拓展创新】（3）如图3，是内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）①；②3；（3） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，则，可证得结论； （2）①根据即可求解； ②证明，再证，由相似三角形的性质得出，可证明，得出，则可求出答案． （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， 证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，求出，由勾股定理求出，最后由直角三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：①如图2， ， ； ②如图2，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． （3）解：如图3，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 即， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】此题是相似三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $