精品解析：四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，由子集的定义可得. 【详解】由集合，所以的子集个数为个； 故选：D 2. 若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的四则运算，可得，再利用复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：A. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的定义先求定义域，结合复合函数的单调性计算即可. 【详解】由题意知，即或， 令，而单调递增，要求的单调递增区间， 即求的单调递增区间，根据二次函数的单调性可知其单调递增区间为. 故选：B 5. 在等差数列中，（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可知，，所以， 故选：A. 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对已知等式平方，利用同角三角函数基本关系求出，再通过的定义建立方程求解，结合角的范围确定正切值. 【详解】由，两边平方可得， 即， 又，所以，且 解得：. 故选：A 7. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】条件可转化为直线与曲线有两个交点，再利用导数研究的单调性及极值，画出函数的大致图象，观察函数图象即可得解. 【详解】因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的根， 因为不是方程的根， 所以方程有两个不同的根， 所以直线与曲线有两个交点． 令，则， 令可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，；当时，， 当时，，当且时，， 当且时，；时，；又， 画出函数的大致图象如下： 所以当时，直线与曲线有两个交点， 即实数的取值范围是． 故选：C 8. 在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积可得的轨迹圆，从而可求线段PB的长度的最小值. 【详解】取的中点为，的中点为，连接， 则平面，而平面，故. 而， 而，故， 而，故即， 由正方体的性质可得，故， 故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而， 故线段的长度的最小值为， 当且仅当三点共线且在之间时的长度取最小值， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为2 C. 的图象关于对称 D. 方程有三个实数根 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用导数求函数的单调区间判断A选项；由单调区间判断极值点，求出极大值判断选项B；由函数奇偶性判断选项C，由单调性和极值判断函数零点个数判断选项D. 【详解】函数，， 解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，A选项正确； 时有极大值，B选项正确； 的定义域为，， 则函数是奇函数，图象关于对称，C选项正确； 时有极大值，时有极小值， 又， ， 所以函数的图象与轴有三个交点，即方程有三个实数根，D选项正确. 故选：ABCD 10. 已知一个正四面体的四个顶点分别位于一个正方体的四个不相邻的顶点上．现从该正四面体的六条棱中随机选取两条，则判断错误的选项有（ ） A. 两条棱相交的概率 B. 两条棱平行的概率为 C. 两条棱异面的概率为 D. 两条棱所成角为的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】如图正四面体的四个顶点分别位于正方体的四个不相邻的顶点上，设正方体的边长为，判断各对棱的位置关系和夹角，再列出从该正四面体的六条棱中随机选取两条的所有取法，列出各事件的样本点，根据古典概型概率公式求各事件的概率，由此可得结论. 【详解】如图正四面体的四个顶点分别位于正方体的四个不相邻的顶点上， 正四面体的棱有，，，，，， 设正方体的边长为，则， 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，同理，， 因为平面，平面，， 所以棱与棱互为异面直线， 同理棱与棱互为异面直线，棱与棱互为异面直线， 所以棱与棱相交，夹角为，棱与棱相交，夹角为， 棱与棱相交，夹角为，棱与棱相交，夹角为， 棱与棱互为异面直线，夹角为， 棱与棱相交，夹角为，棱与棱相交，夹角为， 棱与棱相交，夹角为，棱与棱互为异面直线，夹角为， 棱与棱互为异面直线，夹角为，棱与棱相交，夹角为， 棱与棱相交，夹角为，棱与棱相交，夹角为， 棱与棱相交，夹角为，,棱与棱相交，夹角为， 从棱，，，，，中任取两条棱，可能得取法有， ，，，，， ，，，，， ，，，，，共种取法， 两条棱相交的取法有，，，， ，，，， ，，，，共种取法， 事件两条棱相交的概率，A错误， 因为没有两条棱平行的取法，所以两条棱平行的概率，B正确， 两条棱异面的取法有，，， 事件两条棱异面的概率，C错误， 两条棱所成角为的取法，，，， ，，，， ，，，，共种取法， 所以事件两条棱所成角为的概率，D错误， 故选：ACD. 11. 已知实数x，y满足，设，则（ ） A. 的最小值 B. 的最大值 C. 存在使得 D. 对于任意，存在使得 【答案】AC 【解析】 【分析】令，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，再换元后得，由二次函数求出值域，逐项分析即可得解. 【详解】令， 则由直线与圆有公共点， 可得，解得， 又，可得， 所以，其中， 所以当时，，当时，，故A正确，B错误； 因为，故存在使得，故C正确； 因为，故当，不存在使得，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，若，则实数_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用对数的运算性质直接解方程即可. 【详解】由，则函数的定义域为， 由题意可知， 整理得，即， 所以，解得. 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为，若，且，则的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由得出，由结合得出，再根据面积公式求解. 【详解】 已知， 所以， 因为，则， 所以， 由面积公式. 故答案为： 14. 已知圆和轴相切，且与相切于，则圆的半径为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】设出圆心坐标，根据圆心到切点的距离，圆心到轴的距离等于半径列出等量关系，由导数的几何意义可求切线斜率，于是又可列得圆心和切点的连线垂直切线，得到另一个方程，进而得解. 【详解】设圆心坐标为，半径为，由题知， 注意到圆心和切点的连线的斜率和切线斜率互为负倒数， ，则，时，， 即在切线斜率是， 于是，则， 联立消去字母得到， 解得或，又圆和轴相切，则或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 【解析】 【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可. 【详解】 （Ⅰ）的最小正周期为. （Ⅱ），， 故当即时， 当即时， 本题主要考查的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一. 【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题． 16. 在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，证明：． 【答案】（1） （2） 由（1），， 所以， 所以是递增数列. 所以，且， 所以. 【解析】 【分析】（1）用基本量表示已知可求，进而求通项公式； （2）证明是递增数列可证；放缩求和可证. 【小问1详解】 设等差数列公差为，则， 由题可得，解得， 所以. 【小问2详解】 略 17. 在空间中有一个正四棱锥，已知侧棱长度与底面边长均相等． （1）若为棱PC的中点，求证：平面． （2）记异面直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，比较的大小． 【答案】（1） 设与交于点，连接， 因为底面为正方形，则为的中点，又为棱PC的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设与交于点，连接，利用几何关系得，再利用线面平行的判定定理，即可得证； （2）取中点，连接，利用异面直线所成角、线面角和二面角的定义，求出，再利用的性质，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为四棱锥是正四棱锥，则平面， 取中点，连接， 设，易知，，，， 因为，则为异面直线与所成的角， 又平面，则为直线与平面所成的角， 因为为的中点，则，又平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以，则为二面角的平面角， 因为为中点，同理可得， 在中，，在中，， 在中，， 又，且在区间上单调递增， 因，则. 18. 已知函数． （1）求． （2）当，求曲线在处的切线方程． （3）当时，证明：． 【答案】（1） （2） （3） ，， 令，则， 由得，， 设方程的两根为， 由，， 则，且， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以为函数的极大值，为函数的极小值， 当时，， 则， 因为在单调递增，所以， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算法则即可求解； （2）根据导数的几何意义即可求解； （3）先分析出函数的极大值及极小值，令，再分析出即可证明． 【小问1详解】 函数， 所以． 【小问2详解】 当时，则函数，， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为． 【小问3详解】 略 19. 已知是给定椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点．分别交椭圆于另一点M，N． （1）用含a，b的表达式来表达该椭圆的离心率． （2）请结合距离公式证明：． （3）求．（用含a，b的式子表示答案） 【答案】（1） （2） 设，，， 则，即 则 又∵且， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率公式可直接得答案； （2）设交点坐标和点坐标，由点到点的距离列出，结合椭圆方程化简代数式即可得证； （3）设，，，利用在椭圆上可得且，故可求的值. 【小问1详解】 离心率，∵， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，， 故，故 所以，整理得到， 故即， 同理，故， 故， 故即. 而，故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为2 C. 的图象关于对称 D. 方程有三个实数根 10. 已知一个正四面体的四个顶点分别位于一个正方体的四个不相邻的顶点上．现从该正四面体的六条棱中随机选取两条，则判断错误的选项有（ ） A. 两条棱相交的概率 B. 两条棱平行的概率为 C. 两条棱异面的概率为 D. 两条棱所成角为的概率为 11. 已知实数x，y满足，设，则（ ） A. 的最小值 B. 的最大值 C. 存在使得 D. 对于任意，存在使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，若，则实数_____________． 13. 在中，角的对边分别为，若，且，则的面积为_____________． 14. 已知圆和轴相切，且与相切于，则圆的半径为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. 16. 在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，证明：． 17. 在空间中有一个正四棱锥，已知侧棱长度与底面边长均相等． （1）若为棱PC的中点，求证：平面． （2）记异面直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，比较的大小． 18. 已知函数． （1）求． （2）当，求曲线在处的切线方程． （3）当时，证明：． 19. 已知是给定椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点．分别交椭圆于另一点M，N． （1）用含a，b的表达式来表达该椭圆的离心率． （2）请结合距离公式证明：． （3）求．（用含a，b的式子表示答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $