专题1.7 角平分线的性质（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.7 角平分线的性质 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题 ） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：角平分线的性质定理 2 考点2：角平分线性质的实际应用 3 考点3：作角平分线（尺规作图） 5 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 11 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 考点1：角平分线的性质定理 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点P在内部，于点于点，当 时，点P在的平分线上． 【变式训练2】（24-25八年级上·天津·期末）如图，在中，，的平分线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，点是长方形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点，连接，求证：． 考点2：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【变式训练1】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【变式训练2】（22-23八年级上·山东滨州·期中）如图，、为两条公路，点和点为内部的两个居民点．现计划在内部区域修建一货站，使货站到两条公路距离相等，到两居民点的距离也分别相等． (1)请你找出点货站位置．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)简述你的作图理由． 【变式训练3】（21-22八年级上·河南信阳·期中）如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是 ． 考点3：作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，． (1)请用尺规作图，作的平分线交于点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 【变式训练1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，作图痕迹如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在直线上求作一点P，使点P在的内部，且点P到射线和的距离相等． 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 3．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 4．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：    （1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点； （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； （3）作射线交直线于点；若，则 度． 5．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．    基础夯实 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（21-22八年级上·云南曲靖·期中）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（      ）． A．三个内角角平分线的交点 B．三条高线交点 C．三条中线的交点 D．三条中垂线的交点 3．（21-22八年级上·四川资阳·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 ． 5．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ． 6．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图是某地区三个仓库的示意图，记为A，B，C三地，分别连接，形成一个三角形．若想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等，则中转仓的位置应选在 ． 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，有一家四边形儿童活动训练中心，现要在训练中心内部修建一间训练座谈室O，使得座谈室O到边、边的距离相等，且座谈室O到点A的距离与座谈室O到点D的距离相等，请你找出座谈室O的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 8．（25-26八年级上·全国·课前预习）用尺规作图：作出已知角的平分线． 已知：如图，，求作：射线，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 9．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 10．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： (1)等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； (2)在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 培优拔高 11．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线交于点D．若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 13．（22-23八年级上·河北唐山·期中）已知，求作射线，使平分． ①作射线； ②在和上分别截取，使； ③分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，在内两弧交于． 作法的合理顺序是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 15．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中,交于平分交于为延长线上一点,交的延长线于的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．(填写序号) 16．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ． 17．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 18．如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 19．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，，，直线过点．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，到各自终点结束．分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为点、．设点的运动时间为（秒）： (1)当、两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，用含的代数式表示的长； (3)当与全等时，请直接写出的值； (4)当点不与、重合时，请直接写出点落在某个内角平分线上时的值． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，为的平分线． (1)如图①，若将三角尺的直角顶点放在的任意一点P处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为E，F，则______（填“>”“<”或“=”） (2)如图②，把三角尺按如图所示的方式放置，点P在上，两直角边分别与交于点E，F．猜想与的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 角平分线的性质 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题 ） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：角平分线的性质定理 2 考点2：角平分线性质的实际应用 5 考点3：作角平分线（尺规作图） 9 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 25 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 考点1：角平分线的性质定理 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【规范解答】解：过点作，， 为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点P在内部，于点于点，当 时，点P在的平分线上． 【答案】5 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可解答． 【规范解答】解：∵点P在的平分线上，于点于点， ∴． 故答案为5． 【变式训练2】（24-25八年级上·天津·期末）如图，在中，，的平分线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【答案】51 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 如图：过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：如图：过点D作于E， ∵的平分线，， ∴， ∴的面积是. 故答案为51． 【变式训练3】（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，点是长方形的边上的一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：如图所示， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 考点2：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【规范解答】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 【变式训练1】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】（1）根据角的轴对称性，即可得到； （2）证明，得到，根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）在上截取，证明，得到，，利用外角的性质，得到，进而得到，于是，利用即可得出． 【规范解答】（1）解：∵角关于角平分线所在的直线对称，， ∴点A、B关于直线对称， ∴； 故答案为：； （2）证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接，则：，    又， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （3）；理由如下： 在上截取，连接，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【考点剖析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 【变式训练2】（22-23八年级上·山东滨州·期中）如图，、为两条公路，点和点为内部的两个居民点．现计划在内部区域修建一货站，使货站到两条公路距离相等，到两居民点的距离也分别相等． (1)请你找出点货站位置．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)简述你的作图理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）先做的角平分线，再画的垂直平分线，相加于点为所求； （2）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可理解． 【规范解答】（1）解：作图如下： （2）解：理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．点P到两条公路距离相等，到两个村庄距离也相等故为角平分线与垂直平分线的交点． 【考点剖析】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练3】（21-22八年级上·河南信阳·期中）如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是 ． 【答案】50 【思路引导】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PF＝PD＝5，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC得到S△ABC＝（AB+BC+AC），再把△ABC的周长为20代入计算即可． 【规范解答】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图所示， ∵点P是△ABC三条角平分线的交点， ∴PE＝PF＝PD＝5， ∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC ＝PD•AB+PE•BC+PF•AC ＝（AB+BC+AC） ＝×20 ＝50， 故答案为：50． 【点晴】考查了角平分线的性质，解题关键是运用了：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 考点3：作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，． (1)请用尺规作图，作的平分线交于点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了角平分线作图，角平分线的性质，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的基本作图． （1）①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交､于点､；②分别以点､为圆心，大于为半径作弧，相交于点D；③作射线，交于点P，即为所求的的角平分线； （2）过点P作于点E，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，过点P作于点E，    ∵是的角平分线，，， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，作图痕迹如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了尺规作图，角平分线，垂直平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，根据三角形内角和定理求出，由作图痕迹可得垂直平分，平分，进而求出，，再利用三角形内角和定理求出，最后利用三角形外角的性质求出，利用对顶角相等即可得出结果． 【规范解答】解：如图， ∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可得垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【思路引导】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． （1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可； （2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积． 【规范解答】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在直线上求作一点P，使点P在的内部，且点P到射线和的距离相等． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查作角平分线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 以点为圆心，任意长为半径画弧，与，相交，分别以交点为圆心，任意长为半径画弧，在的内部交于一点，过点与该交点作射线，与相交，交点即为所求． 【规范解答】解：如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，与，相交，分别以交点为圆心，任意长为半径画弧，在的内部交于一点，过点与该交点作射线，与交于点，则是的角平分线，由角平分线的性质可知，点到射线和的距离相等． 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【规范解答】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 2．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【规范解答】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．（2024·山东·中考真题）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 【答案】 【思路引导】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【规范解答】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【考点剖析】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 4．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：    （1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点； （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； （3）作射线交直线于点；若，则 度． 【答案】58 【思路引导】由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案． 【规范解答】解：由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到平分是解题关键． 5．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．    【答案】 【思路引导】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出． 【规范解答】如图：过点作于点，    ， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等这一性质，利用已知线段长度求出相关线段的长度．根据角平分线的性质，可知角平分线上的点到角两边的距离相等，即由和的长度求出的长度，进而得到的长度． 【规范解答】解：∵ 是的平分线，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵ ∴ ∴． 故选：A． 2．（21-22八年级上·云南曲靖·期中）在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（      ）． A．三个内角角平分线的交点 B．三条高线交点 C．三条中线的交点 D．三条中垂线的交点 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得到答案． 【规范解答】解：三角形三个内角平分线交于一点，该点到三边的距离相等． 故选：A． 3．（21-22八年级上·四川资阳·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查角平分线的定义和性质，三角形内角和定理． 由已知可得，从而可得，由角平分线的性质可得，由线段之间的数量关系即可得的长． 【规范解答】解：∵是的平分线， ∴， ∵，垂足为， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式．过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ，，平分， ， ， ． 故答案为：6． 5．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查角平分线的性质；垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出的长即可． 【规范解答】解：作于， ∵平分， ， 又 ∵点是射线上一个动点， ， ∴，最小值为3， 故答案为：3． 6．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图是某地区三个仓库的示意图，记为A，B，C三地，分别连接，形成一个三角形．若想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等，则中转仓的位置应选在 ． 【答案】的平分线的交点处（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了三角形的角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，三角形两个角的平分线的交点到三角形的三边距离相等． 根据角平分线的性质进行分析，即可作答． 【规范解答】解：∵想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等， ∴中转仓的位置应选在的平分线的交点处． 故答案为：的平分线的交点处（答案不唯一） 7．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，有一家四边形儿童活动训练中心，现要在训练中心内部修建一间训练座谈室O，使得座谈室O到边、边的距离相等，且座谈室O到点A的距离与座谈室O到点D的距离相等，请你找出座谈室O的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 作线段的垂直平分线，作平分，射线交直线F于点O，点O即为所求． 【规范解答】解：如图，点O即为所求． 8．（25-26八年级上·全国·课前预习）用尺规作图：作出已知角的平分线． 已知：如图，，求作：射线，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了作一个角的平分线，先以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点，即射线，使． 【规范解答】解：如图，射线即为所求． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等； (4)若，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时，与全等 (4) 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质、一元一次方程的应用、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由于是角平分线，则，； （2）由于，所以与之比就等于与之比，而与之比为2； （3）根据全等三角形的性质得到，得到，．，再分两种情况，利用全等三角形的性质求解即可； （4）过点A作交于N，如图，由（1）得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时与全等时， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时与全等时， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． （4）解：过点A作交于N，如图， 由（1）得， 又∵，， ∴； ∴． 10．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： (1)等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； (2)在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【思路引导】（）作线段的垂直平分线，作的角平分线，直线与射线相交于点，由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的性质可得点到两边的距离相等，故点即为所求； （）由角平分线的定义得，进而由等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 培优拔高 11．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线交于点D．若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查角平分线的尺规作图以及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．先在中，利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据作图可知平分，进而求出的度数． 【规范解答】在中，，， 所以． 由作图可知，平分， 所以， 故选：C． 12．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【思路引导】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质，由边的垂直平分线交于点D，得出，由平分得出，进一步求得即可． 【规范解答】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 13．（22-23八年级上·河北唐山·期中）已知，求作射线，使平分． ①作射线； ②在和上分别截取，使； ③分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，在内两弧交于． 作法的合理顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查角平分线的基本作图方法． 按照正确的作图步骤进行排序即可． 【规范解答】解：角平分线的作法： 第一步，在和上截取和，使，这一步确定了点和的位置，为后续作弧提供基准点，对应步骤， 第二步，以、为圆心，大于一半的长度为半径作弧，两弧在内交于点，这一步通过弧的交点确定角平分线上的点，对应步骤， 第三步，作射线，连接顶点与点，完成角平分线的作图，对应步骤， ∴正确顺序为 故选：． 14．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．过点作于点，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为求出，进而利用代数求解即可． 【规范解答】解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中,交于平分交于为延长线上一点,交的延长线于的延长线交于H，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．(填写序号) 【答案】①②③④ 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形面积公式及角度的和差推导，解题的关键是结合垂直条件（、）和角平分线定义，通过角度转化、面积公式变形验证各结论的正确性，尤其需注意平角与三角形内角的关联推导． 先明确已知条件：（），AE平分（），（）；针对每个结论，利用角度和差、三角形面积公式、三角形内角和及外角性质推导，重点修正结论④的角度转化过程． 【规范解答】解：如图，设与的延长线相交于点I． ①∵， ∴， ∵，, ∴， 即，①正确 ②∵平分 ∴点到的距离相等（角平分线性质），设为 ∵， ∴，②正确 ③由①知 ∵（外角性质） 又∵AE平分， ∴，即，③正确 ④∵ ∴， 又∵AE平分，，且， ∴整理得： 将，代入： ∴，④正确． 综上，正确结论为①②③④． 故答案为：①②③④ 16．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ． 【答案】18 【思路引导】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，则点D到边和的距离相等，进而可得的面积为6，即可得出答案． 【规范解答】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点 由作图过程可知，为的平分线， ， ， ， 的面积是 故答案为： 17．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】由于点E，于点F，相交于点D，得，，而，即可根据“”证明≌； 由，，求得，由于点F，于点E，且，证明平分，则 【规范解答】（1）证明：于点E，于点F，相交于点D， ，， 在和中， ， ≌ （2）解：，， ， 由得≌， ， 于点F，于点E，且， 点D在的平分线上， 平分， ， 的度数是 【考点剖析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 18．（16-17八年级上·江苏无锡·期中）如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的作法，解题的关键是熟练掌握以上基本尺规作图的步骤． 连接，作的垂直平分线和的平分线，交点即为所求． 【规范解答】解：如图，点即为所求． 19．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，，，直线过点．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，到各自终点结束．分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为点、．设点的运动时间为（秒）： (1)当、两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，用含的代数式表示的长； (3)当与全等时，请直接写出的值； (4)当点不与、重合时，请直接写出点落在某个内角平分线上时的值． 【答案】(1) (2) (3)或或18 (4)或 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的动点问题，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． （1）由题意得，即可求得t的值； （2）根据题意分两种情况：当点在上时，即时，；当点在上时，即时，，即可求解； （3）分情况讨论：①当D在上，E在上时；当D在上，E在上时；当D在上，E在上时，得出关于t的方程，解方程求得t的值； （4）分情况讨论：当点在的平分线上时；当点在的平分线上时；当点在的平分线上时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， 解得：（秒）， 当、两点相遇时，t的值为秒； （2）解：由题意可知，，， 当点在上时，即时，； 当点在上时，即时，； 则的长为； （3）解：①当D在上，E在上时， ∵，     ∴， ∵于F，于G．     ∴， ∴， 要使与全等，   只需， ∴ 解得， 点到达点用时，点到达点用时， 则当D在上，E在上时，可知当D、E重合时，与全等，如图， 则， 由题意得，，         解得：， 当D在上，E在上时， ∵当E到达A时，用时，此时点运动个单位长度，还未到达点， ∴A、E重合后，点D在上时，如图，同①可得只需时，与全等， 则， 解得， 综上，当与全等时，满足条件的t等于或或18． （4）解：当点在的平分线上时，如图，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：； 当点在的平分线上时，不存在； 当点在的平分线上时，如图，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：； 综上，或． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，为的平分线． (1)如图①，若将三角尺的直角顶点放在的任意一点P处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为E，F，则______（填“>”“<”或“=”） (2)如图②，把三角尺按如图所示的方式放置，点P在上，两直角边分别与交于点E，F．猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)= (2)．理由见解析 【思路引导】（1）根据角平分线的性质定理证明即可； （2）证明，根据全等三角形的性质证明结论. 【规范解答】（1）解：平分， ，， 故答案为：. （2）解：．理由如下： 如图，过点P分别作于点M，于点N，则． 平分，． ， ． ， ． 在和中， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$