专题1.6 线段垂直平分线性质（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.6 线段垂直平分线性质 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题 ） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：线段垂直平分线的性质 2 考点2：作已知线段的垂直平分线 6 考点3：作垂线（尺规作图） 10 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 26 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 考点1：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在四边形中，E为边上的一点，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)与交于点F，若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出．再证明，得到．然后根据根据平角的定义，可得答案； （2）证明， 得到，再根据，则可由，得出结论． 【规范解答】（1）解∶∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，，，进而由的周长是可得，再根据的周长是得到，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， 又∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； （2）解：是线段的垂直平分线， ． 【变式训练3】（2025·安徽合肥·二模）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标为、、． (1)作出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第一象限作出的位似，使与的位似比为； (3)利用无刻度直尺在平面直角坐标系内找一个整点（横纵坐标均为整数的点），使得，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)点坐标为（答案不唯一）． 【思路引导】本题考查了作图——轴对称、位似、作垂线，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用关于轴对称的点的坐标特性得到、、，然后连线即可； （）把点的横纵坐标都乘以，得到、、，然后连线即可； （）作出垂直平分线即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如上图，即为所求； （3）如上图，点坐标为． 考点2：作已知线段的垂直平分线 【典例精讲】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【思路引导】本题考查线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的画法和性质． （1）分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线即可； （2）由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，两个三角形的周长作差，即可得的长． 【规范解答】（1）解：分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点和点，过点和点作直线，直线即为线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接，如下图： （2）解：∵的周长是， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 答：的长为． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知，如图，，相交于点，且． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用尺规作垂直平分的方法求解即可； （2）由（1）得，垂直平分，得到，，然后得到，推出，等量代换得到，即可证明． 【规范解答】（1）如图所示， （2）由（1）得，垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【考点剖析】此题考查了尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式训练2】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，请用尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．    (1)在线段上找一点E，使得E点到边的距离与到边的距离相等． (2)在线段上找一点D，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】本题考查了作角平分线、垂直平分线、三角形中线的性质． （1）作的平分线，交于点，点即为所作； （2）作的垂直平分线，交于点，点即为所作． 【规范解答】（1）解：如图，点为所作；    （2）解：如图，点为所作；    【变式训练3】（21-22八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，，是两个格点，请仅用无刻度的直尺在方格纸中完成下列画图：（不写画法，保留画图痕迹） （1）在图的方格纸中画出线段的垂直平分线； （2）在图的方格纸中找出一点，连接，使得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】（1）取格点C，D，作直线CD即可； （2）构造等腰直角△CBT，连接AC，即可． 【规范解答】解：如图，直线即为所求； 如图，点即为所求． 【考点剖析】本题考查了作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 考点3：作垂线（尺规作图） 【典例精讲】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查尺规作图—作线段、作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质． （1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于D，再分别以、D为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线交于E，最后连接，即可． （2）先证明，得，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：所作图形如图： （2）证明：由作图知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： (1)已知：线段h，a，b．求作：，使得，，边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．若一定，请说明理由；若不一定．请作出符合条件的其他三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)不一定，见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，以及三角形的全等． （1）根据解题思路作图即可； （2）通过题意画出相对应的线段即可得到不同的三角形． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）不一定，如图所示： 【变式训练2】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 【答案】(1)在中，； (2)见解析． 【思路引导】本题主要考查了写出命题的已知求证、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 【规范解答】（1）解：已知：在中，． 求证： ． 故答案为：在中，． （2）证明：如图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 【变式训练3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点； （2）连接，作线段的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （3）连接并延长交直线于点，假设直线上有一点（异于点），连接、，点即为所作． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：如图，点即为所作， 由线段垂直平分线的性质可得，此时； （3）解：如图，点即为所作， 在中，，则最大． 【考点剖析】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【思路引导】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【规范解答】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【规范解答】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 4．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③：从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）． 【答案】② 【思路引导】根据点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且，即可证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可作出判断． 【规范解答】解：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ①时，四边形是矩形，不一定是菱形； ②时， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴平行四边形是菱形； ③四边形是平行四边形，则一定成立，故不一定是菱形． 故答案为：②． 【考点剖析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，垂直平分线的性质．菱形的判定常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．理解和掌握菱形的判定是解题的关键． 5．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】23 【思路引导】由作图可得：是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进行计算即可． 【规范解答】解：由作图可得：是的垂直平分线， ，， 故答案为：23 【考点剖析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【规范解答】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了尺规作图—作线段垂直平分线．根据作图方法和步骤，即可解答． 【规范解答】解：根据尺规作图—作线段垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是4， 故选：D． 3．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解． 【规范解答】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 4．（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为，求解的周长时，先列式，再利用进行等量代换即可． 【规范解答】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为，即， 的周长为． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，P是的中点，交于点Q，的周长是，则的长为 ． 【答案】/4厘米 【思路引导】根据线段垂直平分线的性质得出，然后利用三角形的周长解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵P是的中点，, ∴是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案：． 7．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得，从而可得的周长． 【规范解答】解：∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∵，， ∴ ∴的周长为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）如图，在中，已知是的垂直平分线，，，求的周长． 【答案】18 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直平分线的性质，可知，进而可知，即可求出的周长． 【规范解答】解∶∵是的垂直平分线， ∴ ∴的周长为， ，， ∴的周长为． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【规范解答】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 10．（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【规范解答】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵，（对顶角相等） ∴； 故答案为：对顶角相等；． （2）由题意可得：， ∵， 即， ∴． 故答案为：． （3）延长交的延长线于点F，如图： ∵，， ∴ 在和中． ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴． 培优拔高 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，是边的垂直平分线，，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，三角形周长定义，是解决问题的关键．根据线段垂直平分线性质得到，得到，即可得到的周长为13． 【规范解答】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴, ∵， ∴的周长：． 故选D． 12．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【规范解答】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 13．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 【答案】C 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件即可得到的周长． 【规范解答】解： 是的垂直平分线， ， 的周长为13， ， ， ， 的周长为， 故选：C． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题的关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果． 【规范解答】解：由作图步骤可知， 步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线l于点B，D， ， 步骤②中，分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧相交于点E， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 四边形的对角线与互相垂直， ， 故答案为：12． 15．（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查垂直平分线性质，三角形内角和定理，角度计算，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意利用垂直平分线性质可得，再利用三角形内角和定理可得，继而得到本题答案． 【规范解答】解：在中，，， ， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），解题的关键是利用该性质将的周长转化为中与的和． 由是垂直平分线，得由得利用周长求出转化周长为得结果． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． ∵ ∴． ∵的周长为，即 ∴． ∵的周长且 ∴的周长． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）尺规作图：已知，在上求作点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于、，作直线交于，连接，点即为所作，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，点即为所作， ， 由作图可得，垂直平分， ∴， ∴． 18．（20-21八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，交于点，垂足为．求证： (1)是线段的垂直平分线； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）要证是线段的垂直平分线，需证垂直（已知）且平分，即证，可通过证明来实现． （2）利用（1）中全等及垂直关系，结合同角的余角相等，推导与的等量关系． 【规范解答】（1）证明：∵是的平分线， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴（） ∴ 又∵，即垂直且平分 ∴是线段的垂直平分线 （2）证明：由（1）知， ∴． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，，； 在中，，． ∴． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定与性质以及三角形内角和等知识，熟练掌握全等三角形判定和线段垂直平分线性质，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 19．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数． （2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数． 【答案】（1）（2） 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题： （1）先根据比例设出来角度，根据线段垂直平分线的性质得到两个角度相等，再结合三角形内角和定理可得到结果； （2）根据三等分点设出角度，根据三角形内角和定理列得二元一次方程，再根据代数式可得到结果； 准确找到角度之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：（1）设，则， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 则； （2）设， 在中，， 在中，， ①+②得：， ∴． 20．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在中，，点在上，且． (1)求的度数； (2)如图2，于点，于点，连接交于点． ①求证：垂直平分； ②若，，且．求的长（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【思路引导】（1）根据等腰三角形的性质得，结合三角形内角和性质列式，得，即可求解； （2）①由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； ②在上截取，连接．证明，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可解答． 【规范解答】（1）解： 设 则 在中 解得：， 的度数为； （2）①由（1）得：，， ， 即：平分， 于点，于点， ，， ， ，两点均在的垂直平分线上， 垂直平分； ②在上截取，连接． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 线段垂直平分线性质 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题 ） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：线段垂直平分线的性质 2 考点2：作已知线段的垂直平分线 4 考点3：作垂线（尺规作图） 5 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 13 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 考点1：线段垂直平分线的性质 【典例精讲】（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在四边形中，E为边上的一点，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)与交于点F，若，求证：． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【变式训练3】（2025·安徽合肥·二模）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标为、、． (1)作出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第一象限作出的位似，使与的位似比为； (3)利用无刻度直尺在平面直角坐标系内找一个整点（横纵坐标均为整数的点），使得，并写出点的坐标． 考点2：作已知线段的垂直平分线 【典例精讲】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 【变式训练1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知，如图，，相交于点，且． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） (2)若，求证： 【变式训练2】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，请用尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．    (1)在线段上找一点E，使得E点到边的距离与到边的距离相等． (2)在线段上找一点D，使得． 【变式训练3】（21-22八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在由边长为的小正方形组成的方格纸中，，是两个格点，请仅用无刻度的直尺在方格纸中完成下列画图：（不写画法，保留画图痕迹） （1）在图的方格纸中画出线段的垂直平分线； （2）在图的方格纸中找出一点，连接，使得． 考点3：作垂线（尺规作图） 【典例精讲】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； (2)连接，求证：． 【变式训练1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： (1)已知：线段h，a，b．求作：，使得，，边上的高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．若一定，请说明理由；若不一定．请作出符合条件的其他三角形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练2】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 【变式训练3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③：从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）． 5．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 5．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是 ． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，P是的中点，交于点Q，的周长是，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为 ． 8．（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）如图，在中，已知是的垂直平分线，，，求的周长． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 10．（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3） 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 培优拔高 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，是边的垂直平分线，，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 12．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F．    若，，则四边形的面积为 ． 15．（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ． 16．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为 ． 17．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）尺规作图：已知，在上求作点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18．（20-21八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，交于点，垂足为．求证： (1)是线段的垂直平分线； (2)． 19．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数． （2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数． 20．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在中，，点在上，且． (1)求的度数； (2)如图2，于点，于点，连接交于点． ①求证：垂直平分； ②若，，且．求的长（用含，的式子表示）． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$