2026届高三物理一轮复习讲义第七章第1讲：机械振动

第七章 机械振动 机械波 第1讲　机械振动 【复习目标】 1.认识简谐运动，理解简谐运动的表达式和图像。 2.知道单摆，理解并熟记单摆的周期公式。 3.认识受迫振动，了解产生共振的条件及其应用。 【考点突破】 考点一　简谐运动的基本特征 【知识梳理】 简谐运动的五个特征 受力特征 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反 运动特征 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大;远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小 能量特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒 周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称性特征 关于平衡位置O对称的两点，相对平衡位置的位移大小、加速度的大小、速度的大小、动能、势能均相等 【典例剖析】 角度1　简谐运动基本物理量的分析 例1 如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，当小球位于O点时，弹簧处于原长，在小球从C点运动到O点的过程中(　　) A.动能不断增大，加速度不断减小 B.回复力不断增大，系统机械能守恒 C.弹性势能不断减小，加速度不断增大 D.弹性势能不断增大，加速度不断减小 【解题妙招】 以位移为桥梁分析简谐运动中各物理量的变化情况 (1)位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小;反之，则产生相反的变化，各矢量均在位移为零时改变方向。 (2)位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 角度2　简谐运动的周期性与对称性 例2 如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为(　　) A.3 s、6 cm B.4 s、6 cm C.4 s、9 cm D.2 s、8 cm 考点二　简谐运动的表达式和图像 【知识梳理】 1.简谐运动的振动方程和图像 (1)从平衡位置开始计时:x＝Asin ωt，如图甲所示。 (2)从最大位移处开始计时:x＝Acos ωt，如图乙所示。 (3)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。 2.由图像可获取的信息 (1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。 (2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。 (3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。 (4)某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。 (5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。 3.简谐运动的对称性(如图) (1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。 (2)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。 【典例剖析】 例3 (2024·河北卷，6)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x－t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为(　　) A.0.2 rad/s，1.0 m B.0.2 rad/s，1.25 m C.1.26 rad/s，1.0 m D.1.26 rad/s，1.25 m 【即时训练】 1.(多选)(2025·山西晋中模拟)一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.该简谐运动的周期为5×10－2 s，振幅为28 cm B.该简谐运动的表达式为x＝14sin cm C.t＝0.5×10－2 s时质点的速度最大，且方向沿x轴负方向 D.t＝0.5×10－2 s时质点的位移为－7 cm 考点三　单摆及其周期公式 【知识梳理】 1.单摆的受力特征 (1)回复力:摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力 F回与位移x的方向相反。 (2)向心力:摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ。 (3)两点说明 ①当摆球在最高点时，v＝0，Fn＝m＝0，FT＝mgcos θ。 ②当摆球在最低点时，Fn＝m，Fn最大，FT＝mg＋m。 2.周期公式T＝2π的两点说明 (1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。 (2)g为当地重力加速度。 【典例剖析】 例4 (2024·甘肃卷，5)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大 B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零 C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同 D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同 例5 (2024·浙江6月选考，9)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直;当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，已知重力加速度g＝10 m/s2，则(　　) A.摆角变小，周期变大 B.小球摆动周期约为2 s C.小球平衡时，A端拉力为 N D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 【即时训练】 2.(多选)如图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N。已知摆球质量m＝100 g，重力加速度g取9.8 m/s2，π2取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是(　　) A.单摆周期为0.8 s B.单摆摆长为0.64 m C.F的最小值Fmin＝0.96 N D.若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期不变 考点四　受迫振动和共振 【知识梳理】 简谐运动、受迫振动和共振的关系比较 　　振动 项目　　 简谐运动 受迫振动 共振 振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或 f驱＝f0 振动 能量 系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见 例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 【典例剖析】 例6 (2025·广东揭阳高三开学考)蜘蛛通过织出精巧的蜘蛛网来捕捉猎物，蜘蛛网是由丝线构成的，这些丝线非常灵敏，有研究表明，当有昆虫“落网”时，网上的丝线会传递振动信号，蜘蛛通过特殊的感知器官，如腿上的刚毛和体表的感压器，来接收和解读这些振动信号。若丝网的固有频率为200 Hz，则下列说法正确的是(　　) A.“落网”昆虫翅膀振动的频率越大，丝网的振幅就越大 B.当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网不振动 C.当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，丝网的振幅最大 D.昆虫“落网”时，丝网振动的频率与“落网”昆虫翅膀振动的频率无关 【即时训练】 3.一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则(　　) A.此单摆的固有周期约为0.5 s B.此单摆的摆长约为1 m C.若摆长增大，单摆固有频率增大 D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 【限时训练】（40min） 1.(2025·河北廊坊高三期末)弹簧振子完成一次全振动对应的物理过程如图所示，设振动的频率为f，下列说法正确的是(　　) A.振子由O点运动到B'点的过程中，速度减小得越来越快 B.振子由B'点运动到B点需要的运动时间为 C.振子由B'点运动到O点的过程中相对平衡位置的位移越来越大 D.振子完成一次全振动，平均速率为2Af 2.小球做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过0.5 s，小球第一次经过P点，又经过0.2 s，小球第二次经过P点，则再过多长时间该振子第三次经过P点(　　) A.1.0 s B.2.4 s C.0.8 s D.2.2 s 3.(多选)(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)某种弹簧振子做简谐运动时，动能与弹性势能随时间变化的图像如图所示，下列说法中正确的是(　　) A.此弹簧振子在光滑的水平面上振动 B.t0时刻弹簧振子处在位移最大处 C.弹簧振子的周期为4t0 D.弹簧振子的周期为2t0 4.(2024·福建卷，2)某简谐运动的y－t图像如图所示，则以下说法正确的是(　　) A.振幅为2 cm B.频率为2.5 Hz C.0.1 s时速度为0 D.0.2 s时加速度方向竖直向下 5.如图甲所示，竖直悬挂弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达D点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，则(　　) A.弹簧振子从D点经过O点再运动到C点为一次全振动 B.图乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向 C.弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m D.弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m 6.在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为(　　) A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.9∶4 7.(2025·湖南常德高三期末)荡秋千是人们喜爱的一种运动，如图为一种秋千的原理图。绳子一端固定于O点，另一端系一个可视为质点的小球，在O点正下方钉一个钉子A，小球从左边某一位置由静止摆下，摆角θ<5°，g＝10 m/s2，O点离球心的距离为4 m，OA距离为3 m，此绳子拉力突然增加会导致绳子可能断裂，当小球摆动61 s时绳子突然断裂，则该绳子最多承受多少次拉力的突然增加(　　) A.11 B.20 C.21 D.31 8.(多选)(2025·广东汕头高三期末)如图所示，振动桩锤是桩基础施工的重要设备之一。桩锤工作时引起桩身周围土体振动，使桩身和土体间的粘合度降低，从而减小沉桩阻力。下列说法正确的是(　　) A.针对不同土体，最有利于沉桩的桩锤振动频率可能不同 B.针对同种土体，桩锤的振动频率越大，桩身周围土体的振动幅度一定越大 C.桩锤稳定工作后，桩身周围无论哪种土体，其振动频率都与桩锤的振动频率相同 D.为保障打桩机机身的稳定，桩锤的振动频率应尽量接近机身的固有频率 9.某种减噪装置结构如图所示，通过装置的共振可吸收声波。已知其固有频率为f0＝(SI制)，其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度。经测试发现它对频率为200 Hz的声音减噪效果最强，若外界声波频率由200 Hz变为300 Hz，则(　　) A.系统振动频率为200 Hz B.系统振动频率为300 Hz C.为获得更好减噪效果，可仅增大L的大小 D.为获得更好减噪效果，可仅换用σ更大的薄板 10.(2024·北京卷，9)如图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　) A.t＝0时，弹簧弹力为0 B.t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方 C.从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大 D.a随t变化的关系式为a＝4sin(2.5πt) m/s2 11.在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在A、B两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为k＝10 N/m，振子的质量为0.1 kg，白纸移动速度为0.4 m/s，弹簧弹性势能的表达式为Ep＝ky2，不计一切摩擦。在一次实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是(　　) A.该弹簧振子的振幅为16 cm B.该弹簧振子的周期为0.25 s C.该弹簧振子的最大加速度为8 m/s2 D.该弹簧振子的最大速度为1.6 m/s 12.(多选)(2024·河南焦作市检测)下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动;与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图(a)所示。以木棒所受浮力F为纵轴、木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A.x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的动能先增大后减小 B.x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小 C.x＝0.35 m和x＝0.45 m时，木棒的速度大小相等、方向相反 D.木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 机械振动 机械波 第1讲　机械振动 【复习目标】 1.认识简谐运动，理解简谐运动的表达式和图像。 2.知道单摆，理解并熟记单摆的周期公式。 3.认识受迫振动，了解产生共振的条件及其应用。 【考点突破】 考点一　简谐运动的基本特征 【知识梳理】 简谐运动的五个特征 受力特征 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反 运动特征 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大;远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小 能量特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒 周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称性特征 关于平衡位置O对称的两点，相对平衡位置的位移大小、加速度的大小、速度的大小、动能、势能均相等 【典例剖析】 角度1　简谐运动基本物理量的分析 例1 如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，当小球位于O点时，弹簧处于原长，在小球从C点运动到O点的过程中(　　) A.动能不断增大，加速度不断减小 B.回复力不断增大，系统机械能守恒 C.弹性势能不断减小，加速度不断增大 D.弹性势能不断增大，加速度不断减小 答案　A 解析　做简谐运动的小球，从C点到O点的过程中逐渐靠近平衡位置，弹簧弹力做正功，弹性势能不断减小，动能不断增大;同时由于偏离平衡位置的位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知F＝－kx＝ma，则加速度不断减小，故A正确，B、C、D错误。 【解题妙招】 以位移为桥梁分析简谐运动中各物理量的变化情况 (1)位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小;反之，则产生相反的变化，各矢量均在位移为零时改变方向。 (2)位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 角度2　简谐运动的周期性与对称性 例2 如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点历时1 s，质点通过N点后再经过1 s又第2次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为(　　) A.3 s、6 cm B.4 s、6 cm C.4 s、9 cm D.2 s、8 cm 答案　B 解析　简谐运动的质点，先后以同样的速度通过M、N两点，说明M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O的时间与由O到N的时间相等，则质点从平衡位置O到N点的时间t1＝0.5 s，因通过N点后再经过t＝1 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位移处的时间t2＝0.5 s，因此，质点振动的周期是T＝4(t1＋t2)＝4 s;这2 s内质点通过的总路程的一半即为振幅，所以振幅A＝＝6 cm，故B正确。 考点二　简谐运动的表达式和图像 【知识梳理】 1.简谐运动的振动方程和图像 (1)从平衡位置开始计时:x＝Asin ωt，如图甲所示。 (2)从最大位移处开始计时:x＝Acos ωt，如图乙所示。 (3)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。 2.由图像可获取的信息 (1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。 (2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。 (3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。 (4)某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。 (5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。 3.简谐运动的对称性(如图) (1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。 (2)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。 【典例剖析】 例3 (2024·河北卷，6)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x－t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为(　　) A.0.2 rad/s，1.0 m B.0.2 rad/s，1.25 m C.1.26 rad/s，1.0 m D.1.26 rad/s，1.25 m 答案　C 解析　根据题意可知，紫外光笔的光点在纸面上沿x轴方向做简谐运动，由ω＝＝2πn可得，圆频率ω＝0.4π rad/s≈1.26 rad/s，A、B错误;振动周期T＝＝5 s，由杆长为0.1 m知振幅A＝0.1 m，则运动路程s＝·4A＝×4×0.1 m＝1.0 m，C正确，D错误。 【即时训练】 1.(多选)(2025·山西晋中模拟)一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.该简谐运动的周期为5×10－2 s，振幅为28 cm B.该简谐运动的表达式为x＝14sin cm C.t＝0.5×10－2 s时质点的速度最大，且方向沿x轴负方向 D.t＝0.5×10－2 s时质点的位移为－7 cm 答案　BD 解析　由题图可知该简谐运动的周期T＝4×10－2 s，振幅A＝14 cm，A项错误;圆频率ω＝＝50π rad/s，且t＝0时刻，质点位于负向最大位移处，所以质点做简谐运动的表达式为x＝14·sin cm或x＝14sin cm，B项正确;t＝1×10－2 s时质点位于平衡位置，速度最大，且沿x轴正方向，C项错误;当t＝0.5×10－2 s时质点的位移为x＝14sin cm＝－7 cm，D项正确。 考点三　单摆及其周期公式 【知识梳理】 1.单摆的受力特征 (1)回复力:摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力 F回与位移x的方向相反。 (2)向心力:摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ。 (3)两点说明 ①当摆球在最高点时，v＝0，Fn＝m＝0，FT＝mgcos θ。 ②当摆球在最低点时，Fn＝m，Fn最大，FT＝mg＋m。 2.周期公式T＝2π的两点说明 (1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。 (2)g为当地重力加速度。 【典例剖析】 例4 (2024·甘肃卷，5)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大 B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零 C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同 D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同 答案　C 解析　根据题图可知，单摆的周期T＝1.0π s－0.2π s＝0.8π s，结合单摆的周期公式T＝2π可得单摆的摆长l＝1.6 m，起始时刻，单摆的位移最大，加速度最大，速度为零，A、B两点速度大小相等，方向相反，A、C两点速度相同，A、B、D错误，C正确。 例5 (2024·浙江6月选考，9)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直;当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，已知重力加速度g＝10 m/s2，则(　　) A.摆角变小，周期变大 B.小球摆动周期约为2 s C.小球平衡时，A端拉力为 N D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 答案　B 解析　由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆的周期与摆角无关，故摆角变小，周期不变，A错误;由于同一光滑细线上的拉力大小处处相等，则由题意可知，小球平衡时，细线A端拉力等于B端拉力，D错误;对平衡时的小球受力分析，如图所示，则由力的平衡条件可知FAcos 30°＋FBcos 30°＝mg，又FA＝FB，代入数据解得FA＝ N，C错误;由几何关系可知单摆的摆长l＝＝1 m，则由T＝2π可知小球摆动周期T≈2 s，B正确。 【即时训练】 2.(多选)如图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N。已知摆球质量m＝100 g，重力加速度g取9.8 m/s2，π2取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是(　　) A.单摆周期为0.8 s B.单摆摆长为0.64 m C.F的最小值Fmin＝0.96 N D.若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期不变 答案　BCD 解析　分析可知小球在最低点时摆线受到的拉力最大，在F－t图像上相邻的两次拉力最大的时间间隔刚好为单摆振动的半个周期，故T＝2×(1.3－0.5)s＝1.6 s，选项A错误;根据单摆的周期公式T＝2π可知单摆做简谐振动的周期与摆球的质量无关，只与摆长和当地的重力加速度有关，选项D正确;由T＝2π得l＝＝0.64 m，选项B正确;分析可知当摆球上升到最高点时对摆线的拉力最小，设此时摆线与竖直方向的夹角为θ，故Fmin＝mgcos θ，从最高点到最低点的过程中只有重力对摆球做功，摆球的机械能守恒，则有mgl(1－cos θ)＝mv2，在最低点根据牛顿第二定律有Fmax－mg＝m，联立解得Fmin＝＝0.96 N，选项C正确。 考点四　受迫振动和共振 【知识梳理】 简谐运动、受迫振动和共振的关系比较 　　振动 项目　　 简谐运动 受迫振动 共振 振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或 f驱＝f0 振动 能量 系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见 例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 【典例剖析】 例6 (2025·广东揭阳高三开学考)蜘蛛通过织出精巧的蜘蛛网来捕捉猎物，蜘蛛网是由丝线构成的，这些丝线非常灵敏，有研究表明，当有昆虫“落网”时，网上的丝线会传递振动信号，蜘蛛通过特殊的感知器官，如腿上的刚毛和体表的感压器，来接收和解读这些振动信号。若丝网的固有频率为200 Hz，则下列说法正确的是(　　) A.“落网”昆虫翅膀振动的频率越大，丝网的振幅就越大 B.当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网不振动 C.当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，丝网的振幅最大 D.昆虫“落网”时，丝网振动的频率与“落网”昆虫翅膀振动的频率无关 答案　C 解析　根据共振的条件可知，驱动力的频率等于系统的固有频率时，系统达到共振，振幅最大，故A错误;当“落网”昆虫翅膀振动的频率低于200 Hz时，丝网仍然振动，故B错误;当“落网”昆虫翅膀振动的周期为0.005 s时，其频率为f＝ Hz＝200 Hz，与丝网的固有频率相等，所以丝网的振幅最大，故C正确;受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以昆虫“落网”时，丝网振动的频率由“落网”昆虫翅膀振动的频率决定，故D错误。 【即时训练】 3.一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则(　　) A.此单摆的固有周期约为0.5 s B.此单摆的摆长约为1 m C.若摆长增大，单摆固有频率增大 D.若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 答案　B 解析　由题图可知，振幅最大时，此单摆的振动频率与固有频率相等，则有f＝0.5 Hz，可知此单摆的固有周期为T＝＝2 s，根据单摆周期公式T＝2π，可知此单摆的摆长为l＝≈1 m，故A错误，B正确;若摆长增大，由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故C、D错误。 【限时训练】（40min） 1.(2025·河北廊坊高三期末)弹簧振子完成一次全振动对应的物理过程如图所示，设振动的频率为f，下列说法正确的是(　　) A.振子由O点运动到B'点的过程中，速度减小得越来越快 B.振子由B'点运动到B点需要的运动时间为 C.振子由B'点运动到O点的过程中相对平衡位置的位移越来越大 D.振子完成一次全振动，平均速率为2Af 答案　A 解析　振子由O点运动到B'点的过程中，速度减小、加速度增大，则速度减小得越来越快，故A正确;振子由B'点运动到B点需要的运动时间为t＝，故B错误;振子由B'点运动到O点的过程中，相对平衡位置的位移越来越小，故C错误;振子完成一次全振动，平均速率为v＝＝4Af，故D错误。 2.小球做简谐运动，若从平衡位置O开始计时，经过0.5 s，小球第一次经过P点，又经过0.2 s，小球第二次经过P点，则再过多长时间该振子第三次经过P点(　　) A.1.0 s B.2.4 s C.0.8 s D.2.2 s 答案　D 解析　若小球从O点开始向指向P点的方向振动，作出示意图如图甲所示 则小球的振动周期为T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，则该小球再经过时间Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次经过P点;若小球从O点开始向背离P点的方向振动，作出示意图如图乙所示 则有0.5 s＋0.1 s＝T2，解得小球的振动周期为T2＝0.8 s，则该小球再经过时间Δt'＝T2－0.2 s＝0.6 s，第三次经过P点，故A、B、C错误，D正确。 3.(多选)(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)某种弹簧振子做简谐运动时，动能与弹性势能随时间变化的图像如图所示，下列说法中正确的是(　　) A.此弹簧振子在光滑的水平面上振动 B.t0时刻弹簧振子处在位移最大处 C.弹簧振子的周期为4t0 D.弹簧振子的周期为2t0 答案　AC 解析　由图像分析可得，弹簧振子做简谐运动过程中，只有动能和弹性势能相互转化，且机械能守恒，即只有弹簧的弹力做功，重力不做功，则弹簧振子在光滑的水平面上振动，A正确;t0时刻弹簧振子的动能最大，弹簧振子处在平衡位置处，B错误;动能从0增加到最大，时间为t0＝，因此弹簧振子的周期为4t0，C正确，D错误。 4.(2024·福建卷，2)某简谐运动的y－t图像如图所示，则以下说法正确的是(　　) A.振幅为2 cm B.频率为2.5 Hz C.0.1 s时速度为0 D.0.2 s时加速度方向竖直向下 答案　B 解析　由题图可知该简谐运动的振幅为1 cm，振动周期为0.4 s，由f＝可知，频率为2.5 Hz，A错误，B正确;0.1 s时，质点位于平衡位置，此时速度达到最大值，C错误;0.2 s时，质点位于负向最大位移处，加速度方向指向平衡位置，方向竖直向上，D错误。 5.如图甲所示，竖直悬挂弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达D点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x－t图像，则(　　) A.弹簧振子从D点经过O点再运动到C点为一次全振动 B.图乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向 C.弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m D.弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m 答案　D 解析　弹簧振子从D点经过O点运动到C点然后再经过O点回到D点为一次全振动，故A错误;题图乙中的P点时刻振子的速度方向沿负方向，加速度方向沿正方向，故B错误;由题图乙知，弹簧振子的周期为T＝1 s，弹簧振子的振幅为A＝0.1 m，则ω＝＝2π rad/s，规定竖直向下为正方向，振子到达D点开始计时，t＝0时刻位移为0.1 m，可知初相位为，则弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m，故C错误;弹簧振子在前2.5 s内的路程为s＝×4A＝10A＝1 m，故D正确。 6.在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为(　　) A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.9∶4 答案　C 解析　由题中振动图像可知甲、乙两个单摆周期之比为T甲∶T乙＝0.8∶1.2＝2∶3，根据单摆周期公式T＝2π，可得l＝，则甲、乙两个单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝∶＝4∶9，故C正确。 7.(2025·湖南常德高三期末)荡秋千是人们喜爱的一种运动，如图为一种秋千的原理图。绳子一端固定于O点，另一端系一个可视为质点的小球，在O点正下方钉一个钉子A，小球从左边某一位置由静止摆下，摆角θ<5°，g＝10 m/s2，O点离球心的距离为4 m，OA距离为3 m，此绳子拉力突然增加会导致绳子可能断裂，当小球摆动61 s时绳子突然断裂，则该绳子最多承受多少次拉力的突然增加(　　) A.11 B.20 C.21 D.31 答案　C 解析　根据单摆的周期公式可得，当摆长为l1＝4 m时其周期T1＝2π≈4 s，当摆长l2＝1 m时其周期T2＝2π≈2 s，由此可知摆球从左边最高点又回到左边最高点的时间为t＝≈3 s，该过程中摆线与钉子碰撞一次，即绳上的拉力突然增加一次，而根据题意，当小球摆动61 s时绳子突然断裂，则可知当摆线与钉子碰撞20次后又回到左侧最高点所用的时间为60 s，而从左侧最高点运动至最低点的时间为＝1 s，此时摆线与钉子发生第21次碰撞，绳子断裂，故C正确。 8.(多选)(2025·广东汕头高三期末)如图所示，振动桩锤是桩基础施工的重要设备之一。桩锤工作时引起桩身周围土体振动，使桩身和土体间的粘合度降低，从而减小沉桩阻力。下列说法正确的是(　　) A.针对不同土体，最有利于沉桩的桩锤振动频率可能不同 B.针对同种土体，桩锤的振动频率越大，桩身周围土体的振动幅度一定越大 C.桩锤稳定工作后，桩身周围无论哪种土体，其振动频率都与桩锤的振动频率相同 D.为保障打桩机机身的稳定，桩锤的振动频率应尽量接近机身的固有频率 答案　AC 解析　针对不同土体，由于系统的固有频率可能不同，所以最有利于沉桩的桩锤振动频率可能不同，故A正确;根据共振条件可知，当驱动力频率等于固有频率时，做受迫振动的振幅最大，则针对同种土体，桩锤的振动频率越大，桩身周围土体的振动幅度不一定越大，故B错误;做受迫振动的频率等于驱动力的频率，可知桩锤稳定工作后，桩身周围无论哪种土体，其振动频率都与桩锤的振动频率相同，故C正确;为保障打桩机机身的稳定，桩锤的振动频率应尽量远离机身的固有频率，故D错误。 9.某种减噪装置结构如图所示，通过装置的共振可吸收声波。已知其固有频率为f0＝(SI制)，其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度。经测试发现它对频率为200 Hz的声音减噪效果最强，若外界声波频率由200 Hz变为300 Hz，则(　　) A.系统振动频率为200 Hz B.系统振动频率为300 Hz C.为获得更好减噪效果，可仅增大L的大小 D.为获得更好减噪效果，可仅换用σ更大的薄板 答案　B 解析　系统做受迫振动，振动时的频率等于驱动力的频率，即为300 Hz，故A错误，B正确;由于驱动力的频率大于系统的固有频率，在驱动力的频率一定时，为获得更好减噪效果，应使系统的固有频率增大，由f0＝(SI制)可知，应减小σ或L，故C、D错误。 10.(2024·北京卷，9)如图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　) A.t＝0时，弹簧弹力为0 B.t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方 C.从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大 D.a随t变化的关系式为a＝4sin(2.5πt) m/s2 答案　D 解析　由题图乙可知，t＝0时，手机加速度为0，则此时手机所受合力为0，可知此时弹簧弹力大小F＝mg，A错误;由题图乙可知，t＝0.2 s时，手机加速度向上，则此时弹簧弹力向上且大于重力，由胡克定律可知，此时弹簧伸长量大于平衡位置弹簧的伸长量，故此时手机处于平衡位置下方，B错误;从t＝0至t＝0.2 s，手机由平衡位置向下运动，又合力方向向上，则合力对手机做负功，由动能定理可知，该过程手机的动能减小，C错误;由题图乙可知ω＝rad/s＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin(2.5πt) m/s2，D正确。 11.在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在A、B两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为k＝10 N/m，振子的质量为0.1 kg，白纸移动速度为0.4 m/s，弹簧弹性势能的表达式为Ep＝ky2，不计一切摩擦。在一次实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是(　　) A.该弹簧振子的振幅为16 cm B.该弹簧振子的周期为0.25 s C.该弹簧振子的最大加速度为8 m/s2 D.该弹簧振子的最大速度为1.6 m/s 答案　C 解析　振幅为振子偏离平衡位置的最大距离，故该弹簧振子的振幅为8 cm，A错误;一个周期内白纸移动距离l＝20 cm，则该弹簧振子的周期T＝＝0.5 s，B错误;该弹簧振子的最大加速度a＝＝8 m/s2，C正确;由系统机械能守恒定律得kA2＝m，解得弹簧振子的最大速度vm＝A＝0.8 m/s，D错误。 12.(多选)(2024·河南焦作市检测)下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动;与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图(a)所示。以木棒所受浮力F为纵轴、木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A.x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的动能先增大后减小 B.x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小 C.x＝0.35 m和x＝0.45 m时，木棒的速度大小相等、方向相反 D.木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为 答案　ABD 解析　由简谐运动的对称性可知，水平位移为0.1 m、0.3 m、0.5 m时木棒处于平衡位置;x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，故A正确;x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒从平衡位置上方向平衡位置移动，加速度竖直向下，大小逐渐减小，故B正确;x＝0.4 m时木棒位于最低点，x＝0.35 m和x＝0.45 m时，由图像的对称性知浮力大小相等，说明木棒在最低点上方相同距离处，木棒在竖直方向的速度大小相等、方向相反，而两时刻木棒在水平方向的速度相同，所以合速度大小相等、方向不是相反，故C错误;木棒在最低点时有F1＝ρSgh1，在最高点时有F2＝ρSgh2，其中h1－h2＝2A，故振幅A＝，故D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$