第一章 丰富的图形世界 分课时练习课件2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学六年级上册

该初中数学课件围绕“丰富的图形世界”，系统涵盖立体图形分类、旋转体形成、表面积与体积计算等核心知识点。通过生活实例如文物造型、折扇展开等导入，衔接小学图形认知，搭建从直观观察到抽象建模的学习支架，帮助学生逐步掌握空间图形知识。 其特色在于以核心素养为导向，通过跨学科案例（如《春》中“点动成线”）、实践操作（卷筒纸测量计算）等，培养学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维推导公式（如多面体欧拉公式），用数学语言解决实际问题。这不仅提升学生空间观念与应用意识，也为教师提供情境化教学资源，提高课堂效率。

2.2　展开与折叠 第1课时　正方体的展开与折叠 1．[2024·南川区期末]如图是4×3的正方形网格，选择一个空白小正方形涂成阴影，则这个新涂成的阴影，能与原正方形网格阴影部分组成正方体展开图的方法有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．[2024·达州]如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是( ) A．热 B．爱 C．中 D．国 3．[2024·宜宾]如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是( ) A．B点 B．C点 C．D点 D．E点 4．[2024·重庆期末]在正方体的六个面上，分别标上“我、的、愉、快、初、一”六个字，如图是正方体的三种不同摆法，则从左到右三种摆法的左侧面上三个字分别是( ) A．的、初、愉 B．初、的、愉 C．愉、初、一 D．的、初、一 5．[2024·柳州期末]小欣同学用纸(如图)折成了一个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中( ) 6．[2024·浑南区期末]一个小立方体木块的六个面分别标有字 母A，B，C，D，E，F，从三个不同的方向看到的情形如图所示， 则B的对面字母为__． D 7．[2024·登封期中]日常生活中，常用骰子做游戏决定随机结 果，如图1是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上， 按图2方式将两个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几 何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是___，最小是___． 36 20 8．把正方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数 不等的花，各面上的颜色与花朵数的情况如表： 现将大小相同的四个上述正方体拼成一个在同一平面上放置的长 方体，如图所示，那么长方体的下底面共有___朵花． 颜色 红 黄 蓝 白 紫 绿 花朵数 6 5 4 3 2 1 11 9．[2024·桥西区期中]如图1，一个不透明小立方体的六个面 上分别标有数字1，2，3，4，5，6. (1)若其展开图如图2所示，则与数字“1”相对的面上的数字 是 ，与数字“2”相对的面上的数字是 ， 与数字“3”相对的面上的数字是 ； (2)将三个同样的小立方体搭成图3所示的几何体，请确定该几 何体能看得到的面上数字之和最小为多少？ 解：(1)4，6，5； (2)要使图3中的几何体能看得到的面上数字之和最小，最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1，4，2，3， 左上的那个正方体所能看到的5个面的数字为1，2，3，4，5， 左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1，4，2， 所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为10＋15＋7＝32. 10．[2024·惠来县期中改编]在正方体的八个顶点处各写一个数，使每个顶点处的数等于与这个顶点连接的三条棱上另外三个顶点处的数之和．例如，图1中，与点A连接的三条棱上的另外三个顶点处，分别写有1，2，3，那么点A处的数等于1＋2＋3＝6.请根据这个规则，解答问题： (1)如图2，若点A，C，E处分别写2，5，0，则点F处的数等 于 ； (2)如图2，若点A，B，C处分别写3，7，4，求点D处的数； (3)如图2，顶点D，F处的数之间具有什么数量关系？请直接写 出答案． 解：(1)因为点A，C，E处分别写2，5，0， 所以点F处的数为2＋5＋0＝7， 故答案为：7； (2)因为点A，B，C处分别写3，7，4， 所以点D处的数为7－3－4＝0； (3)顶点D，F处的数相加和为0， 理由：如图： 设点A，B，C，D，E，F，G，H处分别写的数为a，b，c，d，e， f，g，h， 由题意，得d＝b＋h＋g①， b＝a＋d＋c②， h＝a＋e＋d③， g＝c＋d＋e④， f＝e＋a＋c⑤， 把②③④代入①，得d＝a＋d＋c＋a＋e＋d＋c＋d＋e， 所以d＝2a＋3d＋2e＋2c， 所以2a＋2d＋2e＋2c＝0， 所以a＋d＋e＋c＝0， 所以d＋f＝0， 所以顶点D，F处的数相加和为0. 11．[2024·连州期中]某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是 字； (3)如图3，有一张边长为40 cm的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为5 cm. ①四角应各剪去边长为 cm的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积； (4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为12 cm的正方形纸板四角剪去两个边长为2 cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 解：(1)C；　(2)卫；　(3)①5； ②当小正方形的边长为5 cm时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为40－5×2＝30(cm)的正方形，高是5 cm， 所以容积为30×30×5＝4 500(cm3)； (4)由裁剪、折叠可知，所折叠的长方体的宽为eq \f(12－2－2,2)＝4(cm)，高为2 cm，长为12－2－2＝8(cm)， 所以长方体的体积为4×2×8＝64(cm3)， 答：这个长方体纸盒的体积为64 cm3. $$第一章综合测试卷 一、选择题(共10小题，共30分) 1．某班玩一种游戏，同学们需按墙上的空洞造 型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入 水池．类似地，一个几何体恰好能无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的个空洞，则该几何体为( ) 2．如图，已知BC是圆柱的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得圆柱的侧面展开图形是( ) 3．下列物体中，从三个方向看到的都是圆的是( ) 4．某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是( ) A．圆柱　 B．圆锥　 C．三棱柱　 D．四棱柱 5．如图，一圆柱形油桶中装有半桶油，现将油桶由直立状态放倒成水平放置状态，在整个过程中，油桶中油面的形状不可能是( ) 6．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是( ) A．强 B．富 C．美 D．丽 7．如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方体②的正上方，下列关于移动后的几何体从三个方向看到的形状图，说法正确的是( ) A．从左面看到的形状图发生改变 B．从上面看到的形状图发生改变 C．从正面看到的形状图发生改变 D．从三个方向看到的形状图都发生改变 8．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的图形，则该几何体的体积为( ) A．236π　 B．136π C．132π　 D．120π 9．由若干个相同的小立方体搭成的几何体，从三个方向看到的 形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是( ) A．3　 B．4 C．5　 D．6 10．如图1，将正方体骰子放置于水平桌面上(相对面上的点数 分别为1和6，2和5，3和4)，在图2中，将骰子向右旋转90°， 然后在桌面上按顺时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰 子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2 023 次变换后，骰子朝上一面的点数是( ) A．6　 B．5 C．3　 D．1 解析：根据题意，得连续3次变换是一个循环， 因为2 023÷3＝674……1， 所以第2 023次变换与第1次变换相同． 所以连续完成2 023次变换后，骰子朝上一面的点数是5. 二、填空题(共6小题，共18分) 11．将一枚硬币在桌面上快速旋转，可看到一个球，这种现象 说___________． 12．如图，将七个小正方形中的一个去掉，就能成为一个正方 体的展开图，则去掉的小正方形的序号是_____． 明面动成体 6或7 13．有一个正方体木块，它的六个面分别写着1～6六个数字，如 图是这个正方体木块从不同方向观察到的数字情况，则数字2所 在面的相对面上的数字是__． 6 14．一张长为40，宽为20的长方形纸片，以它的一边长作为底面 的周长，围成一个底面是正方形的四棱柱的侧面，则这个棱柱的 体积是_____________． 2 000或1 000 15．如图，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，变 成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，则m ＋n＝___． 19 16．圆柱的侧面展开图是一个相邻的两边长分别为4，2π的长 方形，则圆柱体的体积为_______． 4π或8 三、解答题(共7小题，共72分) 17．(8分)如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)若图中的正方形边长为2 cm，长方形的长为3 cm， 宽为2 cm，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的 体积： cm3. 解：(1)拼图存在问题，如图． (2)折叠而成的长方体的体积为3×2×2＝12(cm3)， 故答案为：12. 18．(8分)一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图． 解：根据从不同方向看到的形状图画图．如图所示： 19．(10分)探究：有一长9 cm，宽6 cm的长方形纸板如图1，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图2； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图3. (1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱体积大； (2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？ 解：(1)方案一：π×4.52×6＝121.5π(cm3)， 方案二：π×32×9＝81π(cm3)， 因为121.5π>81π， 所以方案一构造的圆柱的体积大； (2)以较短一条边所在的直线为轴旋转360°，其体积为π×92×6＝486π(cm3)， 以较长一条边所在的直线为轴旋转360°，其体积为π×62×9＝324π(cm3)． 20．(10分)如图，在平整的地面上，用多个棱长都为1的小正方体堆成一个几何体． (1)该几何体中共有 个小正方体； (2)请在图2中画出这个几何体从三个方向看到的形状图； (3)如果现在你还有一些棱长为1的小正方体，要求保持从上面和从正面看到的形状图都不变，最多可以再添加 个小正方体． 解：(1)10； (2)如图． (3)1. 21．(10分)(1)如图1，某同学的茶杯是圆柱形，它的底面周长为20，高为12，有一只蚂蚁从杯子外壁的A处沿侧面爬行到高CD的中点B处，请在图2画出这个圆柱的侧面展开图，并画出蚂蚁爬行的最短路线；(图2为正方形网格，每个小正方形边长为2) (2)如图3是一个圆锥形状的摆件，其侧面展开图为一个半圆(如图4)，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到线段CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请在图4中画出最短路线的示意图． 解：(1)侧面展开图如图2，线段AB即为最短路径； (2)如图4，CD垂直于AC，B为CD中点，线段AB即为最短路径． 22．(12分)如图1，2，3是将正方体截去一部分后得到的几何体． (1)根据要求填写表格： 面数f 顶点数v 棱数e 图1 图2 图3 (2)猜想f，v，e三个数量间有何关系； (3)根据(2)中的猜想计算，若一个几何体有2 024个顶点， 3 036条棱，试求出它的面数． 解：(1)7，9，14；6，8，12；7，10，15；　 (2)f＋v－e＝2； (3)因为v＝2 024，e＝3 036，f＋v－e＝2， 所以f＋2 024－3 036＝2，所以f＝1 014，即它的面数是1 014. 23．(14分)[2024·福建]在手工制作课上，老师提供了 如图1所示的长方形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一 个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪(其 中AE＝FB)，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． (3) 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格(单位：cm) 30×40 20×80 80×80 单价(单位：元) 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图(图2)为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10 cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸(包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数)，并在卡纸上画出设计示意图(包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况)，给出所用卡纸的总费用． (要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分) (3) 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 需卡纸的数量(单位：张) 1 3 2 所用卡纸总费用(单位：元) 58 由题意得卡纸每格的边长为5 cm，则要制作一个边长为10 cm的正方体的展开图形为 所以型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图2： 型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图3： 型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图4： 所以可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张， 则 10×2＋2×3＋1×1＝27(个)， 所以所用卡纸总费用为 20×2＋5×3＋3×1＝58(元)． (1)直接写出eq \f(AD,AB)的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是(　　) 解：(1)令AE＝FB＝a，EF＝b， 则AD＝4a＋2b，AB＝2a＋b， 所以eq \f(AD,AB)的值为2； (2)C； $$专题训练一　图形的展开与折叠 类型一 一般几何体的展开与折叠 1．[2024·长寿区期末]某个几何体的展开图如图所示，这个几何体是( ) 2．[2024·南京期末]如图所示是一个几何体的表面展开图，则 这个几何体的名称为_______． 三棱锥 3．[2024·高陵区期中]如图是三种几何体的表面展开图，则这 三种几何体由左到右分别是___________________． 圆锥、圆柱、三棱柱 类型二 一般几何体的展开与折叠的计算 4．[2025·常州期末]正三棱柱(底面为正三角形)的展开图如图 所示，则该正三棱柱的侧面积为____．(用含a，b的式子表示) 3ab 5．[2024·漳州期中]如图，是一个长方体的表面展开图，那么： (1)该几何体与N重合的点是 ； (2)若AB＝AF＝3 cm，AH＝5 cm，则该长方体的表面积和体积分 别是多少？ 解：(1)H点和J点； (2)S＝2×(3×3＋3×5＋3×5)＝78(cm2)， V＝3×3×5＝45(cm3)， 答：该长方体的表面积是78 cm2，体积是45 cm3. 6．[2023·扶风县期中]如图所示的是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是 ； (2)根据图中所给信息，求该几何体的体积(结果保留π)． 类型三 正方体的展开与折叠 7．[2024·合川期末]图1是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图2的正方体，一只蜗牛从A点沿该正方体的棱爬行到B点的最短距离为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 8．[2024·方城县期末]下列图形中，不能作为一个正方体的展开图的是( ) 9．[2024·铁西区期中]如图是4×3的正方形网格，选择其中一个空白的小正方形标上序号，使标上序号的这个空白小正方形能与阴影部分组成正方体的展开图．(要求：标出两种情况，分别用序号①，②表示) 解：如图所示： 选择标有①或②的位置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图． 类型四 确定正方体展开图的相对面 10．[2024·新洲区期末]如图是一个正方体的平面展开图，若折成正方体后，每对相对面上标注的值的和均相等，则m＋n等于( ) A．7 B．9 C．11 D．13 11．[2024·金水区期末]“中国航天精神”是推动中国航天事业发展的重要精神力量，其核心内涵可以概括为“特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”．为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．将“中国航天精神”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，若“中”的对面是“精”，下列是它的平面展开图的是( ) 类型五 利用几何体展开图解决实际问题 12．[2023·霸州期末]活动课上，学生们设计制作正方体包装盒， 老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为4 cm，宽为3 cm，可 以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设 计如图所示． (1)其中剪下后不能折成正方体的设计有 (填“小张” “小李”或“小王”)； (2)有一张宽为3 cm，长为a cm(a为整数)的长方形网格纸，按 照如下方式设计制作正方体包装盒，涂色的部分能够折成正方体， 若a×3的网格中没有被涂色的部分占到5%，则a的值为 ． 解：(1)小张； (2)由题意得5%×3a＝6， 解得a＝40. 故答案为：40. 13．[2024·吉州区期中]问题情景：某综合实践小组开展了“长 方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ；(填 序号) (2)综合实践小组利用边长为30 cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子(图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒)． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为5 cm的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为 cm2； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四 角剪去两个同样大小边长为5 cm的小正方形和两个同样大小的小 长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为 cm3； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 倍； (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，将它的表面沿某些棱剪开，展开一个平面图形，求该长方体表面展开图的最大外围周长为 cm. 解：(1)①③④； (2)①400；②1 000；③2； (3)如图所示， 所以该长方体表面展开图的最大外围周长为6×8＋4×4＋3×2＝70(cm)． 故答案为：70. 解：(1)圆柱； (2)该几何体的体积为π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2))) eq \s\up12(2)×6＝24π. $$2.3　截一个几何体 1．[2024·成都期末]图中几何体的截面形状为( ) 2．[2024·法库县期末]用四个平面分别截一个几何体，所得的截面如图所示，由此猜想这个几何体可能是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．球 3．[2024·罗湖区期末]用一个平面去截以下几何体，截面的形状不可能是长方形的是( ) 4．[2024·福田区期末]李老师用一个透明水杯(如图所示)泡了一杯茶，他在喝了一部分后，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是( ) 5．[2024·济南期末]如图是一个正方体，用一个平面去截这个正方体截面形状不可能为( ) 6．[2024·莱芜区期末]下列几何体：①正方体 ②圆锥　③六 棱柱　④球．在这些几何体中截面可能是圆的有_____．(填序号) 7．[2024·鄄城县期中]如图所示，过长方体的一个顶点，截掉 长方体的一个角，则剩余部分的顶点有__个． ②④ 9 8．[2024·莲湖区期中]一个圆柱体的高为6 cm，底面半径为 2 cm.若其截面是长方形，则这个长方形面积最大为___ cm2. 24 9．[2024·肇源县期中]如图，把底面周长为18.84 cm、高为 10 cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．长方体的 长是_____cm，体积是______cm3.(π取3.14) 9.42 282.6 10．如图所示三棱柱，高为5 cm，底面是一个边长为3 cm的等 边三角形． (1)该三棱柱有 条棱，有 个面； (2)用一个平面去截该三棱柱，截面形状不可能 是 (填序号)； ①三角形　②长方形　③五边形　④六边形　⑤圆形 (3)该三棱柱的所有侧面的面积之和是 cm2. 解：(1)9，5； (2)④⑤； (3)该三棱柱的所有侧面的面积之和为3×5×3＝45(cm2)， 故答案为：45. 11．[2024·米脂县期中]已知一个正方体的体积是985 cm3，现在要在它上底面的4个角上分别截去4个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是729 cm3，问所截每个小正方体的棱长是多少？ 解：设每个小正方体的棱长为x cm， 根据题意，得4x3＝985－729， 解得x＝4， 故每个小正方体的棱长是4 cm. 12．[2024·招远期中]我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱． (1)请写出截面的形状； (2)请直接写出四边形DECB的周长． 13．将一个长方体展开后如图所示，已知E，B两个面的面积之和是36 cm2，且F面是一个长为5 cm，宽为2 cm的长方形． (1)求这个长方体的表面积； (2)若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？(写出两个即可) 解：(1)因为E，B两个面的面积之和是36 cm2， 所以C，D两个面的面积之和也是36 cm2， 又因为A的面积＝F的面积＝5×2＝10(cm2)， 所以这个长方体的表面积为36＋36＋10×2＝92(cm2)； (2)三角形，长方形(答案不唯一)． 14．[2024·青浦区期末]如图是一块长为35 cm的长方体木块，点M把棱AB分成2∶3的两段，过点M按平行于平面ADHE的方向把长方体切成两块后，表面积增加了800 cm2，问：这两块长方体的体积分别是多少立方厘米？ 解：因为点M把棱AB分成2∶3的两段，所以AM＝35× ＝14(厘 米)， BM＝35－14＝21(厘米)， 800÷2＝400(平方厘米)， 400×14＝5 600(立方厘米)， 400×21＝8 400(立方厘米)， 答：这两块长方体的体积分别是5 600立方厘米、8 400立方厘米． 15．[2024·南京期末]如图1，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体． (1)设原大正方体的表面积为S，图2中几何体的表面积为S1，那么S1与S的大小关系是 ； A．S1＞S　　　　 B．S1＝S　　　　 C．S1＜S　　　　　 D．无法确定 (2)小明说：“设图1中大正方体各棱的长度之和为l，图2中几何体各棱的长度之和为l1，那么l1比l正好多出大正方体3条棱的长度．”你认为这句话对吗？为什么？ (3)如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图3是图2中几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正． 解：(1)B； (2)错误．设大正方体棱长为y，小正方体棱长为x，那么l1－l＝6x. 只有当6x＝3y即2x＝y时，才有l1比l正好多出大正方体3条棱的长度，所以小明的话是不对的； (3)不是；如图所示： 解：(1)长方形； (2)因为三角形ADE是周长为3的等边三角形， 所以DE＝AD＝AE＝1， 又因为三角形ABC是周长为10的等边三角形， 所以AB＝AC＝BC＝eq \f(10,3)， 所以DB＝EC＝eq \f(10,3)－1＝eq \f(7,3)， 所以四边形DECB的周长＝1＋eq \f(7,3)×2＋eq \f(10,3)＝9. eq \f(2,5) $$第一章　丰富的图形世界 1　生活中的立体图形 1．[2024·深圳期末改编]用数学的眼光观察我们身边的物体，下列不可以抽象为棱柱的是( ) 2．[2025·深圳期末]宋代龙泉窑烧制的龙泉窑青釉盘 口瓶，现收藏于故宫博物院．这件文物造型秀美，釉 色纯净，代表古代青釉烧制的极高水平．如图，这件 文物的表面可以大致看成由下列哪个平面图形绕虚线旋转一周得到( ) 3．[2024·大庆期末]如图，已知长方形的长为a、宽为b(其中a＞b)， 将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、 乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为( ) A．甲、乙的侧面积相同，体积不同 B．甲、乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲、乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲、乙的侧面积不相同，体积也不相同 4．已知一个直棱柱共有12条棱，它的底面边长都是3 cm，侧棱长都是6 cm，则它的侧面积是( ) A．108 cm2 B．96 cm2 C．72 cm2 D．18 cm2 5.[跨学科•语文][2024·饶平县期末]在朱自清的《春》中有描写春雨的语句“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”，这里把雨滴看成了点，用数学知识解释这一现象( ) A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 6．有7个面的棱柱有___个顶点，有___条棱． 7．[2024·菏泽期中]国扇文化有深厚的文化底蕴，历来中国有 “制扇王国”之称．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇 面，这种现象可以用数学原理解释为_________． 10 15 线动成面 8．[2024·靖江期中]小滨正对相同的长方体快递盒进行包装， 如图1单个盒子的表面积为22 dm2，如图2三个盒子叠一起的表 面积为42 dm2，则如图3四个盒子叠一起的表面积是______． 68 dm2 9．将下图中的立体图形分类． 柱体___________；锥体_____；球体___． ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 10．[2024·城关区期中]如图，小军和小红分别以直角梯形的 上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到甲、乙两个立体图形． (1)小红得到的立体图形可以看成是由 和 构 成的，这个现象用数学知识解释为 ； (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 11．[2024·高陵区期中]观察如图所示的直四棱柱，并回答问题． (1)它有几个面？底面与侧面分别是什么图形？ (2)若底面的周长为20 cm，侧棱长为8 cm，则它的侧面积为多少？ 解：(1)有6个面，底面为四边形，侧面为长方形； (2)20×8＝160(cm2)， 答：直四棱柱的侧面积是160 cm2. 12．[2024·紫金县期中]如图，观察下列几何体并回答问题： (1)n棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，n棱锥有 个面、 条棱、 个顶点； (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人归纳总结发现，多面体的面数F、顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 解：(1)(n＋2)，3n，2n，(n＋1)，2n，(n＋1)； (2)V＋F－E＝2. 13．[2024·高州期末]综合与实践 【主题】卷筒纸的设计与测量． 【素材】某品牌卷筒纸，直尺． 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如图所示； 步骤2：把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02厘米． 【实践探索】 (1)制作这个中间的硬纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？(结果保留π) (2)根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度．(π的值取3.14) 解：(1)已知中间空心硬纸轴的直径d＝4厘米，卷筒纸的高度h＝10厘米，即硬纸轴的高为10厘米， 所以S＝π×4×10＝40π(平方厘米)， 所以制作硬纸轴至少需要40π平方厘米的硬纸板； 解：(1)圆柱，圆锥，面动成体； (2)小红的说法正确． 理由：甲的体积：π×32×6－eq \f(1,3)π×32×(6－3)＝54π－9π ＝45π(cm3)， 乙的体积：π×32×3＋eq \f(1,3)π×32×(6－3)＝27π＋9π＝36π(cm3)， 所以小红的说法正确． (2)①计算纸的体积：卷筒纸的半径R＝eq \f(12,2)＝6厘米，空心硬纸轴的半径r＝eq \f(4,2)＝2厘米，卷筒纸的高度h＝10厘米． 则纸的体积为V＝3.14×10×(62－22) ＝3.14×10×(36－4) ＝3.14×10×32 ＝1 004.8(立方厘米)； ②计算展开后纸的横截面积：已知每层纸巾厚度a＝0.02厘米，卷筒纸的高度h＝10厘米， 则展开后纸的横截面积S横＝10×0.02＝0.2平方厘米； ③计算展开后纸的总长度：因为V＝1 004.8立方厘米， S横＝0.2 平方厘米， 所以展开后纸的长度为 L＝eq \f(1 004.8,0.2)＝5 024(厘米)． 答：估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度为5 024厘米. $$第2课时　常见几何体的展开与折叠 1．[2024·三水区期末]下列图形是四个几何体的展开图，其中是四棱柱展开图的是( ) 2．[2024·宝安区期末]用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中AB＝2厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是( ) A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 3．[2024·德阳]走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的 历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于 除夕、元宵、中秋等节日．在一次综合实践活动中，一同学用如 图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形 做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好 看到“吉祥如意”的字样，则在A，B，C处依次 写上的字可以是( ) A．吉　如　意 B．意　吉　如 C．吉　意　如 D．意　如　吉 4．[2024·法库县期末]一个半径为3 cm，高为5 cm的圆柱，将 它的侧面沿虚线剪开(如图)，剪开后得到一个平行四边形，这个 平行四边形的面积是________． 30π cm2 5．[2024·公主岭期末]如图是一个用硬纸板制作的长方体包装 盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12 cm，则底面正 方形的边长是__ cm. 5 6．[2024·达日县期末]阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习“展开与折叠”内容时，老师让同学们用若干个正方形 和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉 得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把 图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)长方体共有 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开 展成(1)中修正后的平面图形，需要剪开 条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体 的体积． 解：(1)有多余块， (2)12，7； (3)底面正方形边长：12÷4＝3(cm)， 长方体高：17－3×3＝8(cm)， 长方体体积：3×3×8＝72(cm3)， 答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为72 cm3. 7．[2024·邗江区期末]如图1，该三棱柱的高为h cm，底面是 一个每条边长都为x cm的三角形． (1)这个三棱柱有 _个面，有 _条棱； (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充 完整． (3)当h＝9 cm，x＝5 cm，这个三棱柱 的侧面积是多少？ 解：(1)5，9； (2)三棱柱的展开图为(答案不唯一)： (3)侧面积为9×5×3＝135(cm2)． 8．[2024·惠来县期中]如图是一个长方体的外表面展开图(由6个长方形组成)，请解答下列问题． (1)如果A面在长方体的底部，那么 面在上面； (2)如果F面在长方体的前面，B面在左面，那么 面在上面； (3)如果长方形A的短边为1 dm，长方形B的长 边为3 dm，长方形D的短边为2 dm.求出这个 长方体的体积V. 解：(1)F； (2)C； (3)因为长方体的长为3 dm，宽为2 dm，高为1 dm， V＝3×2×1＝6(dm3)， 答：长方体的体积为6 dm3. 9．[2024·碑林区期中]一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示． (1)折叠后与长方体的顶点A重合的点是 ； (2)如图，EB＝10，FM＝14，NM＝16，求这个长方体包装盒的体积． 解：(1)J； (2)因为CM＝FM－EB＝4， 所以CM＝FD＝EA＝BK＝4， 则AB＝JB＝EB－EA＝6， 因为NM＝16， 所以BC＝MK＝MN－NK＝MN－JB＝10， 则长方体包装盒的体积为BC×AB×CM＝10×6×4＝240. 答：长方体包装盒的体积为240. 10．[2024·九台区期末]小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了 条棱； (2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他可以粘贴到①中的 种不同位置； (3)小明说：已知这个长方体纸盒高为20 cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880 cm，求这个长方体纸盒的体积及表面积． 解：(1)8； (2)如图，粘贴的位置有四种情况， 故答案为：4； (3)因为长方体纸盒的底面是一个正方形， 所以可设底面边长为a cm， 因为长方体纸盒所有棱长的和是880 cm，长方体纸盒高为20 cm， 所以4×20＋8a＝880， 解得a＝100， 所以这个长方体纸盒的体积为20×100×100＝200 000(cm3)． 这个长方体纸盒的表面积为100×100×2＋20×100×4 ＝28 000(cm2). $$☆ 问题解决策略：分类讨论 1．[2024·即墨区期末]一个几何体由一些大小相同的小正方体 搭成，从正面和左面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成 该几何体的小正方体的个数可能是__________________________ __________． 4(大于等于4，小于等于10的 整数均可) 2．[2024·福田区期末]在图中有编号的位置选择一个正方形， 使它与图中5个有阴影的小正方形一起，能折叠成一个正方体， 则可以选择的编号是_________．(填序号) ①②③⑤ 3．一个长方形的两边分别是2 cm，3 cm，将这个长方形绕一边所在直线旋转一周后是一个什么几何体？请求出这个几何体的底面积和侧面积． 解：圆柱； 当2 cm是底面半径时， 圆柱的底面积是πr2＝π×22＝4π(cm2)， 圆柱的侧面积是2πrh＝2π×2×3＝12π(cm2)； 当3 cm是底面半径时， 圆柱的底面积是πr2＝32×π＝9π(cm2)， 圆柱的侧面积是2πrh＝2π×3×2＝12π(cm2)． 4．[2025·唐山期中节选]如图，已知线段MN，在MN上逐一画点．数一数，各图中各有几条线段？当线段上有(n＋1)个不相同的点时，共有多少条线段？ 解：①线段MN上有1个点，共有线段2＋1＝3条； ②线段MN上有2个点，共有线段3＋2＋1＝6条； ③线段MN上有3个点，共有线段4＋3＋2＋1＝10条； 当线段MN上有(n＋1)个点时，共有线段(n＋2)＋(n＋1)＋…＋ 2＋1＝ (n＋2)(n＋3)条． 5．用一个平面截一个正方体，得到一个长方形的截面，且把正方体分为两部分．问：这两部分各由几个面围成？ 解：如图， ①一部分有7个面，一部分有5个面； ②一部分有6个面，一部分有5个面； ③两部分都有6个面； ④两部分都有5个面． 6．(1)根据图示规律填表： 图形 编号 1×1 的正方 形个数 2×2 的正方 形个数 3×3 的正方 形个数 4×4 的正方 形个数 ① ② ③ ④ (2)猜想：第n个图形共有多少个正方形？ 解：(1)如表所示： (2)第n个图形共有正方形[n2＋(n－1)2＋…＋32＋22＋1]个． 图形 编号 1×1的 正方形 个数 2×2的 正方形 个数 3×3的 正方形 个数 4×4的 正方形 个数 ① 1 0 0 0 ② 4 1 0 0 ③ 9 4 1 0 ④ 16 9 4 1 7．(1)图1是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大、小正方体一共有多少个？ 为了正确数出大、小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．由图可知，棱长是1的正方体有4×4×4＝43个，棱长是2的正方体有3×3×3＝33个，棱长是3的正方体有2×2×2＝23个，棱长是4的 正方体有1×1×1＝13个，所以图1中大、小正方体一 共有 个； (2)图2是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，则图中大、小正方体一共有多少个？ (3)如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大、小正方体一共有225个，那么棱长为1的小正方体一共有多少个？ 解：(1)由题意可得大、小正方体的个数＝13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2＝100， 故答案为：100； (2)棱长是1的正方体有6×6×6＝63(个)， 棱长是2的正方体有5×5×5＝53(个)， 棱长是3的正方体有4×4×4＝43(个)， 棱长是4的正方体有3×3×3＝33(个)， 棱长是5的正方体有2×2×2＝23(个)， 棱长是6的正方体有1×1×1＝13(个)， 所以大、小正方体的个数＝13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝441(个)； (3)因为225＝152＝(1＋2＋3＋…＋n)2， 即1＋2＋3＋…＋n＝15， 解得n＝5， 所以棱长为1的小正方体个数＝5×5×5＝125(个)． eq \f(1,2) $$2　从立体图形到平面图形 2.1　从三个方向看物体的形状 1．[2024·厦门期末]如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图为( ) 2．[2024·成都期末]如图，分别从前面、左面、上面观察下列几何体，得到的平面图形相同的是( ) 3．[2024·嵩县期末]桌子上重叠摆放了若干枚面值为1元的硬币，从三个不同方向看它得到的三个平面图形如图所示，则桌上共有1元硬币的数量为( ) A．12枚 B．11枚 C．9枚 D．7枚 4．[2024·双城区期末]用6个相同的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图，图形中的数表示在这个位置上所用的小正方体的个数，那么从前面看到的图形是( ) 5．如图所示的几何体是由5个小正方体摆放而成的，如果每个小 正方体的棱长为1，则这个几何体的从左面看到的形状图的面积 是__． 3 6．写出一个从三个不同方向看得到的图形都一样的几何体_____ _______________． 7．[2024·万源期中]如图是由10个大小相同的小立方块搭成的 几何体，在保持从正面看和从左面看得到的平面图形不变的情况 下，最多可以拿掉__个小立方块． 正方 体(答案不唯一) 1 8．[2024·郫都区期中]如图，是一个几何体的从三个不同方向 看到的形状图，根据图中数据求出它的体积是___ cm3. 96 9．[2024·成都期末]一个几何体由若干个大小相同的小立方块 搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图分别如图所示． 根据所给的两个形状图判断搭成的该几何体，最多需要a个小立 方块，最少需要b个小立方块，那么a＋b＝___． 16 解析：如图，a＝1＋1＋1＋2＋2＋2＝9， b＝1＋1＋1＋1＋1＋2＝7， 因此a＋b＝9＋7＝16. 10．[2024·衡水期末]如图，在平整的地面上，用10个棱长都为2 cm的小正方体堆成一个几何体． (1)求这个几何体的表面积； (2)如果现在你还有一些棱长都为2 cm的小正方体，要求保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图都不变，最多可以再添加 个小正方体． 解：(1)从正面看到的形状图的面积为2×2×7＝28(cm2)， 从左面看到的形状图的面积为2×2×5＝20(cm2)， 从上面看到的形状图的面积为2×2×7＝28(cm2)， 所以这个几何体的表面积为(28＋20＋28)×2＋2×2×4 ＝168(cm2)； (2)5. 11．[2024·任城区期中]用若干个大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从左面和上面看到的形状图如图所示，其中从上面看到的小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数． (1)在从上面看到的形状图中补充填写对应位置小正方体的个数，这个几何体共有 个小正方体； (2)请在网格中画出从正面看到的形状图． 解：(1)如图1. 所以这个几何体共有1＋2＋1＋3＋2＋1＝10(个)小正方体． 故答案为：10； (2)从正面看到的图形如图2. 12．[2024·清流县期中]【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是16 cm，6 cm， 2 cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的 表面积最小？ 【实践操作】我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的 大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会 发生变化．经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示． 【探究结论】 (1)请计算图2，图3，图4中的大长方体的长、宽、高及其表面积，填 写表格． 根据表格可知，表面积最小的是 所示的长方体；(填“图1” “图2”或“图3”) 长(cm) 宽(cm) 高(cm) 表面积(cm2) 图2 16 6 _______ _______ 图3 _______ 6 2 _______ 图4 16 _______ 2 _______ 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高分别是5 cm，4 cm，3 cm.若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为 cm2； 【实践应用】 (3)元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图5是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打包成一个包裹寄给小张．请你帮商家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米？(接头处忽略不计) 解：(1)图2中，长方体的高为4，表面积为2×(16×6＋16×4＋ 4×6)＝368(cm2)． 图3中，长为32，表面积为2×(32×6＋32×2＋6×2)＝536(cm2)． 图4中，宽为12，表面积为2×(16×12＋16×2＋12×2) ＝496(cm2)． 补全表格如表： 故答案为：图2； 长(cm) 宽(cm) 高(cm) 表面积(cm2) 图2 16 6 4 368 图3 32 6 2 536 图4 16 12 2 496 (2)最小面积为2×(5×6＋5×8＋6×8)＝236(cm2)． 故答案为：236； (3)根据从三个不同方向看到的形状图可知有4个长方体礼盒． 每个长方体礼盒的长、宽、高分别为75 cm，35 cm，15 cm. 这要使包装的纸最少，应该把每个长方体最大的面重合在一起，即把75×35的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为15×4＝60(厘米)， (75×35＋75×60＋60×35)×2＝18 450. 答：最少需要18 450平方厘米包装纸． $$第一章　章末能力突破 考点一 常见几何体的展开与折叠 1．[2024·海珠区期末]如图，正方体的三个侧面 分别画有不同图案，它的平面展开图可以是( ) 2．[2024·济南期末]下列不是三棱柱展开图的是( ) 3．请你在横线上写出哪种立体图形能展开成如图的图形． 4．如图，正方体中每个面印有不同数字，在外表面展开图中a， b，c，d的值可以等于3的是__． b 5．[2024·莱西期中]将正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一 个平面图形． (1)下列是正方体表面展开图的是 (填序号)； (2)如图，将正方体的表面沿图中用粗线标记的棱剪开，请画出 它的表面展开图． 解：(1)①②③； (2)如图所示(翻转也正确)： 6．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)如图1所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6.若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则四个图形中，可能是该长方体表面展开图的有 ； (2)图2中的图Ⅰ、图Ⅱ分别是第(1)题中长方体的一种表面展开图，已知图Ⅰ的外围周长为52，求图Ⅱ的外围周长； (3)第(1)题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？并求它的外围周长． 解：(1)①②③； (2)图Ⅱ的外围周长＝(6＋4＋3＋4)×2＋(3＋6＋3)×2＝58； (3)如图，外围周长为6×8＋4×4＋3×2＝48＋16＋6＝70. 考点二 从不同的方向看物体的形状 7．[2024·深圳期末]由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是( ) 8．[2024·成都期末]一个几何体由若干大小相同的小立方块搭 成，如图分别是从正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何 体的小立方块最多有___个． 10 9．[2024·利津县期中]如图是从一个三棱柱三个方向看到的 形状图，从上面看到的形状图为等边三角形，则其侧面积 为______． 18 cm2 10．[2024·淄博期末]一个几何体由若干个棱长为1 cm的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数． (1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图； (2)求该几何体的表面积(包括底面)． 解：(1)如图所示，即为所求； (2)(6＋6＋10＋10＋7＋7＋4)×1×1＝50(cm2)， 所以这个几何体的表面积为50 cm2. 考点三 截一个几何体 11．[2024·南明区期末]用一个平面去截如图所示的正方体，截面不可能是( ) 12．[2024·天桥区期末]将如图所示的长方体用过ABCD的平面 切割，得到的两个几何体是_______． 三棱柱 13．[2024·高青县期中]如图，把一个长方体平均切成若干个小 正方体，除底面外，在大长方体的其他面全部涂上颜色．两面涂 色的小正方体有a个，一面涂色的小正方体有b个，则a－b＝__． 0 解析：如图1，两面涂色的小正方 体除图中标注的外，左面和后面相 交处还有2个， 所以两面涂色的小正方体有14个． 如图2，只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， 所以一面涂色的小正方体有4＋4＋2＋2＋2＝14(个)． 所以a＝14，b＝14， 所以a－b＝14－14＝0. 14．[2023·中牟县期中](1)把图中各几何体的截面形状填在横线上； 图1的截面形状是 ；图2的截面形状是 ；图3的截面形状是 ；图4的截面形状是 ；图5的截面形状是 ，图6的截面形状是 ； (2)结合图中图5、图6，想一想，如果用一个平面截一个正方体，截面的形状还可能是几边形？ 解：(1)圆，长方形，三角形，圆，长方形，三角形； (2)如果用一个平面截一个正方体，截面的形状还可能是五边 形，六边形． 考点四 几何体的有关计算 15．[2023·金沙县期中]在长方形ABCD中，BC＝2 cm，CD＝3 cm. 现将这个长方形绕其中一边所在的直线旋转一周，请解决以下问题： (1)旋转后形成的几何体是 ； (2)如果用一个平面去截旋转后形成的几何体，那么截面可能是什么 形状？(写出2种即可) (3)如果绕CD边所在的直线旋转一周，求形成的几何体的体积．(结果 保留π) 解：(1)圆柱； (2)圆，长方形(答案不唯一)； (3)绕CD所在的直线旋转一周得到的圆柱的底面半径为2 cm、高 为3 cm， 圆柱的体积为π×22×3＝12π(cm3)． 答：绕CD边所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是12π cm3. 16．如图，在棱长分别为2 cm，3 cm，4 cm的长方体中截掉一个 棱长为1 cm的正方体，求剩余几何体的表面积． 解：(2×3＋2×4＋3×4)×2 ＝(6＋8＋12)×2＝26×2＝52(cm2)， 答：剩余几何体的表面积为52 cm2. 考点五 综合实践 17．[2024·雁塔区期中]如图2是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为1 cm. (1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形； (2)如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添 个小正方体． 解：(1)如图所示： (2)7. 易错点 对于图形理解有误造成答案错误 18．(1)由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体从前面和从上面看到的形状图如图1所示，从上面看到的图形的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，求x＋y的值； (2)如图2所示为由若干个完全相同的小立方体组成的一个几何体．如果在这个几何体上拿掉一些相同的小立方体，并保持这个几何体从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以拿掉几个小立方体？ 解：(1)由题意得x＝1或2，y＝3， 当x＝1，y＝3时，x＋y＝4； 当x＝2，y＝3时，x＋y＝5， 所以x＋y的值为4或5； (2)1个． $$