第一章 丰富的图形世界 课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学六年级上册

☆ 问题解决策略：分类讨论 对于某些较为复杂的问题，我们需要将原问题划分为几种情况，针对每种情况逐一分析、逐一解决．这是一种分析问题、解决问题的重要策略——分类讨论． 分类讨论的一般解题步骤： 1．先明确需分类讨论的对象及讨论对象的范围； 2．正确选择分类的标准，进行合理分类； 3．逐类讨论； 4．归纳并做出结论． 考点 分类讨论 典例 如图是一张长方形纸片，长方形的长为6 cm，宽为4 cm， 若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几 何体． (1)这个几何体的名称是 ，有 个平面， 个曲 面； (2)求得到的这个几何体的体积(结果保留π)． 思路导析 (1)根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，进而可得出平面和曲面的个数； (2)分类讨论分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 解：(1)圆柱，2，1； (2)①若绕4 cm的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为 6 cm，高为4 cm的圆柱， 它的体积为π×62×4＝144π(cm3)； ②若绕6 cm的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为4 cm， 高为6 cm的圆柱， 它的体积为π×42×6＝96π(cm3)； 综上所述，得到的几何体的体积为144π cm3或96π cm3. 变式1 如图，每个图形中各有多少个正方形？ 解：①正方形个数为3×2＋2×1＝8； ②正方形个数为4×3＋3×2＋2×1＝20； ③正方形个数为6×4＋5×3＋4×2＋3×1＝50. 变式2 如图所示是一个由棱长为1的小正方体拼成的长方体，求该图内所有正方体的个数． 解：棱长为1的正方体有6×5×4＝120(个)； 棱长为2的正方体有5×4×3＝60(个)； 棱长为3的正方体有4×3×2＝24(个)； 棱长为4的正方体有3×2×1＝6(个)； 一共有120＋60＋24＋6＝210(个)正方体． $$2　从立体图形到平面图形 2.1　从三个方向看物体的形状 知识点1 从三个方向看物体 【注意】 有时需要把部分小立方块换成长方块(长方块的长、宽、高都是小立方块棱长的整数倍)，继续搭一个几何体，我们也可以从三个方向看这个几何体，然后画出这个几何体的形状图． 知识点2 确定几何体 由标记数字的从上面看到的形状图确定另两个形状图： 方法一：先根据从上面看到的形状图摆出几何体，再画出从正 面和从左面看到的形状图； 方法二：先根据从上面看到的形状图确定从正面和从左面看到 的图形的列数，再确定每列方块的个数． 考点1 从三个方向看到的物体的形状图 典例1 [2024·南京期末]如图，是一个由9个棱长为1 cm的正方体组成的立体图形． (1)画出该立体图形从三个方向看到 的形状图； (2)若将整个立体图形的表面(包含底 部)全部喷上油漆，则被油漆覆盖的 面积为 cm2. 思路导析 本题考查了从不同方向看到的物体的形状图，求立体图形的表面积．采用数形结合的方法是解此题的关键． 解：(1)该立体图形的从不同方向看到的形状图如图所示： (2)被油漆覆盖的面积为2×7＋2×5＋2×6＋2×1＝14＋10＋12＋2＝38 (cm2)， 故答案为：38. 变式 [2024·盖州期末]如图，是由棱长都为1 cm的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在图1的网格中画出该几何体从左面看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加2个小正方体，并保持从正面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，请在图2的网格中画出添加小正方体后的几何体从上面看到的形状图． 解：(1)如图1所示； (2)如图2所示． 考点2 根据从不同方向看到的物体的形状图还原几何体 典例2 [2024·沈阳期末]用若干个棱长为1 cm的小正方体搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小正方体的个数． 请回答下列问题： (1)c＝ ，f＝ ； (2)该几何体最少由 个小正方体搭成，最多由 个小正方体搭成； (3)从左面看这个几何体的形状图共有 种，请在所给网格图中画出其中的任意一种． 思路导析 根据从正面看到的形状图及从上面看到的形状图的数据分情况分析即可． 解：(1)1，3；　(2)9，11； (3)由(2)得从左面看这个几何体的形状图共有4种，如图(任选一种即可)： 故答案为：4. 【规律总结】 确定最值时，分为最大值和最小值，最大值是每一竖列都取最大可能层数的值；最小值是除了层数固定的竖列外，其余竖列都取最小可能层数的值． 变式1 [2024·招远期中改编]一个几何体由一些大小相同的小正方体搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． 解：如图所示： 变式2 [2025·咸阳期中]用若干个形状大小相同的小正方体搭成一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，问：搭成这样的几何体，最少需要多少个小正方体？最多需要多少个小正方体？ 解：个数最少时，从上面看到的形状图如图1(图不唯一)． 2＋1＋2＋1＋3＝9； 个数最多时，从上面看到的形状图如图2. 2＋2＋3＋3＋3＝13. 答：最少需要9个小正方体，最多需要13个小正方体． eq \a\vs4\al(从不同,方向看,物体) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(从正面看：可以看到物体的长和高,从左面看：可以看到物体的高和宽,从上面看：可以看到物体的长和宽)) $$2.2　展开与折叠 第1课时　正方体的展开与折叠 知识点 正方体的展开与折叠 正方体的表面展开图有11种，可归纳为以下四类： 1．“1，4，1”型共6种： 2．“1，3，2”型共3种： 3．“2，2，2”型共1种： 4．“3，3”型共1种： 考点1 正方体的表面展开图 典例1 [2024·江西]如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有( ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 思路导析 正方体的展开图有“1，4，1”型，“2，3，1”型，“3，3”型，“2，2，2”型，其中“1”可以左右移动，注意“一”“7”“田”“凹”字形的都不是正方体的展开图． 【规律总结】 巧借口诀，妙作判断： (1)口诀一：一线不过四． “一线不过四”是指在正方体的平面展开图中，一条直线上的小正方形个数不会超过四个．如图1所示的不是正方体的展开图． (2)口诀二：“田”“凹”“L”应弃之． “‘田’‘凹’‘L’应弃之”是指在正方体的平面展开图中，不会含有“田”字形、“凹”字形、“L”字形的形状．如图2所示的不是正方体的展开图． 变式 将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好 能折成一个正方体，则可以剪去的小正方形的编号是_________ ______．(只填一个编号即可) 6(答案不 唯一) 考点2 表面带图案或文字的正方体的展开与折叠 典例2 如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体后，相对 面上两个数相同，则y－x＝__． 2 思路导析 根据正方体的表面展开图，想象还原正方体，判断相对面． 【规律总结】 两个窍门判断“相对面”． (1)窍门一：“目”字形． “目”字形，其形如“目”字，特点是对面相隔不相连．图1中的A面和B面就是相对面． (2)窍门二：“Z”字形． “Z”字形，其形如“Z”字，特点是两端点处的小正方形是正方体的相对面，如图2各图中的A面和B面就是相对面． 变式1 小丽制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体礼品盒的表面展开图可能是( ) 变式2 [2024·忻府区期中]有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上(如图2)，求能看得到的点数之和的最大值和最小值． 解：根据题意，能看到的点数之和， 最大值是(3＋4＋5＋6)＋(3＋4＋5＋6)＋(4＋5＋6)＝51， 最小值是(1＋2＋3＋4)＋(1＋2＋3＋4)＋(1＋2＋3)＝26. $$2.3　截一个几何体 知识点1 截面及截面形状 用一个_____去截一个几何体，截出的面叫作_____．常见几何 体的截面的形状可能是三角形、_______、_______、_______ (从边数来说)或圆等． 平面 截面 四边形 五边形 六边形 知识点2 常见几何体的截面 1．用平面去截正方体 用一个平面去截正方体，截面的形状可能是三角形、四边形、 五边形、六边形，最多是六边形． 2．用平面去截圆柱 用一个平面去截圆柱，常见的截面的形状是长方形和圆，除此 之外，还有其他形状的截面． 3．用平面去截圆锥 用一个平面去截圆锥，截面的形状可能是三角形、圆或椭圆等． 4．用平面去截球 用平面去截球，截面形状都是圆． 考点1 常见几何体的截面 典例1 [2023·青岛期中]如图所示，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截的截面有可能是长方形的有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 思路导析 根据正方体、圆柱、四棱柱、三棱锥、圆锥、三棱柱的形状特点，截面的角度和方向，逐一进行判断即可． 变式1 用一个平面截下列几何体，无论怎样截，截面形状都不发生改变的是( ) 变式2 一物体外形是正方体，其内部构造不详，用一个竖直的 平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面(如图)， 则这个正方体的内部构造可能是空了一个_____体． 圆锥 考点2 正方体的截面 典例2 [2023·威海期末]如图，一个正方体截去一角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数分别是( ) A．7，15 B．6，13 C．7，13 D．6，15 思路导析 由图形可知，正方体截去如图所示一角后，正方体的面数增加1个，正方体的棱增加1条，即可得到答案． 变式 如图，用一个平面去截掉一个正方体的一条棱． (1)剩下的几何体的形状是什么？ (2)剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？ (3)若按此方法截掉一个n棱柱的一条棱，则剩 下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？ 解：(1)剩下的几何体的形状是五棱柱； (2)剩下的几何体有10个顶点，15条棱，7个面； (3)剩下的几何体有2(n＋1)个顶点，3(n＋1)条棱，(n＋3)个面． $$第2课时　常见几何体的展开与折叠 知识点 圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图 1．圆柱的表面展开图 上、下底面是两个___，侧面是一个_______． 圆 长方形 2．圆锥的表面展开图 底面是一个___，侧面是一个_____． 圆 扇形 3．棱柱的表面展开图 底面是两个完全相同的_______，侧面是几个_______． 多边形 长方形 4．棱锥的表面展开图 底面是一个_______，侧面是几个_______． 多边形 三角形 【注意】 (1)棱柱的底面边数＝侧面个数． (2)圆柱的展开图中的长方形的一边长是底面圆的周长，另一边长是圆柱的高． (3)圆锥的展开图中的扇形的弧长就是底面圆的周长． 考点 常见几何体的表面展开图 典例 [2024·兴平期中]仔细观察下列几何体的展开图，然后解答问题． (1)请写出对应几何体的名称：图1 ，图2 ， 图3 ； (2)图1中，侧面展开图的宽(较短边)为7 cm，圆的半径为2 cm， 求图1所对应几何体的体积．(π取3) 思路导析 (1)根据图形即可解答； (2)根据圆柱的体积公式求解即可． 解：(1)圆柱，圆锥，三棱柱； (2)体积为πr2h＝3×22×7＝84(cm3)． 变式 如图，是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体是________； (2)求该几何体的体积． 解：(1)长方体； (2)体积为3×2×1＝6(立方米)． $$第一章 丰富的图形世界 1　生活中的立体图形 知识点1 立体图形的认识 1．对于一个物体，当只研究它的形状、大小而不考虑其他特征 时，就得到一个几何体，几何体简称体． 2．常见几何体及其特征 【注意】 (1)圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲的面，棱柱的侧面是平行四边形； (2)圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆，棱锥的底面是多边形；圆锥的侧面是曲的面，棱锥的侧面是三角形． 知识点2 棱柱的有关概念及其特征 1．棱柱的有关概念 (1)棱：在棱柱中，相邻两个面的交线叫作___．相邻两个侧面 的交线叫作_____． (2)顶点：棱和棱的交点叫作_____． 棱 侧棱 顶点 2．棱柱的特征 棱柱的所有侧棱长都_____； 棱柱的上、下底面的形状_____； 侧面的形状都是平行四边形． 相等 相同 3．棱柱的分类 (1)底面是几边形就是几棱柱．棱柱通常按照底面图形的边数分 为三棱柱、四棱柱、五棱柱等，底面图形的形状分别为三角形、 四边形、五边形等． (2)棱柱还可以分为直棱柱和斜棱柱．(本书主要讨论直棱柱，简 称棱柱) 【注意】 n棱柱上、下底面是n边形，侧面是n个平行四边形． 知识点3 构成图形的元素 1．图形是由___、___、___构成的，面与面相交得到___，线与 线相交得到___．面分___面和___面，线有___线和___线． 点 线 面 线 点 平 曲 直 曲 2．如果一个几何图形上的所有点都在同一个平面内，那么这样 的几何图形是_________，如圆、平行四边形、三角形等． 如果一个几何图形上的点不都在同一个平面内，那么这样的几何 图形是_________，如球、正方体、三棱锥等． 3．图形的形成方法：点动成___，___动成面，面动成___． 平面图形 立体图形 线 线 体 考点1 几何体的认识及分类 典例1 观察图中所示的八个几何体． (1)依次写出图示几何体的名称：① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ； ⑧ ； (2)若几何体按是否包含曲面分类：不含曲面的有 ；含曲面的有 ；(填序号) (3)分别写出几何体⑥和⑧的两个相同点和两个不同点． 思路导析 (1)根据柱体、锥体、球体的定义依次解题； (2)根据平面和曲面的区别回答即可； (3)根据几何体的特点解题，可从几何体的顶点、棱、面等方面回答． 解：(1)①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱；⑥五棱柱；⑦球；⑧三棱柱； (2)③④⑤⑥⑧；①②⑦； (3)答案不唯一，相同点： ①每个侧面都是平的； ②每个图形的上、下两个底面完全相同； 不同点： ①两个图形的面数不同； ②底面的边数不同． 变式 下列是我们常见的几何体，按要求将其分类(填序号)． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有_______，锥体有_____， 球有___； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有_______，无曲面的 有_______． ①②⑥ ③④ ⑤ ②③⑤ ①④⑥ 考点2 棱柱的有关性质 典例2 观察下列几何体，并把表格补充完整． (1)根据表中的规律判断，十二棱柱有 个面，共有 个顶 点，共有 条棱； (2)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱； (3)若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面， 共 个面，共有 个顶点，共有 条棱； (4)观察表中的结果，请写出a，b，c之间关系式： ． 思路导析 根据立体图形实际情况填表即可；(1)(2)(3)根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可总结出n棱柱有(n＋2)个面，2n个顶点和3n条棱，再根据每小问实际情况求解即可； (4)根据表格可总结规律得出a，b，c之间的关系． 解：填表如表所示： (1)14，24，36；(2)二十八；(3)n，(n＋2)，2n，3n；(4)a＋c－b＝2. 【规律总结】 n棱柱的顶点数、面数、棱数与n棱柱之间的关系如表所示： 棱柱名称 侧面数 总面数 顶点数 棱数 三棱柱 3 5 6 9 四棱柱 4 6 8 12 五棱柱 5 7 10 15 … … … … … n棱柱 n n＋2 2n 3n 变式 已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长为8 cm，底面边长 都为5 cm. (1)这个直棱柱是 棱柱，它有 个面， 个 顶点； (2)这个棱柱的所有棱长的和为 ； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 解：(1)因为此直棱柱有18条棱， 18÷3＝6，所以此棱柱是六棱柱； 所以六棱柱有8个面，有12个顶点； 故答案为：六，8，12； (2)因为一条侧棱长为8 cm，有6条侧棱，底面各边长都为5 cm， 所以这个棱柱的所有棱长的和为6×8＋2×6×5＝108(cm)； 故答案为：108 cm； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是8×5×6＝240(cm2)． 解：(1)因为此直棱柱有18条棱， 18÷3＝6，所以此棱柱是六棱柱； 所以六棱柱有8个面，有12个顶点； 故答案为：六，8，12； (2)因为一条侧棱长为8 cm，有6条侧棱，底面各边长都为5 cm， 所以这个棱柱的所有棱长的和为6×8＋2×6×5＝108(cm)； 故答案为：108 cm； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是8×5×6＝240(cm2)． 考点3 图形的形成 典例3 如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可以得出其相对应的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来． 解：连线如图所示： 思路导析 根据“面动成体”的原理，结合图形特征进行旋转，判断出旋转后的立体图形即可． 变式 用数学知识解释下列现象： (1)笔尖在纸上移动就能画成线，可解释为_________； (2)秒针旋转时形成了一个面，可解释为_________； (3)直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周形成圆锥体，可 解释为_________． 点动成线 线动成面 面动成体 考点4 几何体的有关计算 典例4 [分类讨论]已知长方形的长为4 cm，宽为3 cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)得到的立体图形的名称为 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求此几何体的体积．(结果保留π) 思路导析 (1)长方形绕其一边所在直线旋转一周可得圆柱，这是典型的面动成体现象； (2)分类讨论：①当绕4 cm的边旋转时；②当绕3 cm的边旋转时，根据圆柱的体积公式V＝πr2h求解即可． 解：(1)圆柱， 面动成体； (2)①当绕4 cm的边旋转时，底面半径为3 cm，高为4 cm， 所以圆柱的体积为π×32×4＝36π(cm3)； ②当绕3 cm的边旋转时，底面半径为4 cm，高为3 cm， 所以圆柱的体积为π×42×3＝48π(cm3)； 所以，这个几何体的体积是36π cm3或48π cm3. 【方法技巧】 将平面图形旋转成几何体，需两个条件：旋转轴和旋转角度，同一个平面图形绕不同的旋转轴或按不同的旋转角度进行旋转，所得的几何体不一定相同． 变式 已知一个直角三角形，它的各边长如图所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，请求出这个几何体的体积．(结果保留π) 解：三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆 柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中圆柱和圆锥的底面半径 均为4 cm，高均为3 cm， 得到的几何体的体积V＝π×42×3－ ×π×42×3＝32π( cm3)． eq \f(1,3) $$