专题1.8 三角形（章节复习）知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.8 三角形（章节复习） （知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题 ） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：三角形的概念 2 知识点梳理02：三角形的分类 3 知识点梳理03：三角形的三边关系 3 知识点梳理04：三角形的中线 4 知识点梳理05：三角形的角平分线 4 知识点梳理06：三角形的高 4 知识点梳理07：三角形内角和定理 4 知识点梳理08：三角形的外角 5 知识点梳理09：全等三角形 5 知识点梳理10：全等三角形的性质 6 知识点梳理11：全等变换 6 知识点梳理12：基本事实“边角边”（SAS） 6 知识点梳理13：基本事实“角边角”（ASA） 7 知识点梳理14：“角边角”的推论“角角边”（AAS） 7 知识点梳理15：基本事实“边边边”（SSS） 7 知识点梳理16：三角形的稳定性 7 知识点梳理17：线段垂直平分线的定义及其性质 7 知识点梳理18：角的平分线的性质 8 优选题型 考点讲练 9 考点1：与平行线有关的三角形内角和问题 9 考点2：与角平分线有关的三角形内角和问题 10 考点3：三角形折叠中的角度问题 10 考点4：三角形内角和定理的应用 11 考点5：确定第三边的取值范围 13 考点6：三角形内角和定理的证明 14 考点7：三角形的外角的定义及性质 15 考点8：全等三角形的性质 16 考点9：尺规作图—作三角形 16 考点10：全等的性质与SSS综合 17 考点11：全等的性质与SAS综合 18 考点12：全等的性质与ASA或者AAS综合 19 考点13：添加条件使三角形全等 20 考点14：灵活选用判定方法证明三角形全等 21 考点15：结合尺规作图的全等问题 21 考点16：倍长中线模型证明三角形全等问题 22 考点17：全等三角形的综合问题 23 考点18：线段垂直平分线的性质 25 考点19：作已知线段的垂直平分线 25 考点20：作垂线（尺规作图） 26 考点21：角平分线的性质定理 27 考点22：角平分线性质的实际应用 28 考点23：作角平分线（尺规作图） 29 中考真题 实战演练 29 难度分层 拔尖冲刺 31 基础夯实 31 培优拔高 32 知识点梳理01：三角形的概念 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形． 2. 基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角． 3. 表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示． 知识点梳理02：三角形的分类 1. 等腰三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2. 三角形的分类 （1）按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识点梳理03：三角形的三边关系 1. 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 3. 三角形具有稳定性． 知识点梳理04：三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形内部． 知识点梳理05：三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部． 知识点梳理06：三角形的高 1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高． 2. 三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 知识点梳理07：三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°.． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点梳理08：三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 知识点梳理09：全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 知识点梳理10：全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点梳理11：全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 知识点梳理12：基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点梳理13：基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点梳理14：“角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点梳理15：基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点梳理16：三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 知识点梳理17：线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 知识点梳理18：角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3. 尺规作作已知角的平分线：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 考点1：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【变式训练】（22-23七年级下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知，，．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 考点2：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 考点3：三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 【变式训练】（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 考点4：三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）【问题背景】 如图，直线与直线分别交于点平分交于点 ． 【问题探究】 （1）求证：； （2）如图1，点、分别是射线、上的点，连接，若，判断与的位置关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图2，点是射线上一点，连接，的平分线与的平分线交于点，连接．若，求的度数． 【变式训练】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知：如图，，，． (1)若，求的度数； (2)与有怎样的数量关系，请说明理由． 考点5：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，在中，，． (1)若的长是整数，则最长是多少 (2)若，，，求的度数． 【变式训练】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 考点6：三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（1）如图（1），DE∥AB，求证：三角形的三个内角（即、、）之和等于； （2）如图（2），求证：； （3）如图（3），，，交的平分线于点，，求． 【变式训练】（22-23八年级上·广西河池·期中）已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 考点7：三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，分别是延长线上的点，连接与交于点．下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中所有正确结论的序号为 ． 考点8：全等三角形的性质 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【变式训练】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，，一直线经过点，动点从点出发沿路径向终点运动，动点从点出发沿路径向终点运动，点，分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点，作，作于点，于点那么点运动 秒时，． 考点9：尺规作图—作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a和，求作，使，，根据作图痕迹补全作法．      作法： (1)作________； (2)以点________为圆心，以________的长为半径在射线上画弧，交于点B； (3)以点________为顶点作________，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 【变式训练】（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 考点10：全等的性质与SSS综合 【典例精讲】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，已知，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图①，在中，是的中点，，分别为垂足．求证：． 证明：如图②，连接． 是的中点， ______． ， ______（______）， ． ， ． (1)将上面的证明过程补充完整； (2)用不同的方法证明：． 考点11：全等的性质与SAS综合 【典例精讲】（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 考点12：全等的性质与ASA或者AAS综合 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·期末）（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 【变式训练】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点D是等腰外一点,与相交于是线段上一点,． (1)求证：． (2)求证：． 考点13：添加条件使三角形全等 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为，则在下列条件中选择一个就可以判定的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式训练】（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 考点14：灵活选用判定方法证明三角形全等 【典例精讲】（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）给出以下说法：①三条线段组成的图形叫三角形，②三角形的高交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，③有两边和一角分别相等的两个三角形全等，④形状相同的两个三角形全等，⑤有两角和一边分别相等的两个三角形全等，其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）如图①，，请用圆规在的另一边找到点，使，这样的点有 个，说明符合条件的三角形有 种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形 全等； （2）如图②，已知是钝角三角形，若，且，则一定是 （填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 考点15：结合尺规作图的全等问题 【典例精讲】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【变式训练】（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点16：倍长中线模型证明三角形全等问题 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 考点17：全等三角形的综合问题 【典例精讲】24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【变式训练】（2021八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 考点18：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； (2)连接，求证：． 考点19：作已知线段的垂直平分线 【典例精讲】在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠DAE＝20°，则∠BAC＝ °． 【变式训练】（20-21八年级上·北京平谷·期末）在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连结CD． 请回答：若BC=DC，∠B=100°，则∠ACB的度数为 ． 考点20：作垂线（尺规作图） 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在 与中，，直角边与交于E． (1)求作：线段，使，交于点 F．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，延长线段、和，求证：、、必相交于同一点． 考点21：角平分线的性质定理 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分平分，连接，作，则的面积是 ． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知在和中，，交于点F，连接．下列结论：①；②平分；③．其中正确的是 （填序号）． 考点22：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【变式训练】（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点23：作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 【变式训练】（2025·海南·模拟预测）如图，直线，直线分别交，于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线交于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 4．（2023·四川资阳·中考真题）如图，，交于点F，则 ．    5．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 4．（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，，． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 培优拔高 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（21-22七年级下·福建福州·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求线段的长． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 三角形（章节复习） （知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题 ） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：三角形的概念 2 知识点梳理02：三角形的分类 2 知识点梳理03：三角形的三边关系 3 知识点梳理04：三角形的中线 3 知识点梳理05：三角形的角平分线 4 知识点梳理06：三角形的高 4 知识点梳理07：三角形内角和定理 4 知识点梳理08：三角形的外角 5 知识点梳理09：全等三角形 5 知识点梳理10：全等三角形的性质 5 知识点梳理11：全等变换 6 知识点梳理12：基本事实“边角边”（SAS） 6 知识点梳理13：基本事实“角边角”（ASA） 6 知识点梳理14：“角边角”的推论“角角边”（AAS） 7 知识点梳理15：基本事实“边边边”（SSS） 7 知识点梳理16：三角形的稳定性 7 知识点梳理17：线段垂直平分线的定义及其性质 7 知识点梳理18：角的平分线的性质 8 优选题型 考点讲练 8 考点1：与平行线有关的三角形内角和问题 8 考点2：与角平分线有关的三角形内角和问题 11 考点3：三角形折叠中的角度问题 14 考点4：三角形内角和定理的应用 16 考点5：确定第三边的取值范围 19 考点6：三角形内角和定理的证明 23 考点7：三角形的外角的定义及性质 25 考点8：全等三角形的性质 26 考点9：尺规作图—作三角形 29 考点10：全等的性质与SSS综合 30 考点11：全等的性质与SAS综合 32 考点12：全等的性质与ASA或者AAS综合 34 考点13：添加条件使三角形全等 37 考点14：灵活选用判定方法证明三角形全等 39 考点15：结合尺规作图的全等问题 41 考点16：倍长中线模型证明三角形全等问题 43 考点17：全等三角形的综合问题 47 考点18：线段垂直平分线的性质 53 考点19：作已知线段的垂直平分线 55 考点20：作垂线（尺规作图） 57 考点21：角平分线的性质定理 60 考点22：角平分线性质的实际应用 61 考点23：作角平分线（尺规作图） 64 中考真题 实战演练 66 难度分层 拔尖冲刺 70 基础夯实 70 培优拔高 75 知识点梳理01：三角形的概念 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形． 2. 基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角． 3. 表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示． 知识点梳理02：三角形的分类 1. 等腰三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 ,另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 2. 三角形的分类 （1）按边分类 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 （2）按角分类直角三角形 三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识点梳理03：三角形的三边关系 1. 定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 3. 三角形具有稳定性． 知识点梳理04：三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形内部． 知识点梳理05：三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部． 知识点梳理06：三角形的高 1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高． 2. 三角形的三条高的特性 名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 知识点梳理07：三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°.． 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°． 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4． 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D． 知识点梳理08：三角形的外角 1. 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2. 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3. 三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 知识点梳理09：全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 知识点梳理10：全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点梳理11：全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 知识点梳理12：基本事实“边角边”（SAS） 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点梳理13：基本事实“角边角”（ASA） 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点梳理14：“角边角”的推论“角角边”（AAS） 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点梳理15：基本事实“边边边”（SSS） 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 知识点梳理16：三角形的稳定性 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 知识点梳理17：线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 知识点梳理18：角的平分线的性质 1. 定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 3. 尺规作作已知角的平分线：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 考点1：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（22-23七年级下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知，，．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】（1）的延长线交于点，可求，从而可求，即可求解； （2）延长交于点，可求，从而可求，即可求证． 【规范解答】（1）解：如图，的延长线交于点，，    ，， ， ， ， ； （2）证明：，理由如下： 如图，延长交于点，    由（1）知，， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，理解定义，掌握性质是解题的关键． 考点2：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；理由见解析 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ②根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【规范解答】（1）解：，， 又∵， ； （2）解：①，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ②；理由如下： 根据“8字形”数量关系，，， ∴，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，， ． 【变式训练】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的角平分线、中线、高以及角的相关性质与运算，同时还考查了等积法． 解题的关键在于对三角形相关知识的熟练掌握与灵活应用． 【规范解答】① 是的中线， ， 的周长， 的周长， 的周长的周长， 故①说法正确； ②在中，， ， ， ， 又 ，，，是角平分线， ， ， 故②说法不正确； ③ ，是的高， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 故③说法正确； ④ ，是的高， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 故④说法正确； ⑤ ，，，，是的高， ， ， ， 故⑤说法错误． ①③④说法正确． 故选：D． 考点3：三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 【答案】/73度 【思路引导】本题考查平行线的性质，折叠问题，关键是由掌握平行线的性质和折叠的性质． 由平行线的性质以及折叠的性质推出，由折叠的性质得到，即可求解． 【规范解答】解：∵沿折叠得， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【规范解答】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点4：三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）【问题背景】 如图，直线与直线分别交于点平分交于点 ． 【问题探究】 （1）求证：； （2）如图1，点、分别是射线、上的点，连接，若，判断与的位置关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图2，点是射线上一点，连接，的平分线与的平分线交于点，连接．若，求的度数． 【答案】（1）见解析（2），理由见详解（3） 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，列一元一次方程解决几何问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用角平分线的性质得出，根据等量代换得出，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）结合（1）的结论得出，利用三角形内角和得出，再利用角平分线的性质和邻补角的定义得出，利用内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （3）根据角平分线的性质得出角之间的关系，假设，则，，利用三角形内角和列出方程求解即可． 【规范解答】解：（1）∵平分， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵平分，平分， ∴，， 由（1）得， ∴，， 假设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知：如图，，，． (1)若，求的度数； (2)与有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用对顶角得，然后利用三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据已知得，得，然后利用平行线的性质得，利用等量代换可得，进而得，最后根据平行线的性质即可得． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点5：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，在中，，． (1)若的长是整数，则最长是多少 (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【思路引导】本题考查三角形的三边关系，三角形的内角和定理： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）由平行的性质得到，根据平角和三角形的内角和定理，得到，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，， ∴，即：． ∵的长是整数， ∴最长为． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 【答案】(1) (2)猜想，证明见解析 (3)，，证明见解析 (4) 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系； （1）延长到M，使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中根据全等三角形的性质可得，，则； （3）延长到M，使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明得到，，再根据线段的和差关系和角之间的关系即可得到结论； （4）过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，证明，得到；同理可证明，得到，再根据即可求出答案． 【规范解答】（1）解：延长到M，使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即 ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，证明如下： 由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：， ，证明如下： 延长到M，使得，延长交于G，连接，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴（周角的定义）， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，； （4）解：如图所示，过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N， ∵是的高，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ， ∴； 同理可证明， ∴， ∴． 考点6：三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（1）如图（1），DE∥AB，求证：三角形的三个内角（即、、）之和等于； （2）如图（2），求证：； （3）如图（3），，，交的平分线于点，，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠F=29.5°． 【思路引导】（1）因为平角为180°，若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决； （2）根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到∠DEB=119°，∠AED=61°，由角平分线的性质得到∠DEF=59.5°，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【规范解答】解：（1）如图1所示，在△ABC中， ∵DE∥AB， ∴∠B=∠1，∠A=∠2（内错角相等）． ∵∠1+∠BCA+∠2=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°． 即三角形的内角和为180°； （2）∵∠AGF+∠FGE=180°， 由（2）知，∠GEF+∠F+∠FGE=180°， ∴∠AGF=∠AEF+∠F； （3）∵AB∥CD，∠CDE=119°， ∴∠DEB=119°，∠AED=61°， ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F， ∴∠DEF=59.5°， ∴∠AEF=120.5°， ∵∠AGF=150°， ∵∠AGF=∠AEF+∠F， ∴∠F=150°-120.5°=29.5°． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 【变式训练】（22-23八年级上·广西河池·期中）已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【思路引导】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【规范解答】解：． 故选：C． 【考点剖析】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 考点7：三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【答案】(1)与的周长差为1 (2) 【思路引导】本题主要考查了三角形中线和高，三角形的周长，三角形的内角和，角平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． （1）根据三角形周长计算公式可得到与的周长差为：，再由三角形中线的定义得到，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质可得答案． 【规范解答】（1）∵的周长为：，的周长为：， ∴与的周长差为：， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， 即与的周长差为1； （2）∵是的平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，分别是延长线上的点，连接与交于点．下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握以上性质定理． 利用平行线的判定和性质定理，及三角形外角的性质定理，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①∵， ∴，该选项正确，符合题意； ②根据已知条件无法得出，该选项错误，不符合题意； ③∵， ∴， 又∵， ∴，该选项正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 故答案为：①③④． 考点8：全等三角形的性质 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【规范解答】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，，一直线经过点，动点从点出发沿路径向终点运动，动点从点出发沿路径向终点运动，点，分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点，作，作于点，于点那么点运动 秒时，． 【答案】或 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，根据题意分两种情况讨论，即在上以及在上两种情况，根据全等三角形的性质结合题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】解：当在上，在上时，如图 ∵ ∴ ∴ 解得： ∵运动到点需要的时间为， ∴当在上，在上时，如图，此时点已经停止运动，继续运动， ∵ ∴ ∴ 解得： 综上所述，点运动或秒时， 故答案为：或． 考点9：尺规作图—作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a和，求作，使，，根据作图痕迹补全作法．      作法： (1)作________； (2)以点________为圆心，以________的长为半径在射线上画弧，交于点B； (3)以点________为顶点作________，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 【答案】(1) (2)A；a (3)B； 【思路引导】本题考查了基本的尺规作图及作法，熟练掌握基本的尺规作图及作图语言的规范性是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角解答； （2）根据作一条线段等于已知线段解答； （3）根据作一个角等于已知角解答． 【规范解答】（1）解：作； 故答案为：； （2）解：以点A为圆心，以a的长为半径在射线上画弧，交于点B； 故答案为：A；a； （3）解：以点B为顶点作，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【思路引导】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【规范解答】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 考点10：全等的性质与SSS综合 【典例精讲】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，已知，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用． （1）先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图①，在中，是的中点，，分别为垂足．求证：． 证明：如图②，连接． 是的中点， ______． ， ______（______）， ． ， ． (1)将上面的证明过程补充完整； (2)用不同的方法证明：． 【答案】(1)，，SSS； (2)见解析． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）先理清证明思路，再证明即可； （2）连接，先证，再证即可． 【规范解答】（1）证明：如图②，连接． 是的中点， ． ， ， ． ， ． 故答案为：，，SSS； （2）证明：如图，连接． ∵D是的中点， ． ， ， ． ， ． 在和中， ， ． 考点11：全等的性质与SAS综合 【典例精讲】（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【规范解答】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和为180度求出，再证，即可求解． 【规范解答】解： 中，，， ， ，，， ， ， 故选D． 考点12：全等的性质与ASA或者AAS综合 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·期末）（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3） 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【规范解答】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为． 【变式训练】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点D是等腰外一点,与相交于是线段上一点,． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定（、）、角平分线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是通过构造辅助线（延长线段、作垂线）创造全等三角形的条件，利用角度关系推导垂直和线段相等． （1）通过延长与交于点，利用已知和，根据三角形外角性质（或内角和定理）计算出，从而证明； （2）先作于，结合已知角度和对顶角相等推出，再利用和直角条件证明（）得；接着根据角平分线性质和角度计算得出，再推导，最后用证明，从而得出． 【规范解答】（1）证明：延长相交于H． ∵， ∴． ∴． （2）过A作于G． ∵， ∴即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴平分， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，而， ∴， ∴． 考点13：添加条件使三角形全等 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为，则在下列条件中选择一个就可以判定的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据相关判断判定方法逐项判断，即可解题． 【规范解答】解：∵于点于点， ， ， ， 故①可以判定 ； ∵， ∴， ∵， ； 故②可以判定 ； ， ， 故③可以判定； ， ，即， ， ， 故④可以判定； 综上所述，①②③④可以判定； 故选：D． 【变式训练】（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定定理．根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，逐项分析即可求解． 【规范解答】解：若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故A选项不符合题意； 若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故B选项不符合题意； 若添加这个条件， ∵、分别是、的对边， 不能判定，故C选项符合题意； 若添加这个条件， 在与中， ， ∴；故D选项不符合题意． 故选：C． 考点14：灵活选用判定方法证明三角形全等 【典例精讲】（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）给出以下说法：①三条线段组成的图形叫三角形，②三角形的高交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，③有两边和一角分别相等的两个三角形全等，④形状相同的两个三角形全等，⑤有两角和一边分别相等的两个三角形全等，其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形的定义，三角形的高，全等三角形的判定等．根据三角形的定义判断①；根据三角形的高判断②；根据全等三角形的定义及判定定理判断③④⑤． 【规范解答】三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误； 三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故②错误； 有两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等，故③错误； 大小相等，形状相同的两个三角形全等，故④错误； 有两角和一边分别相等的两个三角形全等，故⑤正确； 综上可知，错误的有4个， 故选D． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）如图①，，请用圆规在的另一边找到点，使，这样的点有 个，说明符合条件的三角形有 种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形 全等； （2）如图②，已知是钝角三角形，若，且，则一定是 （填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】 2 2 不一定 钝角 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）根据全等三角形的几种判定方法解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：（1）如图，这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种； 我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等； 故答案为：2；2；不一定． （2）∵是钝角三角形，， ∴一定是钝角三角形； 故答案为：钝角． 考点15：结合尺规作图的全等问题 【典例精讲】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【答案】（1）或；（2）见详解 【思路引导】（1）题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质以及角平分线性质，要注意分类讨论． （2）题考查尺规作图以及全等三角形的判定与性质，通过尺规作图构造全等三角形，再利用全等三角形性质得出对应角相等． 【规范解答】解：（1）当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； 当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； （2） 如图，以为圆心，长为半径画弧，交的一边为；再以为圆心，长为半径画弧，交的另一边为，连接；即为所求作的三角形． 在和中， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质． 【变式训练】（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 考点16：倍长中线模型证明三角形全等问题 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 【答案】见解析． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明得到，即可得证． 【规范解答】证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ． ， ． 在和中， ． ． 考点17：全等三角形的综合问题 【典例精讲】24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证 ，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【规范解答】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 【变式训练】（2021八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【答案】见解析 【思路引导】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短； 方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可； 方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可； 方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可； 方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可； 【规范解答】方法1：补短，构造全等 证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE ∵AD⊥CD ∴∠D＝90° ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC 在△ADC和△AEC中 ∵AD＝AE ∠EAC＝∠DAC AC＝AC ∴△ADC≌△AEC(SAS) ∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15° ∴∠ECB＝∠B＝45° ∴EC＝BE ∴EC＝BE＝CD ∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD 方法2：补短，构造全等 证明：延长DA至点F，使得AF＝AB ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105° ∵CD是∠ACB的角平分线 ∴∠ACD＝15° ∵AD⊥CD， ∴∠D=90°， ∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105° ∴∠EAC＝∠BAC 在△ABC和△AEC中 AB＝AE ∠EAC＝∠BAC AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（SAS） ∴∠E＝∠B＝45°, ∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45° ∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB 方法3：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 过点A作AF⊥AB交BC于点F ∵∠B=45°， ∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135° ∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠EAC＝∠ACF 在△AEC和△CFA中 ∠EAC＝∠ACF AC＝AC ∠AEC＝∠AFC ∴△AEC ≌ △CFA(ASA) ∴CE＝AF＝AB ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 方法4：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 在CB延长上取点H，使得AH＝AC ∵∠ABC＝45° ∴∠ABH＝135° ∴∠ABH＝∠AEC ∵AH＝AC ∴∠H＝∠ACB＝30° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠H＝∠EAC 在△ABH和△CEA中 ∠H＝∠EAC AH＝AC ∠ABH＝∠AEC ∴△ABH ≌ △CEA(ASA) ∴AB＝CE ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 考点18：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解． 【规范解答】解：由条件可知， 在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查尺规作图—作线段、作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质． （1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于D，再分别以、D为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线交于E，最后连接，即可． （2）先证明，得，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：所作图形如图： （2）证明：由作图知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点19：作已知线段的垂直平分线 【典例精讲】在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠DAE＝20°，则∠BAC＝ °． 【答案】80或100． 【思路引导】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，根据三角形内角和定理分两种情形分别计算即可． 【规范解答】解：如图1， ∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA=DB，EA=EC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C， ∠DAB+∠B+∠EAC+∠C-∠DAE=180°， 则2（∠B+∠C）=200°， 解得，∠B+∠C=100°， ∴∠BAC=80°， 如图2中， ∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA=DB，EA=EC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C， ∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE=180°， 则2（∠B+∠C）=160°， 解得，∠B+∠C=80°， ∴∠BAC=100°， 故答案为：80或100． 【考点剖析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【变式训练】（20-21八年级上·北京平谷·期末）在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连结CD． 请回答：若BC=DC，∠B=100°，则∠ACB的度数为 ． 【答案】30° 【思路引导】依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A的度数，进而得到∠ACB的度数． 【规范解答】解：根据题意，如图： ∵BC=DC，∠ABC=100°， ∴∠BDC=∠CBD=180°100°=80°， 根据题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴CD=AD， ∴∠ACD=∠A， ∴∠A=， ∴∠ACB=∠CBD∠A=80°50°=30°． 故答案为：30°． 【考点剖析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 考点20：作垂线（尺规作图） 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 【答案】(1)在中，； (2)见解析． 【思路引导】本题主要考查了写出命题的已知求证、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 【规范解答】（1）解：已知：在中，． 求证： ． 故答案为：在中，． （2）证明：如图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在 与中，，直角边与交于E． (1)求作：线段，使，交于点 F．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，延长线段、和，求证：、、必相交于同一点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了复杂作图——作垂线，三角形垂心，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据垂线的作法作图即可； （2）延长线段、交于点，连接，根据三角形的三条高交于一点，可得，再结合过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直，可得和在一条直线上，即可证明结论． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求作； （2）解：如图，延长线段、交于点，连接， ， ，， 、分别是边、上的高， 与交于E，且三角形的三条高所在直线交于一点， ， 又， 和在一条直线上，即点、、三点共线， 、、必相交于同一点． 考点21：角平分线的性质定理 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分平分，连接，作，则的面积是 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查角平分线的性质，作于点H，于点F，由角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，，进而可得，即可求出的面积． 【规范解答】解：如图，作于点H，于点F， 平分平分， ，， ， ， 故答案为：8． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知在和中，，交于点F，连接．下列结论：①；②平分；③．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③ 【思路引导】如图作于点，于点，设交于，证明，利用全等三角形的性质判断即可. 【规范解答】解：如图作于，于，设交于. ， ， ，， ， ，，故①正确； 若②不成立，则， ， ，推出，由题意知，不一定等于， 所以不一定平分，故②错误； ，，， ， 平分， ，故③正确. 故答案为：①③． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 考点22：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】（1）根据角的轴对称性，即可得到； （2）证明，得到，根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）在上截取，证明，得到，，利用外角的性质，得到，进而得到，于是，利用即可得出． 【规范解答】（1）解：∵角关于角平分线所在的直线对称，， ∴点A、B关于直线对称， ∴； 故答案为：； （2）证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接，则：，    又， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （3）；理由如下： 在上截取，连接，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【考点剖析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 【变式训练】（21-22八年级上·江苏淮安·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×4×7+×4×AC=26，然后解一次方程即可． 【规范解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF=4， ∵S△ADB+S△ADC=S△ABC， ∴×4×7+×4×AC=26， ∴AC=6， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题． 考点23：作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．过点作于点，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为求出，进而利用代数求解即可． 【规范解答】解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（2025·海南·模拟预测）如图，直线，直线分别交，于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线交于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了尺规作图，平行线的性质，三角形外角的性质． 根据作图步骤可知是的平分线，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质即可得解． 【规范解答】根据作图步骤可知是的平分线， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 【答案】/100度 【思路引导】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【规范解答】解： 故答案为： 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【规范解答】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 4．（2023·四川资阳·中考真题）如图，，交于点F，则 ．    【答案】/度 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同位角相等得出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，即可求出的度数． 【规范解答】解： 是的外角， 故答案为： 5．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据 ，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∴ 由作图可得是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键； 根据全等三角形的性质进行判断即可． 【规范解答】∵，，是对应顶点， ∴对应角为与，与，与；对应边为与，与，与． A．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； B．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； C．与是对应边，不是，错误，故本选项符合题意； D．与是对应边，正确，故本选项不符合题意； 故选C． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【思路引导】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【规范解答】解： 是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的高，利用三角形的面积公式列出等式是解题关键． 根据三角形的面积公式即可得． 【规范解答】由题意得： ， 解得． 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，，． 【答案】②③ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【规范解答】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，满足“”且已知角的对边大于另一边的情况，即，可以确定唯一的； ④，，，满足“”，但不满足已知角的对边大于另一边的情况，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②③， 故答案为：②③． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时，与全等 (4) 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质、一元一次方程的应用、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由于是角平分线，则，； （2）由于，所以与之比就等于与之比，而与之比为2； （3）根据全等三角形的性质得到，得到，．，再分两种情况，利用全等三角形的性质求解即可； （4）过点A作交于N，如图，由（1）得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时与全等时， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时与全等时， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． （4）解：过点A作交于N，如图， 由（1）得， 又∵，， ∴； ∴． 培优拔高 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，． 根据可以推出两三角形全等，可判断A；根据可以推出两三角形全等，可判断B；根据可以推出两三角形全等，可判断C；根据与 不是对应边，不能推出两三角形全等，可判断D． 【规范解答】 解：A、在和中 ，正确，故本选项符合题意； B、在和中 ，故错误，，故本选项不符合题意； C、∵在和中， ， 故错误，本选项不符合题意； D、在和中， ，，，但与 不是对应边， ∴和不全等， 故错误，本选项不符合题意； 故选：A． 7．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件及补充条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【规范解答】解： ， ，即， 又 ， 添加①时，根据能证； 添加②时，不能证明； 添加③时，根据能证； 添加④时，根据能证； 综上可知，能使成立的有3个， 故选C． 8．（21-22七年级下·福建福州·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【思路引导】此题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【规范解答】∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，点A、C、D在同一条直线上． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)7 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等；内错角相等，两直线平行． （1）由全等三角形的性质推出，判定； （2）由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【规范解答】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【规范解答】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$