广东省肇庆市广宁中学2025-2026学年高三上学期初期调研考试数学试卷

数学（二） 第1页（共 4 页） 绝密★考试结束前 广东省肇庆市广宁中学2026届高三初期调研考试 数学试题 考生须知： 1.本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。 4.考试结束后，只需上交答题卷。 选择题部分 一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题 目要求.） 1.已知集合 }2log1|{ 2 −= xxA ， }21012{ ，，，，−−=B ，则 =BA A . }21{ ， B . }10{ ， C . }101{ ，，− D. }210{ ，， 2.若复数 z满足 i−= + 1 1 1 z ，则 =| | z A. 2 1 B. 2 2 C.1 D. 2 3.若双曲线 )0(1 1 : 2 2 2 2 = + − a a y a x C 与椭圆 1 6 2 2 =+ y x 有公共焦点，则双曲线 C的离心率为 A. 3 21 B . 2 1 0 C. 2 6 D. 2 5 4.已知单位向量 ba， 的夹角为 3 π ， 则 A . bba ⊥+ )2( B. bba ⊥+ )2( C. bba ⊥− )2( D. bba ⊥− )2( 5.已知数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ， 21 = a ，且 1)1(1 −+=+ nnnn SaSa ，则 =2025S A .1012 B .2024 C. 2 2025 D.2025 6.已知正四棱台的上、下底面边长分别为 2 、 2 2 ，体积为 3 28 ， 则该四棱台的外接球表面积为 A . 16 π65 B . 8 π65 C . 4 π65 D. 2 π6 5 7.记函数 ) 2 π ||00)(sin()( += φωAφxωAxf ，， 的导函数为 )(xf  ，且 8 π − 、 8 π 分 别为函数 )(xf 、 )(xf  的零点，若函数 )(xf 在 ) 2 π 3 π ( ， 上无极值，则ω的值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 数学（二） 第2页（共 4 页） 8.若函数 )ln(e)( xxaxxf x +−= 的极小值为 a2 ，则实数 a的值为 A.e B. e− C. e 1 D. e 1 − 二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分） 9.为了了解苗圃中树苗的生长情况，林业部门从一个苗圃中的 10 000 棵树苗中随机抽取了 y 棵，按 树苗的高度 X（cm）进行了分组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知高度在 )9080[ ， 内 的树苗有 10 棵，将样本频率当做概率，则以下结论正确的是 A. 2000020.0 == ya ， B.这 y 棵树苗高度的中位数的估计值为 114 C.在这 10 000 棵树苗中，高度在 100cm 以下的约有 2 000 棵 D.若采用按比例分层抽样的方法从这 y 棵树苗中抽取 40 棵，则高度在 )120110[ ， 内的有 5 棵 10.在平面直角坐标系 xOy中，与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为 ji、 ，点 )( 00 yxP ， 为曲线 C上任意一点，且满足 |||||| 2 ji += OPOPOP ，则 A.点 ) 2 1 1( ， 在曲线 C上 B. 2 21 || 0 + y C. 2 2 0 2 0 + yx D. 4|2| 00 −+ yx 11.已知定义在 R 上的函数 )(xf 的图象为一条连续的曲线，且满足：① )(xf 在 )0( ，− 上单调递 增；②对 R yx， ， 1)()()( −+=+ yfxfyxf ，则以下结论正确的是 A.当 0x 时， 1)( xf B.函数 1)()( −= xfxF 为奇函数 C. 1) 2 1 ( f D.若 )1( + ，，ba ，则 )1(2)(log)(log fafbf ba + 非选择题部分 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12.若 3 5 ) 6 π sin( =+α ，则 =+ ) 6 π5 2sin( α . 13.若直线 022 =+− yx 为曲线 xxf ax += +e)( 的一条切线，则实数 =a . 第 9 题图 数学（二） 第3页（共 4 页） 14.若一个等比数列 }{ na 有无穷多项，并且它的公比 q 满足 1|| q ，则称 }{ na 为无穷递缩等比数列. 研究发现：当 +→n 时，无穷递缩等比数列 }{ na 的前 n 项和 q a Sn −  1 1 （其中 1a 为首项， q 为公比）.右图为一个容器的轴截 面，该容器由 a，b，c 三个球形容器构成，其中球 a，c 各有 3 个 出口，球 b 有 4 个出口，且 a 与 b，b与 c有公共出口相连，一个 小球在容器内做无规律随机运动，当小球运动到容器外时，运动停 止.已知该小球的起始位置在球 a 内，则当运动停止时，小球位于 A出口外的概率约为 . 四、解答题（本大题共 5小题，共 77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13 分）在 ABC△ 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 AabbcBa coscos2 −= . （1）判断 ABC△ 的形状； （2）若 6 π =A ，BC边上的中线长为 2 21 ，求 ABC△ 的周长. 16.（15 分）如图，在四棱锥 ABCDP− 中， ⊥PD 底面 ABCD， //CD 平面PAB， 3=== DCDBDA ， 4== ABPD ，M，N 分别为棱 PB、DC 上的点，且 2=DN ，且 //MN 平面PAD . （1）求 PB PM 的值； （2）求平面 PMN 与平面 DMN 的夹角的余弦值. 17.（15 分）已知函数 )R( 2 1 )ln()( 2 +−= axxaxxf 的定义域为 )0( +， . （1）求 )(xf 的单调区间； （2）令 x xfxF 1 )()( += ，若对 ]11[21 +− bbxx ，， ，且 21 xx  ， − )ln 2 1 ( 1 2 1 xxF )ln 2 1 ( 2 2 2 xxF − 恒成立，求实数 b的取值范围. c b a A 第 14 题图 N M D C B A P 第 16 题图 数学（二） 第4页（共 4 页） （版权所有·侵权必究·请勿拍照上传网络） 18.（17 分）已知过点 )0( ，mG 的直线 l 交抛物线 xyC 2: 2 = 于 A，B 两点（点 A 在第一象限）， O为坐标原点，且 1−=OBOA . （1）求 m的值； （2）设点 )0( ，mD − ，记直线 DBDA， 的倾斜角分别为 βα， ，证明： π=+ βα ； （3） 2 1 ll ， 为过点 B的两条直线，且直线 1l 与 y轴的正半轴交于点M，直线 2l 与 y轴的负半轴交于 点 N，记点 G到直线 21 ll ， 的距离分别为 2 1 dd， ，若 12 1 = = dd ，求 BMN△ 面积的最小值. 19.（17 分）已知数表             = nnnnn n n aaaa aaaa aaaa nnA      ，，， ，，， ，，， ， 321 2232221 1 131211 )( )2( *  nn ，N ，记 ，， *( Njiaij )nji ， 为数表中第 i 行第 j 列的数，且 }101{ ，，−ija .设 iniii aaaS +++= 21 ， n jjjj aaaT ++ += 21 ，如果集合 }321|{ njiTxSxxD j i n ，，，，，或 ==== 中元素的个数为 n2 ，则称数表 )( nnA ， 为“n阶倍数表”. （1）写出 3 个满足 111 = a 的“2 阶倍数表”； （2）若 )( nnA ， 为“n 阶倍数表”，若整数 ][ nnk ，− ，且 nDk ，证明：  = −= n i iSk 1 2 ； （3）是否存在“5 阶倍数表”？若存在请举出例子；若不存在，请说明理由.