浙江省七彩阳光新高考研究联盟2026届高三上学期返校联考数学试题

{QQABDQQ9wgiwgBaACT5KE0VKCUkQkIMgJYoEgUCSqAQDyRNIFIA=}#}{# B YQg CgABBAABhCEwXaCEKQkACAAaoGAFAYoAABSB BAA=}#} 高三数学 答案 第1页 共 8 页 2025 学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考 高三数学 答案 一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题 目要求.） 1.C【解析】B = − − −， ， ，，{ 13 6 1 2 3}，所以 A B = ，{2 3}，故选 C. 2.A【解析】 z z z z1 1= + = − + = − + i i i i，所以 z1| |= 2 ,故选 A. 3.B【解析】若 x ln 0，则 x 1，当 x =1时， 1e 3，所以不能得出 x e 3；若 x e 3，即 x e eln3， 即 x  ln 3 1，此时 x ln 0，所以“ x ln 0”是“ x e 3”的必要不充分条件，故选 B. 4.D【解析】向量 a在向量 b方向上的投影向量为 1 2 b ，所以 a a b= − =| | | | 4，所以 a b− =2( ) 16 2 2 2= + − a b a b ，得a b = 2， a b a b− = − = − + =2| 2 | (2 ) 64 8 4 2 15 ，故选 D. 5.B【解析】设点 M 在准线 l 上的射影为 E，由抛物线的定义得 = = + =| | | | 3 2 2 2ME MF p p p， | |=NF p，又因为四边形MENF为直角梯形，易得 =| | 3EN p，所以 = +MN ME NE| | | | | |2 2 2 ， 即 p p+ = 2 2(2 ) ( 3 ) 21，解得 p = 3 ，故选 B. 6.A【解析】由 f =(0) 2 3 得a = 2 3 ， = +  +   f x x x ( ) sin 2 3 1 cos 2 x= + +2sin( π 3 ) 3 ， 令 f x =( ) 0 得 x + = −sin( π 3 ) 3 2 ，即 (2 1)π  ，x k k= + Z 或 (2 4 3 )π  ，x k k= + Z ，因为 f x( ) 在 ，[0 π]上没有零点，且  0，所以   π π，得  0 1.故选 A. 7.D【解析】由 − −− = − −1 2e e 1 2a b a b得 − −+ − = + −a ba b1 2e ( 1) e ( 2 )，易知函数 ( ) = +xf x e x单调 递增，所以 − = −1 2a b，即a b+ =2 1， + = + + = + 1 1 1 2 2 2 b ab b a b ab a b = + + a b a b( 2 2 )( 2 ) = +6 4b a + a b b a a b  +  = + 2 6 2 4 2 6 4 2 ，当且仅当 = 4 2b a a b ，即 ，a b= − = −2 1 1 2 2 时，等 号成立.故 + 1 1 b ab 的最小值为 +6 4 2 8.B . 故选 D.微信公众号：隅数 【 解 析 】 由 f x f x− + + =(3 ) (1 ) 2 得 函 数 f x( ) 的 图 象 关 于 点 ，(2 1) 对 称 ， 因 为 − −   f x f y x y x y ( ) ( ) 0( ) ，所以 f x( ) 单调递增，故 x  ，[1 3]， f x(2 ln ) + f a x− ( ) 1恒成立， 即 x a x+ −  2ln ( ) 2 2，即2ln 4− −  −x x a在 ，[1 3]上恒成立，设 ，g x x x x= − −  ( ) 2ln 4 (1 3) ， 高三数学 答案 第2页 共 8 页 则 ( ) 2  = − g x x x ，当 x ，(1 2)时，g x ( ) 0，g x( )单调递增；当 x ，(2 3)时，g x ( ) 0，g x( ) 单调递减；所以 a g−  = −(2) 2ln 2 6 ，即 a  −6 2ln 2 ，所以实数 a 的取值范围为 ，− −( 6 2ln 2]，故选 B. 二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分.） 9.AC【解析】 a + + + + =10 ( 0.040 0.005 0.010 0.025) 1，解得a = 0.020，A 正确；这 100 名员 工年龄的众数的估计值为 + = 40 50 2 45，B 错误；因为前 2 组的频数之和为 35，前 3 组的频数为 75，所以中位数 y 在第 3 组 ，[40 50) 中，所以 y − = −40 10 0.50 0.35 0.4 ，解得 y = 43.75，C 正确； 这 100 名员工中，年龄在 ，[20 30) 内的有   =100 0.010 10 10人，从这 100 名员工中任取两人， 两人的年龄都在 ，[20 30) 内的概率为 C C =10 2 100 2 1 110 ，D 错误.故选 AC. 10.ABD【解析】在方程 x y y+ =2 | | 1中用− x替换 x 方程不变，所以曲线 C 关于 y 轴对称，A 正 确； ， ， ， C x y y x y y 2 2 2 2 : 1 0 1 0 + =  − =      ，设 ，P x y0 0( )，当 y 0 0时，x y+ =0 2 0 2 1， =PA| |2 + +x y( 1)0 0 2 2 = − y1 0 2 y y y+ + + = + 0 2 0 02 1 2 2 2 ，此时 PA | | 2 ；当 y 0 0 时， x y− =0 2 0 2 1 ， =PA| |2 + + =x y( 1)0 0 2 2 y y y y y+ + + + = + +0 2 0 2 0 0 2 01 2 1 2 2 2 y= + + 0 22[( 1 2 ) 3 4 ] 3 2 ，此时 PA | | 6 2 ， 所以点 P 到点 A ，−(0 1)的距离的最小值为 6 2 ，B 正确；由题可得曲线 C 由圆 x y+ =2 2 1在 x 轴上方的半圆和双曲线 x y− =2 2 1在 x 轴下方的部分构成，因为直线 : (l y x m m= + R）与双 曲线 x y− =0 2 0 2 1的渐近线平行（当m = 0时重合），当m 0或m = 2 时，直线 l 与曲线 C 只 有 1 个交点；当 m 0 2 时，直线 l与曲线 C有 2 个交点，当m  2 时，直线 l 与曲线 C没 有交点. 所以直线 l与曲线 C 至多有 2 个交点，C 错误；当 y 0 0时， 易得曲线 C 上横、纵坐 标均为整数的点 P有 − ，( 1 0)， ，(1 0) 和 ，(0 1) ；当 y 0 0时，x  −0 1或 x 0 1，此时 x y− =0 2 0 2 1， 即 x y x y+ − =0 0 0 0( )( ) 1，即 + = − x y x y 1 0 0 0 0 ，假设 ，x y0 0 Z，则 x y0 0+ Z，x y0 0− Z ， 当且仅当 x y− = 0 0 1时， x y 1 0 0− Z ，所以 ，x y x y 0 0 0 0 1 1 + = − =    或 ，x y x y 0 0 0 0 1 1 + = − − = −    ，得 ，x y 0 0 1 0 = =    或 ，x y 0 0 1 0 = − =    ，与 y 0 0矛盾，所以当 y 0 0时，不存在 横、纵坐标均为整数的点 P，综上可得满 足横、纵坐标均为整数的点 P有且仅有 3 个，D 正确.故选 ABD.微信公众号：隅数 高三数学 答案 第3页 共 8 页 11. ACD【解析】设正三棱柱 111 CBAABC − 上底面 111 CBA ，下底面 ABC的中心分别为 21 OO， ，则 该三棱柱外接球球心 O 为 21OO 的中点，则 71 === OAOBOA ，因为 1OAOAOBOA = ， 所以 1coscos AOAAOB = ，故 1AOB AOA = ，所以 ABAA =1 ，设 aAB 2= ，易得 aAO 3 32 = ，又 22 2 2 2 AOOOAO =+ ，即 7) 3 32 ( 22 =+ aa ，解得 3=a ，所以 321 == AAAB ， =AOBcos 7 1 772 1277 =  −+ ， ||OAOBOA = 1cos|| =AOBOB ，所以 1=k ，A 正确；分 别取棱 11CBBC， 上的点 NM， ，使 332 2 1 1 === NBBM ，当 2 1 = 时，点 P 位于线段 MN 上，将矩形 BMNB1 绕 MN 旋转，使之与矩形 1 2OO MN 在同一平面上，则当点 BPO ，， 共 线时， BPOP+ 取得最小值，最小值为 194)3( 22 =+ ，B 错误；设 BA1 中点为E，当点 P位 于 CC1 中点时，此时 PBPA =1 ，所以 BAPE 1⊥ ，又 11 ABBA ⊥ ，所以 ⊥BA1 平面 1PAB，C 正确； 当 1=+ μλ 时，点 P 在线段 CB1 上，点 O 到直线 AP 的距离的最小值为即点 O 到平面 CAB1 的距 离，在三棱锥 CABO 1− 中， 71 === OBOCOA ， 6211 ==CBAB ， 32=AC ， 4 14 ) 2 ( sin 1 22 1 1 = − = AB AC AB ACB ，设 CAB1△ 的外接圆半径为 R，则 R2 4 14 62 = ，得 7 214 =R ， 所以点 O 到平面 CAB1 的距离 7 722 =−= ROAd ，即点 O 到直线 AP 的距离的最小值为 7 7 ，D 正确，故选 ACD. 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.） 12. 7− 【 解析】 10 2 sinsincoscos)cos( −=−=+ βαβαβα ，因为 ) 2 π 0( ，， βα ，所以 )π0( ，+ βα ，故 10 27 )(cos1)sin( 2 =+−=+ βαβα ，所以 7)tan( −=+ βα . 高三数学 答案 第4页 共 8 页 13. 2025 2024 【解析】因为数列 } 1 { nT 是公差为 1 的等差数列，又 1 11 11 == aT ，所以 nn Tn =−+= )1(1 1 ， 故 n Tn 1 = ， 所以 2025 2024 2024 2025 2025 == T T a . 14.2【解析】设 1 2 )( −−= a xxg ，则 )(xg 的图象关于点 )01 2 ( ，+ a 对称，设 )(log)( 2 xb ax xh − − = ， 则 ) ) 2 ( 2 ) 2 ( 2(log)( 2 ba x ab ba x ab xh + −− − + −+ − = ，因为 ba  ，易得函数 ) 2 2(log)( 2 x ab x ab xk − − + − = 为奇函数， 其图象关于原点对称，所以 )(xh 的图象关于点 )0 2 ( ， ba + 对称，又 )(xf 的图象存在对称轴，所 以 2 1 2 baa + =+ ，得 2=b . 四、解答题（本大题共 5小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【解析】 （1）证明：取 AB中点 H，连接 EH，FH， 因为 E，F 分别为棱 CD和 PB 的中点， ABCD为平行四边形， 所以 PAFHADEH //// ， ， ..............1 分 又因为 AD 平面PAD，所以 //EH 平面PAD， 同理 //FH 平面PAD， ..................3 分 又 HFHEH = ， 所以平面 //EHF 平面PAD， ...............4 分 因为 EF 平面EHF ， 所以 //EF 平面PAD . ..................5 分 （2）连接 PE，AE，因为平面 ⊥PCD 平面 ABCD， CDPE⊥ ， 所以 ⊥PE 平面 ABCD，因为 222 == ADDE ， ， 4 π =CDA ，易得 CDAE ⊥ ， 所以三条直线 EPECEA ，， 两两垂直， ............................7 分 以 E为坐标原点， EPECEA ，， 所在直线分别为 zyx ，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 )000( ，，E ， )3200( ，，P ， )020( ，，C ， )042( ，，B ， )321( ，，F ，................9 分 设平面PBC的一个法向量为 )( zyx ，，=m ， 则     = = 0 0 PC PB m m ， ，即     =− =−+ 0322 03242 zy zyx ， ，令 1=z 得 33 =−= yx ， ， E D C B A P F H z y x 第 15 题解图 高三数学 答案 第5页 共 8 页 所以 )133( ，，−=m ， ..........................................11 分 又 )321( ，，=EF ，所以 14 42 87 32 |||| || |cos| =  =  = EF EF EF m m m， ， 所以直线 EF与平面PBC所成的角的正弦值为 14 42 . ............................13 分 16.【解析】 （1）设事件 A：第二局小明获胜；事件 B：小明以 1:2 获胜. ...........................1 分 则 8 1 2 1 4 1 3 2 4 1 2 1 3 1 )( =+=BP ， ........................................3 分 12 1 2 1 4 1 3 2 )( ==ABP ， .........................................5 分 所以 3 2 )( )( )|( == BP ABP BAP . ........................................7 分 （2）ξ 的可能取值为 0，1，2， ...........................................8 分 2 1 4 3 3 2 )0( ===ξP ； 24 5 2 1 4 1 3 2 4 3 2 1 3 1 )1( =+==ξP ； 24 7 2 1 4 1 3 2 4 1 2 1 3 1 2 1 3 1 )2( =++==ξP ； ..................................11分 所以ξ 的分布列为： ....................13 分 24 19 24 7 2 24 5 1 2 1 0)( =++=ξE . ........................................15 分 17.【解析】 （1）设 AB中点为 D，则 3=CD ， 2== BDAD ， ..............................1 分 因为 CDACDB −= π ，所以 CDACDB −= coscos ， 所以 ADCD bADCD BDCD aBDCD  −+ −=  −+ 22 222222 ，即 12 49 12 49 22 ba −+ −= −+ 得 26 22 =+ba ， .............................3 分 又 Cabbac cos2 222 −+= ，即 ab−= 2616 ，得 10=ab ， .......................5 分 ξ 0 1 2 P 2 1 24 5 24 7 高三数学 答案 第6页 共 8 页 所以 2 35 2 3 10 2 1 sin 2 1 Δ === CabS ABC . .............................6 分 （2）未修订条件： 因为 abc 22 = ，由正弦定理得 BAC sinsin2sin 2 = ，得 8 3 sinsin =BA ， ..........8 分 又 Cabbac cos2222 −+= ，即 abbac −+= 222 ，得 abcba =−+ 222 ，...........10 分 由正弦定理得 BACBA sinsinsinsinsin 222 =−+ ， 即 8 9 8 3 4 3 sinsin 22 =+=+ BA ， .............................12 分 所以 8 3 8 3 2 8 9 sinsin2sinsin)sin(sin 222 =−=−+=− BABABA ， ............14 分 因为 ABC△ 为锐角三角形，且 ca  ，所以 3 π 2 π = CA ， 又 π=++ CBA ，所以 3 π B ， 所以 0 2 π  BA ，故 BA sinsin  ， 所以 4 6 8 3 sinsin ==− BA . ..........................15 分 修订条件后： （2）因为 2 6 5 c ab= ，由正弦定理得 BAC sinsin 5 6 sin 2 = ，得 8 5 sinsin =BA ， ..........8 分 又 Cabbac cos2222 −+= ，即 abbac −+= 222 ，得 abcba =−+ 222 ，...........10 分 由正弦定理得 BACBA sinsinsinsinsin 222 =−+ ， 即 8 11 8 5 4 3 sinsin 22 =+=+ BA ， 所以 8 1 8 5 2 8 11 sinsin2sinsin)sin(sin 222 =−=−+=− BABABA ， ............12 分 因为 ABC△ 为锐角三角形，且 ca  ，所以 3 π 2 π = CA ， 又 π=++ CBA ，所以 3 π B ， 所以 0 2 π  BA ，故 BA sinsin  ， .........................14 分 所以 4 2 8 1 sinsin ==− BA . ..........................15 分 说明：因本题在命制过程中，未注意到由 abc 2 2 = 和 3 π =C 推出的三角形为钝角三角形，发现问题 高三数学 答案 第7页 共 8 页 修订后，考试已剩 10几分钟结束，未来得及修改的学生的答案可能会有 4 6 和 4 6 − 及 4 6  等情 况，经商议，在阅卷中这几种答案和修改条件后的答案 4 2 均给分。由此给各位老师带来的困扰， 深表歉意！也希望各位老师多多提出宝贵意见，以利于我们工作的改进。谢谢大家！ 18.【解析】 （1）当 e=a 时， x x xf e e ln)( −= ， x x xf e 1 )( −= ， .........................2 分 因为 e1)1( −=f ， e1)1( −−=f ， 所以曲线 )(xfy = 在 1=x 处的切线方程为 )1)(e1()e1( −−=−−− xy ， 即 02)e1( =−−− yx .....................................4 分 （2）证明： )(xf 的定义域为 )0( +， ， 1e 1 )( −−= xa x xf ， 令 1e 1 )( −−= xa x xk ，则 1 2 e 1 )( −−−= xa x xk ，因为 10  a ，所以 0)(  xk ， 故 )(xk （即 )(xf  ）单调递减， 因为 10  a ，所以 01)1( −= af ， 0)e1() 1 ( 1 1 −= − a a a f ， 故存在唯一的 ) 1 1(0 a x ， ，使得 0)( 0 = xf ，即 0 1 1 e 0 ax x = − ， .....................6 分 当 )0( 0xx ， 时， 0)(  xf ， )(xf 单调递增；当 )( 0 + ，xx 时， 0)(  xf ， )(xf 单调递 减，所以 )(xf 的最大值为 0 010 0 1 lneln)( 0 xa x a a x xf x −=−= − ， ................8 分 令 ) 1 1( 1 ln)( a x xa x xq −= ， 0 11 )( 2 += xx xq ，所以 )(xq 为增函数， 因为 ) 1 1(0 a x ， ，所以 aa a qxq −−= ln2) 1 ()( 0 ， 所以当 10  a 时， aaxf −− ln2)( .得证. ........................10 分 高三数学 答案 第8页 共 8 页 （3） )(xf 的定义域为 )0( +， ，则 01eln1)( 1 +−=+ −xa a x xf 恒成立， 即 01elnln 1 +−− −xaax ，等价于 1elnln 1 −+++ − xaaxx x 恒成立， 等价于 1lneeln 1lnln −+++ −+ xax xax 恒成立， .........................12 分 设 xxxF e)( += ，则 )1(ln)(ln −+ xaFxF 恒成立， 因为 0e1)( += xxF ，所以 )(xF 为增函数， 所以 1lnln −+ xax 恒成立，即 1lnln +− xxa 恒成立， ......................14 分 设 )0(1ln)( +−= xxxxh ，则 x x xh − = 1 )( ， 当 )10( ，x 时， 0)(  xh ， )(xh 单调递增；当 )1( + ，x 时， 0)(  xh ， )(xh 单调递减； 可得 )(xh 在 1=x 处取得极大值即为最大值 0)1( =h ， ..........................16 分 所以 0ln a ，得 )1[ + ，a ， 故实数 a 的取值范围为 )1[ +， . .......................................17 分 19.【解析】 （1）由题， 01 + nn aa ，所以 1 1 2 2 e + + −== n nn a aa ，得 nn aa 21 =+ ， 所以数列 }{ na 是公比为 2 的等比数列， .......................................1 分 又 )0( 11 aH ， ， )0( 21 ，aA − ， )0( 21 ，aB ，则 )( 1211 aaAH −−= ， ， )( 1211 aaBH −= ， ， 242)( 2121211111 ==−−= aaaaaaBHAH ，得 821 =aa ， 又 12 2aa = ，所以 82 2 1 =a ，解得 21 =a ， ......................................3 分 所以 nn na 222 1 == − . ........................................4 分 （2）（i）因为 )( nnn yaP ， 为椭圆 nC 上位于第一象限内的点，所以 1 2 1 =+ + n n n n a y a a ， 由（1）知 n na 2= ，所以 12 2 2 2 −== n n ny ，得 12 −= nny ， 设直线 mxyFE nn += 2 2 : ，与椭圆 1 22 : 2 1 2 =+ + nnn yx C 联立 高三数学 答案 第9页 共 8 页        += =+ + mxy yx nn 2 2 1 22 2 1 2 ， ，得 022 22 =−++ nmmxx ， .................................6 分 由 0)2(42 22 −−= nmm ，得 12 2 + nm ， ...................................7 分 设 )()( 2211 yxFyxE nn ，，， ， 则 nmxxmxx 22 22121 −=−=+ ， ， =+ nnnn FPEP kk = − − + − − −− n n n n x y x y 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 )2)(2( )2)(2()2)(2( 21 1 1 22 1 1 nn nnnn xx xyxy −− −−+−− −− ， ........................................8 分 分子 mxxmxx nnn 21221 1 21 22))(2(2 +++ −++−+= 0222222 21222122 =−++−−= ++++ mmmm nnnn ， 所以求直线 nnEP 与 nnFP 的斜率之和为 0. ...................................10 分 （ii）由（i）知直线 mxyFE nn += 2 2 : ，且 12 2 + nm ，此时， nmxxmxx 22 22121 −=−=+ ， ， 因为 2 1 2|| + = n nn OFOE ，所以 2 1 1221 2|| + =− n yxyx ， ..........................12 分 即 2 1 1221 2|) 2 2 () 2 2 (| + =+−+ n mxxmxx ， 即 2 1 21 2|||| + =− n xxm ，即 1221 2 21 2 2]4)[( +=−+ nxxxxm ， 得 122222 2)242( ++ =+− nnmmm ，解得 nm 2= ， .........................14 分 所以直线 n nn xyFE 2 2 2 : = ，故 12 += nnb ， 故 1 22 )1( 2 1 1 1)11( 1 12 1 2 2 2102 + −= + = −++  −+ = − = − nnnnb nnn nn n CCC ，..........16 分 所以 2 1 2 2) 1 11 3 1 2 1 2 1 1(2 2 2 1 2  + −= + −++−+− −  = nnnb n i i  .得证. ............17 分