第二十一章 一元二次方程 单元练习卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版（2012）九年级数学上册单元练习卷 第二十一章 一元二次方程 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1. （2025・江苏扬州・中考真题改编）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 当时，方程有两个不相等的实数根 B. 当时，方程有两个相等的实数根 C. 当时，方程没有实数根 D. 无论m取何值，方程都有实数根 2. （2025・广东・中考真题改编）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. （教材变式题）若方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 4. （2025・河南・中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. （2025・山东泰安・中考真题改编）已知关于x的一元二次方程的一个根为，且a，b满足，则关于y的方程的根为（ ） A. B. C. D. 6. （原创题）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 7. （2025・湖北武汉・中考真题改编）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是8和2；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和。则原来的方程是 ( ) A. B. C. D. 8. （2025・北京・中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 9. （2025・四川成都・中考真题改编）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B.且 C. 且 D. 10. （2025・浙江杭州・中考真题改编）若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11. （2025・广东・中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 。 12. （2025・江苏南京・中考真题改编）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 。 13. （教材变式题）一元二次方程的解是 。 14. （2025・山东东营・中考真题改编）若关于x的方程无实根，则k的取值范围是 。 15. （原创题）已知，是一元二次方程的两个根，则= 。 三、解答题（共 55 分） 16. （8 分）（2025・黑龙江齐齐哈尔・中考真题）解方程： (1)； (2) 17. （8 分）（教材变式题）已知关于x的一元二次方程 (1) 求证：方程有两个不相等的实数根； (2) 若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为 5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。 18. （9 分）（2025・四川内江・中考真题改编）某市 2021 年底森林覆盖率为60%，为贯彻落实 “绿水青山就是金山银山” 的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023 年底森林覆盖率已达到65\%。如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x， (1) 请列出关于x的方程； (2) 求x的值（精确到0.1\%）。 19. （10 分）（原创题）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。 (1) 若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ (2) 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 20. （10 分）（2025・湖北・中考真题改编）已知关于x的一元二次方程x。 (1) 求证：无论m取何值时，方程都有两个实数根； (2) 设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值。 21. （10 分）（2025・四川德阳・中考真题改编）已知关于x的一元二次方程。 (1) 证明：不论m为何值时，方程总有实数根； (2) 若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1. A 2. C 3. C 4. A 5. B 6. C 7. A 8. A 9. B 10. A 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11. 有两个不相等的实数根 12. 1 13. ， 14. 15. 31 三、解答题（共 55 分） 16. (1) 解：① 因式分解：（2 分） ② 得x = 0或（1 分） ③ 解得，（1 分） (2) 解：① 因式分解：（2 分） ② 得或（1 分） ③ 解得，（1 分） 17. （1） 证明：① 计算判别式：（2 分） ② 展开化简：（1 分） ③ 因，故方程有两个不相等的实数根（1 分） （2） 解：① 解方程：，因式分解得，得，（1 分） ② 分情况讨论： 若AB = AC，则k = k + 1，方程无解（1 分） 若AB = BC = 5，则k = 5（1 分） 若AC = BC = 5，则k + 1 = 5，得k = 4（1 分） ③ 综上，k = 4或k = 5（1 分） 18. (1) 列方程 解：① 2022 年底覆盖率：60\%(1 + x)（1 分） ② 2023 年底覆盖率：60\%(1 + x)^2（1 分） ③ 列方程：60\%(1 + x)2 = 65\%（2 分） (2) 解：① 化简方程：（1 分） ② 开方：（舍去负根，因增长率为正）（1 分） ③ 计算：，得（2 分） 19. (1) 解：① 设每件降价x元，则日均售(20 + 2x)件，每件盈利元（1 分） ② 列盈利方程： = 1200（1 分） ③ 展开化简：，即（1 分） ④ 因式分解：（1 分） ⑤ 解得，（1 分） (2) 解：① 设盈利为y元，则（1 分） ② 配方：（2 分） ③ 因，抛物线开口向下，当x = 15时，y最大（1 分） ④ 最大盈利 元（1 分） 20. (1) 证明：① 计算判别式：（1 分） ② 展开化简：（2 分） ③ 因任何实数的平方非负，即，故（1 分） ④ 所以方程总有两个实数根（1 分） (2) 解：① 由根与系数关系：，（1 分） ② 变形（1 分） ③ 代入得：（1 分） ④ 展开化简：，即（1 分） ⑤ 因式分解：，解得，（1 分） 21. (1) 证明：① 当m = 0时，方程为一元一次方程：，解得x = 1，有实根（1 分） ② 当时，方程为一元二次方程，计算判别式：（1 分） ③ 化简：（1 分） ④ 因，故，方程有两个实数根（1 分） ⑤ 综上，不论m为何值，方程总有实数根（1 分） (2) 解：① 解方程：，因式分解得（1 分） ② 解得，（1 分） ③ 因根为整数，且m为正整数，故为整数（1 分） ④ 正整数m的可能值：m = 1时，；m = 2时，（1 分） ⑤ 综上，正整数m = 1或m = 2（1 分） 学科网（北京）股份有限公司 $$— 1 — 人教版（2012）九年级数学上册单元练习卷 第二十一章一元二次方程 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1. （2025・江苏扬州・中考真题改编）关于一元二次方程 022  mxx 的根的情况， 下列结论正确的是（ ） A.当 1m 时，方程有两个不相等的实数根 B. 当 1m 时，方程有两个相等的实数根 C.当 1m 时，方程没有实数根 D.无论 m取何值，方程都有实数根 2. （2025・广东・中考真题改编）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A. 0122  xx B. 0322  xx C. 0532  xx D. 0442  xx 3. （教材变式题）若方程   0132  mxxm m 是关于 x的一元二次方程，则（ ） A. 2m B. 2m C. 2m D. 2m 4. （2025・河南・中考真题）一元二次方程 0342  xx 的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 5. （2025・山东泰安・中考真题改编）已知关于 x的一元二次方程 02  cbxax  0a 的一个根为 1x ，且 a，b满足 322  aab ，则关 于 y的方程 0 4 1 2  cy 的根为（ ） A. 1y B. 2y C. 3y D. 4y 6. （原创题）若关于 x的一元二次方程   032  kxkx 的一个根是 2 ，则另一个 根是（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 0 — 2 — 7. （2025・湖北武汉・中考真题改编）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程 时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 8和 2；小冬在化简 过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 9 和 1 。则原来的方程是 ( ) A. 09102  xx B. 09102  xx C. 09102  xx D. 09102  xx 8. （2025・北京・中考真题）若关于 x的一元二次方程 042  axx 有两个相等的实 数根，则实数 a的值为（ ） A. 4 B. 4 C. 4 D. 2 9. （2025・四川成都・中考真题改编）若关于 x的一元二次方程   0141 2  xxk 有 两个不相等的实数根，则 k的取值范围是（ ） A. 5k B. 5k 且 1k C. 5k 且 1k D. 5k 10. （2025・浙江杭州・中考真题改编）若是方程 0532  xx 的两个根，则   11 21  xx 的值为（ ） A. 7 B. 1 C. 1 D. 7 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11. （2025・广东・中考真题）不解方程，判断一元二次方程 0132 2  xx 的根的情况 是 。 12. （2025・江苏南京・中考真题改编）关于 x的一元二次方程 022  mxx 有两个相 等的实数根，则 m的值为 。 13. （教材变式题）一元二次方程 032  xx 的解是 。 14. （2025・山东东营・中考真题改编）若关于 x的方程   622 2  kkxxk 无实根， 则 k的取值范围是 。 15. （原创题）已知 1x ， 2x 是一元二次方程 035 2  xx 的两个根，则  22 2 1 xx = 。 三、解答题（共 55 分） 16. （8分）（2025・黑龙江齐齐哈尔・中考真题）解方程： (1) 042  xx ； — 3 — (2) 0252 2  xx 17. （8分）（教材变式题）已知关于 x的一元二次方程   012 22  kkxkx (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2) 若△ABC的两边 AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC的长为 5，当△ABC是等腰三角形时，求 k的值。 18. （9 分）（2025・四川内江・中考真题改编）某市 2021 年底森林覆盖率为 60%，为 贯彻落实 “绿水青山就是金山银山” 的发展理念，该市大力发展植树造林活动， 2023年底森林覆盖率已达到 65\%。如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 x， (1)请列出关于 x的方程； (2)求 x的值（精确到 0.1\%）。 19. （10分）（原创题）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措 施。经调查发现，如果每件衬衫每降价 1元，商场平均每天可多售出 2件。 (1)若商场平均每天要盈利 1200元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ — 4 — 20. （10分）（2025・湖北・中考真题改编）已知关于 x的一元二次方程 x   0232  mxmx 。 (1)求证：无论 m取何值时，方程都有两个实数根； (2)设该方程的两个实数根为 a，b，若 522  ba ，求 m的值。 21. （10分）（2025・四川德阳・中考真题改编）已知关于 x的一元二次方程   0222  xmmx 。 (1)证明：不论 m为何值时，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m的值。 参考答案 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1. A 2. C 3. C 4. A 5. B 6. C 7. A 8. A 9. B 10. A 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11.有两个不相等的实数根 12. 1 13. 01 x ， 32 x 14. 2 3 k 15. 31 三、解答题（共 55 分） 16. (1) 解：① 因式分解：   04 xx （2分） ② 得 x = 0或 04 x （1分） ③ 解得 01 x ， 42 x （1分） (2) 解：① 因式分解：    0212  xx （2分） ② 得 012 x 或 02 x （1分） ③ 解得 2 1 1 x ， 22 x （1分） 17. （1） 证明：① 计算判别式：     kkk  22 1412 （2分） ② 展开化简： 144144 22  kkkk （1分） ③ 因 01 ，故方程有两个不相等的实数根（1分） （2） 解：① 解方程：   012 22  kkxkx ，因式分解得      01  kxkx ，得 kx 1 ， 12  kx （1分） ② 分情况讨论： 若 AB = AC，则 k = k + 1，方程无解（1分） 若 AB = BC = 5，则 k = 5（1分） 若 AC = BC = 5，则 k + 1 = 5，得 k = 4（1分） ③ 综上，k = 4或 k = 5（1分） 18. (1)列方程 解：① 2022年底覆盖率：60\%(1 + x)（1分） ② 2023年底覆盖率：60\%(1 + x)^2（1分） ③ 列方程：60\%(1 + x)2 = 65\%（2分） (2) 解：① 化简方程：   083.1 12 13 %60 %651 2  x （1分） ② 开方： 083.11  x （舍去负根，因增长率为正）（1分） ③ 计算： 041.1083.1  ，得 %1.4041.01041.1 x （2分） 19. (1) 解：① 设每件降价 x元，则日均售(20 + 2x)件，每件盈利  x40 元（1分） ② 列盈利方程：    120022040  xx = 1200（1分） ③ 展开化简： 120022080800 2  xxx ，即 0200302  xx （1分） ④ 因式分解：    02010  xx （1分） ⑤ 解得 101 x ， 202 x （1分） (2) 解：① 设盈利为 y元，则    80060222040 2  xxxxy （1分） ② 配方：     1250152800302 22  xxxy （2分） ③ 因 02  ，抛物线开口向下，当 x = 15时，y最大（1分） ④ 最大盈利 1250max y 元（1分） 20. (1)证明：① 计算判别式：    2143 2  mm （1分） ② 展开化简：  222 1128496  mmmmmm （2分） ③ 因任何实数的平方非负，即   01 2 m ，故 0 （1分） ④ 所以方程总有两个实数根（1分） (2) 解：① 由根与系数关系： 3 mba ， 2 mab （1分） ② 变形   abbaba 2222  （1分） ③ 代入得：     5223 2  mm （1分） ④ 展开化简： 542962  mmm ，即 042  mm （1分） ⑤ 因式分解：   04 mm ，解得 01 m ， 42 m （1分） 21. (1) 证明：① 当 m = 0时，方程为一元一次方程： 022  x ，解得 x = 1，有实根（1 分） ② 当 0m 时，方程为一元二次方程，计算判别式：   242 2  mm （1分） ③ 化简：  222 244844  mmmmmm （1分） ④ 因   02 2 m ，故 0 ，方程有两个实数根（1分） ⑤ 综上，不论 m为何值，方程总有实数根（1分） (2) 解：① 解方程：   0222  xmmx ，因式分解得    012  xmx （1分） ② 解得 11 x ， m x 22  （1分） ③ 因根为整数，且 m为正整数，故 m 2 为整数（1分） ④ 正整数 m的可能值：m = 1时， 22 x ；m = 2时， 12 x （1分） ⑤ 综上，正整数 m = 1或 m = 2（1分）