专题07 一次函数六大实际问题归类（专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题07 一次函数六大实际问题归类 目录 A题型建模・专项突破 题型一、方案分配 1 题型二、最大利润 4 题型三、行程问题 7 题型四、梯度计价问题 12 题型五、费用最少问题 18 题型六、素材类问题 21 B综合攻坚・能力跃升 25 题型一、方案分配 1．“这么近那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） 方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠； 方案二：所有人都按六折优惠． A． B．原票价为480元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．当时，方案一比方案二优惠 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中获取有效的信息，求出函数图象解析式是解题关键．本题求出两种方案的解析式，选项逐一进行判断即可． 【详解】A、由图象可知：会员卡的费用为400元，，故本选项不符合题意； B、方案二：2人花费480元，单人票价为240元， 原票价为：元，故本选项不符合题意； C、方案二单人票价为240元 方案二的解析式为：，故本选项不符合题意； D、由题意得：方案一单人票价为：元 方案一的解析式为：， 当，即：时，方案一比方案二更优惠，故本选项符合题意 故选D． 2．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副， 根据题意，， 解得， 设总费用为，则。 ∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低， ∴当时，B型球拍为10副， 故选：C． 3．某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样?费用是多少? (3)小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算?请说明理由． 【答案】(1)套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； (2)去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； (3)见详解 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． （1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答； （2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可； （3）分类讨论：当，，时，分别算出对应的健身的次数，再进行作答即可． 【详解】（1）解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为， 由题意，得， 解得， ∴， 设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为， 把点和点分别代入， 即， 解得， ∴， ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； （2）解：根据题意，当时，两种套餐费用一样， 即：， 解得， 此时， ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； （3）解：由（2）得当时，解得， 即去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； 当时， 解得， 即去体育馆健身超过10次时，选择套餐二； 当时， 即去体育馆健身小于10次时，选择套餐一． 题型二、最大利润 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）2025年春晚吉祥物“巳升升”的设计灵感源自中华传统文化，整体造型参考了甲骨文中的“巳”字，呈现出憨态可掬且富有古意的形象．某商店计划购进大号和中号两种型号“巳升升”共60个（两种型号都要），其成本与售价如表所示： 价格类型 成本（元/件） 售价（元/件） 中号 40 60 大号 55 100 若设购进大号“巳升升”的数量为x件，销售完两种型号“巳升升”的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若大号“巳升升”的数量不超过中号“巳升升”数量的2倍，请问如何购买两种型号的吉祥物才能获利最大？并求出最大利润． 【答案】(1)（，且为整数） (2)购买大号“巳升升”件，中号“巳升升”件时利润最大，且为2200元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解答本题的关键； （1）根据总利润=两种吉祥物利润之和列出函数解析式； （2）根据“大号“巳升升”的数量不超过中号“巳升升”数量的2倍”，得出x的取值范围，再根据函数的性质求出函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴y与x之间的函数关系式为（，且为整数）； （2）解：由题意得，， 解得：， ∵一次函数中，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，利润最大，为元， 此时， 答：购买大号“巳升升”件，中号“巳升升”件时利润最大，且为2200元． 5．随着新冠病毒在全世界蔓延，疫情期间口罩成为紧缺物资，某市防控部门要求市民佩戴口罩出行，某药店购进甲种可有效预防新冠病毒的型口罩和乙种普通口罩共个，这两种口罩的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） 该药店计划购进乙种普通口罩个，两种口罩全部销售完后可获利润元． （1）求出利润与的函数关系式； （2）已知购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的倍，利用函数性质，说明该药店怎样进货，使全部销售获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）；（2）选择购进乙种普通口罩个，甲种型口罩个时，药店可获利最大，最大利润是元 【分析】（1）根据利润＝（售价−进价）×销售量列出y与x的函数关系式即可； （2）由甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的3倍，列出不等式解出自变量的取值范围即可确定函数值的最值． 【详解】解：（1）根据题意得：， 整理得：； （2）购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的倍， ， 解得：， 由（1）得， ， 函数值随的增大而减少， 使该药店购进口罩全部销售获得的利润最大，则应取最小值， 时，取得最大值， 此时（个） 又， 选择购进乙种普通口罩个，甲种型口罩个时，药店可获利最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，列函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． 6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价(元／个) 商场零售价(元／个) 篮球 足球 (1)求该商场采购费用(单位：元)与(单位：个)的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元／个，同时足球批发价下调了元／个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握一次函数的增减性和一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据“采购费用采购篮球的费用采购足球的费用”写出与的函数关系式，列关于的一元一次不等式组并求其解集即可； （2）依据题意，由利润与之间的函数关系式，根据不同的取值讨论该函数的增减性，根据的取值范围，当利润最小时求出此时的值即可． 【详解】（1）解：由题意，商场采购个篮球，且篮球和足球共个，则足球个． 采购费用． 又根据题意，得， ， 与的函数关系式及自变量的取值范围为． （2）每个篮球的利润为零售价减新批发价：（元/个）， 每个足球的利润为：（元/个）， 设篮球个数为 ，则足球个数为 ，总利润为 ， ∴， 依题意，， 由于 ，， ∴ 又∵篮球个数不少于足球个数， ∴ 当时，最小值在， ， 解得：， ，与矛盾，舍去， 当时，，舍去， 当时，最小值在 ， ∴ ， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意， 综上， 的值为． 题型三、行程问题 7．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行（   ） A．150 B．250 C．350 D．450 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 当时，设，将，代入求得，再把代入，求出，即可得出答案． 【详解】解：依题意，当时，设 将，代入，得： ， 解得， ∴； 依题意，把代入， 得 ∴（米） ∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米， 故选：C 8．已知甲、乙两地相距，小明从甲地去乙地，小丽从乙地去甲地，图中分别表示小明、小丽两人离乙地的距离与时间的函数关系图象．设两人相遇在处，则处到甲地的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，求得交点坐标是解题的关键． 根据题意分别求得的解析式，联立求得交点的坐标，进而求解即可． 【详解】解：设的解析式为，的解析式为 将点代入，点代入 则， 解得， ， 根据题意， 解得 则交点坐标为 ∴处到甲地的距离为． 故选A． 9．小冬骑自行车，爸爸骑电动车，沿相同路线由A地到B地，两人行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示．根据图象可知，在小冬出发 时两人相遇， 先到达B地． 【答案】 20 爸爸 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象解答即可． 【详解】解：由图象可得，在小冬出发时两人相遇，爸爸先到达B地． 故答案为：20；爸爸． 10．图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系．根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元．若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其他因素（虹绿灯，堵车等）．他从家到机场需要的时间是 分钟． 【答案】20 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键． 根据题意可得当时，y与x的函数关系式，再把代入函数关系式求出x的值，然后根据网约车的速度可得答案． 【详解】解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 设当 时，y与x的函数关系式为 ， 根据题意，得 ：，解得 ， ∴ ， 当 时，，解得 ， （分钟）． 故答案为：20． 11．周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小轩减速前的速度为 米/分钟； (2)求小轩减速后s与t之间的函数关系式； (3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是多少米？ 【答案】(1)20 (2) (3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米 【分析】本题主要考查了函数图象、求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求得一次函数解析式成为解题的关键． （1）根据图象以及速度、路程、时间的关系求解即可； （2）运用待定系数法求出函数解析式即可； （3）将代入（2）所得函数解析式即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知：小轩减速前爬山600米，用时30分钟，则小轩减速前的速度为米/分钟． 故答案为：20． （2）解：设小轩减速后与之间的函数表达式为， 将和代入得： ， 解得：． 小轩减速后与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 答：当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米． 12．综合与实践 为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究.数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能原汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异.信息如表所示： 参数类型 燃油汽车 新能源汽车 经济类型 燃油 电能 能源容量 油箱容积：50升 电池电量：50千瓦时 能源价格 油价：8元/升 电价：1元/千瓦时 续航里程 500千米 250千米 行驶费用 元/千米 元/千米 据调查，燃油汽车和新能源汽车每年的其他费用分别为4800元和7500元年费用=年行驶费用+年其他费用 (1)设每年行驶里程为xkm，用燃油汽车时，年费用为元，用新能源汽车时，年费用为元.请分别写出，与x之间的关系式； (2)请你通过计算说明，选择哪种汽车的年费用更低？ 【答案】(1)， (2)当行驶里程不足4500千米时，选择燃油汽车年费用更低；当行驶里程为4500千米时，选择燃油汽车和新能源汽车年费用相等；当行驶里程超过4500千米时，选择新能源汽车年费用更低 【分析】分别根据年费用=年行驶费用年其他费用解答即可； 比较，的大小即可． 本题考查一次函数的应用，写出，与x之间的关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 与x之间的关系式为，与x之间的关系式为 （2）当时，得，解得， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 当行驶里程不足4500千米时，选择燃油汽车年费用更低；当行驶里程为4500千米时，选择燃油汽车和新能源汽车年费用相等；当行驶里程超过4500千米时，选择新能源汽车年费用更低． 题型四、梯度计价问题 13．A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键在于列出相应的不等式，解相应的不等式． 根据收费方式A和B的计费规则，分别建立费用与上网时间的函数关系式，通过比较确定满足的x范围． 【详解】收费方式： 月使用费30元，包时上网时间，超时费元，即元， 当时，； 当时， ． 对于收费方式： 月使用费50元，包时上网时间，超时费元，即元 当时，； 当时， ． 分情况讨论时x的取值范围 当时： ，，此时，即，不满足． 当时： ，，若，则， 解得 ． 结合前提，此时的取值范围是 ． 当时： ，， ， 即恒成立 ． 综上，的取值范围是， 故选：C． 14．如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设的解析式为，直线的解析为，求出两个解析式，然后分别计算出方案一和方案二的花费，即可得到答案．解题的关键确定一次函数的解析式． 【详解】解：设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设直线的解析为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析为， ∴方案一：一次购买千克水果， 费用为：（元）， 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果， 费用为：（元）， ∵（元）， ∴方案一比方案二节省元． 故选：B． 15．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． 16．（2025·山西朔州·模拟预测）每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 【答案】(1) (2)50957.1元 【分析】此题考查一次函数的应用，理解题意并根据计算公式写出函数关系式是解题的关键： （1）根据计算公式计算即可； （2）先判断李师傅纳税使用级数，再根据对应级数y关于x的函数表达式，当时，求出对应的x的值即可 【详解】（1）解：， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：因为根据李师傅纳税2575.71元，， 所以李师傅纳税适用级数为2级，关于的函数表达式为． 当时，． 解得． 答：李师傅全年应纳税所得额是50957.1元． 17．为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动，需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的1.5倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为x件，总费用为y元．请回答以下问题： (1)写出总费用y与x的函数关系式； (2)在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1) (2)购买机器人模型的数量为36件，电子元件套装24件，总费用最低，最低费用5280元 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）求出购买电子元件套装的数量为件，根据单价计算即可； （2）先根据题意求出，再根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵购买机器人模型的数量为件，购买两种物品共60件， ∴购买电子元件套装的数量为件， ∵机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件， ∴； （2）解：∵机器人模型数量不少于电子元件套装的倍，且电子元件套装至少购买10件， ∴，解得 ，， 总费用随的增大而增大， 当时，（件）， 此时（元）． 购买机器人模型的数量为36件，电子元件套装24件，总费用最低，最低费用5280元． 题型五、费用最少问题 18．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 19．如图，某游客为爬上千米的山顶看日出，先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解题意，图示中函数图形的横坐标、纵坐标表示的含义分析即可求解． 【详解】解：先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶， ∴符合题意的函数图象是D选项， 故选：D ． 20．某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛塝地所需的固定不变的费用800元、另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？ (3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润=收入-比赛的费用）．若，求W的最大值． 【答案】(1) (2)40名 (3)2800元 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把，代入，得，即可作答． （2）直接把代入，解得，即可作答． （3）先理解题意得，结合一次函数的性质得随之的增大而增大，因为，把代入，，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵该次比赛的费用为2400元，且由（1）得 得把代入，得， 解得， 即该次比赛的费用为2400元，有名运动员参加了比赛； （3）解：∵该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润=收入-比赛的费用）． ∴， ∵， ∴随之的增大而增大， ∵， ∴把代入，得， ∴W的最大值为． 21．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价低5000元，用16万元购买A型机器人模型和用20万元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共80台，购买B型机器人模型不少于A型机器人模型的2倍，商家给出A型机器人在售价的基础上减免2000元，B型机器人在售价的基础上打八折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)种健身器材每套的售价为2万元，种健身器材每套的售价为万元； (2)学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． （1）设A型编程机器人模型单价是x万元，B型编程机器人模型单价是（）万元，根据：用16万元购买型机器人模型和用20万元购买型机器人模型的数量相同，即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型m台，根据题意可求出m的取值范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值． 【详解】（1）解：5000元万元， 设型机器人模型每套的售价为万元，则型机器人模型每套的售价为万元 由题意得：，         解得：，             经检验，是原方程的解，且符合题意， ，         答：种健身器材每套的售价为2万元，种健身器材每套的售价为万元； （2）2000元万元， 设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套， 由题意得：， 解得：，             为正整数， 的最大值为26， 设费用为万元， 由题意得：，     ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 此时，， 的最小值万元         答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为万元． 题型六、素材类问题 22．根据素材，完成下面任务． 学农实践活动 活动背景 为贯彻落实国务院下发的《加快建设农业强国规划（2024-2035年）》，洛川农业发展聚焦特色产业培育、科技赋能和生态保护，推动县域农业现代化．某校组织学生去当地果园进行学农实践活动，体验苹果采摘、包装和销售的过程． 素材一 同学们在活动中了解到该果园的苹果大小均匀、甘甜多汁，吸引大量游客前来采摘购买，苹果的原价为5元/． 素材二 为回馈新老顾客，果园对于来购买的游客给出以下两种优惠方案： 方案一：一次性购买苹果超过以上的部分按照原价的6折销售； 方案二：所有苹果按照原价的8折销售． 同学们在离开果园前购买了苹果带回去给家人品尝． (1)若选择方案一购买需要花费元，选择方案二购买需要花费元，求，关于的函数解析式； (2)同学们选择哪种方案购买更划算？ 【答案】(1)， (2)当购买苹果超过时，选择方案一购买更划算；当购买苹果为时，两种方案购买花费一样；当购买苹果超过而不足时，选择方案二购买更划算 【分析】本题考查一次函数解应用题，读懂题意，正确得到一次函数表达式是解决问题的关键． （1）由方案一和方案二要求直接求解即可得到答案； （2）分，，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：苹果的原价为5元/， 方案一：一次性购买苹果超过以上的部分按照原价的6折销售，则； 方案二：所有苹果按照原价的8折销售：； （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴， 综上：当购买苹果超过时，选择方案一购买更划算； 当购买苹果为时，两种方案购买花费一样； 当购买苹果超过而不足时，选择方案二购买更划算． 23．探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中为燃烧时间，为氧气含量． 完成下列任务 任务一 当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【答案】任务一：；任务二：340s 【分析】本题考查了一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 任务一：先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后再进行计算即可解答； 任务二：利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】解：任务一：设蜡烛熄灭前，氧气含量与燃烧时间之间的函数关系式为： 把代入中得： ， 解得， ， 当时，， ∴当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是； 任务二：当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭， ∴把代入中得：， 解得：， ∴当蜡烛燃烧340s时，会因为氧气不足而熄灭． 24．项目式学习 项目主题：深圳地铁票价探究 素材1 深圳地铁实行里程分段计价票制．普通车厢起步价：首4公里人民币2元；4公里至12公里部分，每人民币1元可乘坐4公里；12公里至24公里部分，每人民币1元可乘坐6公里；超过24公里，每人民币1元可乘坐8公里． 备注：两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度．例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为4公里和4.1公里，则此两站之间的里程为4公里，票价为2元． 素材2 深圳地铁的部分线路图如下（经过变形处理，并省略部分站点），标注了部分站点之间的地铁线路及里程． 素材3 深圳市深圳通有限公司与手机公司合作推出深圳通互联互通卡业务，该卡是通过NFC芯片绑定在手机上的一张虚拟公交卡．手机用户支付16元不可退服务费用后办理此卡后，可在乘坐地铁普通车厢使用此卡刷卡出闸时享受票价9.5折优惠． 问题解决 任务1 小达乘坐地铁从A站到B站，票价为3元，则A、B两站之间的最长里程为______km． 任务2 小达从布心站出发，乘坐5号线前往临海站并出站游玩，游玩后再从临海站出发，依次乘坐5号线、11号线、14号线、7号线和5号线回到布心站，求全程的地铁票价． 任务3 小达以任务2的方式在布心站和临海站之间往返，设其往返的来回数为，办理深圳通互联互通卡出行相比不办理节省的费用为，请求出与的关系式，并计算至少往返几个来回时，办理深圳通互联互通卡出行比不办理更划算？ 【答案】（任务1）8；（任务2）14元；（任务3），至少往返23个来回时，办理深圳通互联互通卡更划算 【分析】本题考查了一次函数的应用． （任务1）根据题意求解即可； （任务2）先计算去和回来的路程，再根据题意求解即可； （任务3）先求得与的关系式为，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（任务1）A、B两站之间的最长里程为． 故答案为：8； （任务2）去程的路线长度为，返程的路线长度为 所以布心站到临海站的里程为． 从而布心站到临海站的票价为 （元） 同理，而临海站到布心站的票价为 （元） 则全程的地铁票价为（元） 答：全程的地铁票价为14元； （任务3）由任务2和素材3可知，办理深圳通互联互通卡往返一次相比不办理节省的费用为（元）， 所以与的关系式为， 令，解得， 从而至少往返23个来回时，办理深圳通互联互通卡更划算． 答：至少往返23个来回时，办理深圳通互联互通卡业务出行比不办理更划算． 1．（2025·内蒙古包头·三模）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第回到家中，设小明出发第时的速度为，离家的距离为，与之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．小明出发第分钟时离家 B．跑步过程中，小明离家的最远距离为 C．当时，与之间的函数表达式为 D．小明出发第分钟时，开始按原路返回 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与行程的数量关系，理解函数图象，行程问题的数量关系是关键． 当时，速度为，由行程数量关系可判定A选项；根据图示，分别算出每段的路程，由于是往返，总路程除以2即可判定B选项；根据行程中的数量关系可判定C选项；根据题意得到第分钟时的路程，结合此次行程最远路程判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：当时，速度为， ∴小明出发第分钟时，，故A选项正确，不符合题意； 当时，速度为，当时，速度为， ∴小明离家的距离依次为：， ∴，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，小明的路程为，此时小明未到达最远处，没有原路返回，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 2．如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题关键是掌握找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数表达式． 【详解】解：设边的长为，边的长为， ∵菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， 又， ∴，解得：， ∴， ∴，且， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有 （填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的图象上特殊点的坐标和实际意义逐项判断即可求解，熟练掌握函数图象信息是解题的关键． 【详解】解：①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，①正确； ②，步行的速度是（千米/时），②正确； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了（分钟），③正确； ④骑车的同学到达目的地时间为54分钟，步行的同学到达目的地时间为60分钟，不同时到达目的地，④不正确． ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 4．已知货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设货车行驶的时间为x（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为（单位：），（单位：），如图所示的线段、折线分别表示，与x之间的函数关系． （1）货车行驶的速度为 ； （2）当轿车到达甲地时，货车距甲地 ； （3）两车出发 h时，两车相距． 【答案】 75 480 2.25或4.75 【分析】本题考查了根据函数图像读取信息以及一次函数的实际应用，读懂题意，结合图像与行程问题的数量关系解题是关键． （1）用货车的总路程除以时间即可得出货车的速度； （2）求出所在直线的解析式为，进而得出点E的坐标为，将代入计算求出即可； （3）先求出图中各点的坐标，分别根据待定系数法求出直线的解析式，然后分两种情况进行讨论：①当轿车休息前与货车相距时；②当轿车休息后与货车相距时，列出等式求解即可． 【详解】解：（1）由图象可得，货车行驶的速度为； （2）设直线所在直线的解析式为， 把代入，， 解得：， ∴所在直线的解析式为． 当时，即， 解得， 点D的坐标为． 轿车休息后仍以原速度继续行驶， 继续行驶仍需， 点E的坐标为． 将代入，得， 即当轿车到达甲地时，货车距甲地； （3）设线段所在直线的函数解析式为． 将点，代入， 则， 解得：， 线段所在直线的函数解析式为． 与货车相遇后，以原速度继续行驶， 设线段所在直线的函数解析式为． 将代入，， 线段所在直线的函数解析式为． 当轿车休息前与货车相距时，即， 解得； 当轿车休息后与货车相距时，即， 解得． 故两车出发或时相距， 故答案为：75；480；2.25或4.75． 5．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 【答案】4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 6．为建设新农村，照亮安全行走的路，某村委会从厂商购进甲、乙两种太阳能路灯．已知购买2盏甲种路灯和3盏乙种路灯共需2160元；购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需1280元： (1)求甲、乙两种路灯每盏的价格分别是多少元？ (2)该村委会计划购买这两种太阳能路灯共60盏，为支持新农村建设，该厂商对两种路灯进行了优惠：甲种路灯每盏降价50元，乙种路灯打九折．若要求甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半，则购买这批路灯最少需要花费多少元？ 【答案】(1)甲种路灯每盏480元，乙种路灯每盏400元 (2)元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，找出等量关系并列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）基本关系：金额=单价数量，总金额=甲的金额+乙的金额，据此列二元一次方程组，求解即可； （2）设购买甲种路灯m盏，根据题意列出总花费w与m的函数关系式，再结合约束条件求出m的取值范围，进而求出w的最小值．． 【详解】（1）设甲种路灯每盏元，乙种路灯每盏元， 根据题意可得： ， 解得：， 答：甲种路灯每盏480元，乙种路灯每盏400元； （2）设购买这批路灯花费元，其中购买甲种路灯盏， 由题意得：， ∵，解得：， ∵，随着的增大而增大， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：购买这批路灯最少需要花费元． 7．（24-25八年级下·福建福州·期中）“菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素．某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了元，“脐橙”用了元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵元． (1)问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共千克，再次购买的费用不超过元，且每种橙子进价保持不变．若每千克“果冻橙”的售价为元，每千克“脐橙”的售价为元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每千克“果冻橙”的进价是元，每千克“脐橙”的进价是元 (2)该水果商城再次购买千克“果冻橙”，千克“脐橙”时，获得的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设每千克“脐橙”的进价是元，则每千克“果冻橙”的进价是元，利用“质量总价单价”，根据：用元购进“果冻橙”的质量等于用元购进“脐橙”的质量，可列出关于的分式方程，解之，经检验后，可得出每千克“脐橙”的进价，再将其代入中，即可求出每千克“果冻橙”的进价； （2）设再次购买千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”，利用“总价单价质量”，结合“总价不超过元”可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设第二批购进的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得的总利润为元，利用“总利润每千克的销售利润销售数量（购进数量）”可列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每千克“脐橙”的进价是元，则每千克“果冻橙”的进价是元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：每千克“果冻橙”的进价是元，每千克“脐橙”的进价是元； （2）设再次购买千克“果冻橙”，则购买千克“脐橙”， 根据题意得：， 解得：， 设第二批购进的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得的总利润为元， 依题意，得：， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为（元），此时（千克）． 答：该水果商城再次购买千克“果冻橙”，千克“脐橙”时，获得的利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 8．（2025·宁夏银川·二模）据以下素材，探索完成任务． 如何设计销售方案？ 素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元． 素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． 素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元． 问题解决 任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： （用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价． 任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润． 【答案】任务1： ；任务2：每千克茶叶50元，每千克花生10元；任务3：当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的实际应用． 任务1：根据每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，用x表示出y值即可． 任务2：根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 任务3 设花生销售千克，茶叶销售千克获利最大，利润元，根据题意列出关于的一元一次不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数，根据函数的性质即可得出答案． 【详解】解：任务 1：假设每千克茶叶的售价为元／千克， 每千克花生的售价为元／千克， 任务 2：根据题意得：， 解得：， 则（元）， 答：每千克茶叶 50 元，每千克花生 10 元； 任务3：设花生销售千克，茶叶销售千克获利最大，利润元， 由题意得： ， 解得：， ， ， ∴ w随的增大而减小， ∴当时，利润最大， 此时花生销售30千克，茶叶销售（千克）， ∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数六大实际问题归类 目录 A题型建模・专项突破 题型一、方案分配 1 题型二、最大利润 3 题型三、行程问题 4 题型四、梯度计价问题 7 题型五、费用最少问题 10 题型六、素材类问题 11 B综合攻坚・能力跃升 14 题型一、方案分配 1．“这么近那么美，周末到河北”，河北某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） 方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠； 方案二：所有人都按六折优惠． A． B．原票价为480元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．当时，方案一比方案二优惠 2．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 3．某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样?费用是多少? (3)小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算?请说明理由． 题型二、最大利润 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）2025年春晚吉祥物“巳升升”的设计灵感源自中华传统文化，整体造型参考了甲骨文中的“巳”字，呈现出憨态可掬且富有古意的形象．某商店计划购进大号和中号两种型号“巳升升”共60个（两种型号都要），其成本与售价如表所示： 价格类型 成本（元/件） 售价（元/件） 中号 40 60 大号 55 100 若设购进大号“巳升升”的数量为x件，销售完两种型号“巳升升”的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若大号“巳升升”的数量不超过中号“巳升升”数量的2倍，请问如何购买两种型号的吉祥物才能获利最大？并求出最大利润． 5．随着新冠病毒在全世界蔓延，疫情期间口罩成为紧缺物资，某市防控部门要求市民佩戴口罩出行，某药店购进甲种可有效预防新冠病毒的型口罩和乙种普通口罩共个，这两种口罩的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） 该药店计划购进乙种普通口罩个，两种口罩全部销售完后可获利润元． （1）求出利润与的函数关系式； （2）已知购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的倍，利用函数性质，说明该药店怎样进货，使全部销售获得的利润最大？并求出最大利润． 6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球． 品名 厂家批发价(元／个) 商场零售价(元／个) 篮球 足球 (1)求该商场采购费用(单位：元)与(单位：个)的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元／个，同时足球批发价下调了元／个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值． 题型三、行程问题 7．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行（   ） A．150 B．250 C．350 D．450 8．已知甲、乙两地相距，小明从甲地去乙地，小丽从乙地去甲地，图中分别表示小明、小丽两人离乙地的距离与时间的函数关系图象．设两人相遇在处，则处到甲地的距离为（   ） A． B． C． D． 9．小冬骑自行车，爸爸骑电动车，沿相同路线由A地到B地，两人行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示．根据图象可知，在小冬出发 时两人相遇， 先到达B地． 10．图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系．根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元．若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其他因素（虹绿灯，堵车等）．他从家到机场需要的时间是 分钟． 11．周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小轩减速前的速度为 米/分钟； (2)求小轩减速后s与t之间的函数关系式； (3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是多少米？ 12．综合与实践 为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究.数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能原汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异.信息如表所示： 参数类型 燃油汽车 新能源汽车 经济类型 燃油 电能 能源容量 油箱容积：50升 电池电量：50千瓦时 能源价格 油价：8元/升 电价：1元/千瓦时 续航里程 500千米 250千米 行驶费用 元/千米 元/千米 据调查，燃油汽车和新能源汽车每年的其他费用分别为4800元和7500元年费用=年行驶费用+年其他费用 (1)设每年行驶里程为xkm，用燃油汽车时，年费用为元，用新能源汽车时，年费用为元.请分别写出，与x之间的关系式； (2)请你通过计算说明，选择哪种汽车的年费用更低？ 题型四、梯度计价问题 13．A，B两种上宽带网的收费方式如下表所示： 收费方式 月使用费／元 包时上网时间 超时费／（元） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 设收费方式A，B的收费金额分别为，（元），上网时间，当时，上网时间的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 15．（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 16．（2025·山西朔州·模拟预测）每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 17．为筹备校园科技节，某学校计划采购机器人模型和电子元件套装用于学生实践活动，需购买两种物品共60件，其中：机器人模型单价120元/件，电子元件套装单价40元/件．为保障活动质量，要求机器人模型数量不少于电子元件套装的1.5倍，且电子元件套装至少购买10件．设购买机器人模型的数量为x件，总费用为y元．请回答以下问题： (1)写出总费用y与x的函数关系式； (2)在满足题中条件的情况下，如何购买能使总费用最低？最低费用是多少？ 题型五、费用最少问题 18．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 19．如图，某游客为爬上千米的山顶看日出，先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（    ） A．B．C． D． 20．某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛塝地所需的固定不变的费用800元、另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？ (3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润=收入-比赛的费用）．若，求W的最大值． 21．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价低5000元，用16万元购买A型机器人模型和用20万元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共80台，购买B型机器人模型不少于A型机器人模型的2倍，商家给出A型机器人在售价的基础上减免2000元，B型机器人在售价的基础上打八折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？ 题型六、素材类问题 22．根据素材，完成下面任务． 学农实践活动 活动背景 为贯彻落实国务院下发的《加快建设农业强国规划（2024-2035年）》，洛川农业发展聚焦特色产业培育、科技赋能和生态保护，推动县域农业现代化．某校组织学生去当地果园进行学农实践活动，体验苹果采摘、包装和销售的过程． 素材一 同学们在活动中了解到该果园的苹果大小均匀、甘甜多汁，吸引大量游客前来采摘购买，苹果的原价为5元/． 素材二 为回馈新老顾客，果园对于来购买的游客给出以下两种优惠方案： 方案一：一次性购买苹果超过以上的部分按照原价的6折销售； 方案二：所有苹果按照原价的8折销售． 同学们在离开果园前购买了苹果带回去给家人品尝． (1)若选择方案一购买需要花费元，选择方案二购买需要花费元，求，关于的函数解析式； (2)同学们选择哪种方案购买更划算？ 23．探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中为燃烧时间，为氧气含量． 完成下列任务 任务一 当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 24．项目式学习 项目主题：深圳地铁票价探究 素材1 深圳地铁实行里程分段计价票制．普通车厢起步价：首4公里人民币2元；4公里至12公里部分，每人民币1元可乘坐4公里；12公里至24公里部分，每人民币1元可乘坐6公里；超过24公里，每人民币1元可乘坐8公里． 备注：两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度．例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为4公里和4.1公里，则此两站之间的里程为4公里，票价为2元． 素材2 深圳地铁的部分线路图如下（经过变形处理，并省略部分站点），标注了部分站点之间的地铁线路及里程． 素材3 深圳市深圳通有限公司与手机公司合作推出深圳通互联互通卡业务，该卡是通过NFC芯片绑定在手机上的一张虚拟公交卡．手机用户支付16元不可退服务费用后办理此卡后，可在乘坐地铁普通车厢使用此卡刷卡出闸时享受票价9.5折优惠． 问题解决 任务1 小达乘坐地铁从A站到B站，票价为3元，则A、B两站之间的最长里程为______km． 任务2 小达从布心站出发，乘坐5号线前往临海站并出站游玩，游玩后再从临海站出发，依次乘坐5号线、11号线、14号线、7号线和5号线回到布心站，求全程的地铁票价． 任务3 小达以任务2的方式在布心站和临海站之间往返，设其往返的来回数为，办理深圳通互联互通卡出行相比不办理节省的费用为，请求出与的关系式，并计算至少往返几个来回时，办理深圳通互联互通卡出行比不办理更划算？ 1．（2025·内蒙古包头·三模）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第回到家中，设小明出发第时的速度为，离家的距离为，与之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．小明出发第分钟时离家 B．跑步过程中，小明离家的最远距离为 C．当时，与之间的函数表达式为 D．小明出发第分钟时，开始按原路返回 2．如图，李爷爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有 （填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 4．已知货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设货车行驶的时间为x（单位：h），货车、轿车与甲地的距离分别为（单位：），（单位：），如图所示的线段、折线分别表示，与x之间的函数关系． （1）货车行驶的速度为 ； （2）当轿车到达甲地时，货车距甲地 ； （3）两车出发 h时，两车相距． 5．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 6．为建设新农村，照亮安全行走的路，某村委会从厂商购进甲、乙两种太阳能路灯．已知购买2盏甲种路灯和3盏乙种路灯共需2160元；购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需1280元： (1)求甲、乙两种路灯每盏的价格分别是多少元？ (2)该村委会计划购买这两种太阳能路灯共60盏，为支持新农村建设，该厂商对两种路灯进行了优惠：甲种路灯每盏降价50元，乙种路灯打九折．若要求甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半，则购买这批路灯最少需要花费多少元？ 7．（24-25八年级下·福建福州·期中）“菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素．某水果商城购进了一批质量相等的“果冻橙”和“脐橙”，其中购买“果冻橙”用了元，“脐橙”用了元，已知每千克“果冻橙”进价比每千克“脐橙”贵元． (1)问每千克“果冻橙”和“脐橙”进价各是多少元？ (2)若该水果商城决定再次购买同种“果冻橙”和“脐橙”共千克，再次购买的费用不超过元，且每种橙子进价保持不变．若每千克“果冻橙”的售价为元，每千克“脐橙”的售价为元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“果冻橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 8．（2025·宁夏银川·二模）据以下素材，探索完成任务． 如何设计销售方案？ 素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元． 素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同． 素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元． 问题解决 任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： （用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价． 任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$