专题02 平面直角坐标系中面积的六种考法（专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题02 平面直角坐标系中面积的六种考法 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、求三角形的面积 1 题型二、求四边形的面积 5 题型三、由面积的值求解 8 题型四、由面积相等求解 13 题型五、由面积间的关系求参数 18 题型六、直线分图形面积 25 B 综合攻坚 能力跃升 31 题型一、求三角形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．将经过平移后得到，已知点． (1)画出平移后的； (2)点的坐标是______； (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)为； (3)3． 【分析】本题主要考查了平移作图，求三角形的面积 （1）将三角形的三个顶点向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度再依次连接， （2）根据平移的规律并写出坐标； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案. 【详解】（1）解：平移后的如图所示： （2）由图可知：为； （3）解：的面积为． 2．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到． (1)请在单位长度为1的平面直角坐标系中画出； (2)请直接写出，，三点的坐标； (3)请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，正确作出对应的图形是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得，，三点的坐标，描出，，，并顺次连接，，即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所作． （2）解：由图可得，，． （3）解：． 3．如图，A的坐标是，B的坐标是，C的坐标是，三角形是由三角形向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到的． (1)请画出三角形 (2)若点是三角形内部一点，请直接写出三角形内部的对应点的坐标 （用x和y示）； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2））根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵A的坐标是，B的坐标是，C 的坐标是，三角形是由三角形向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到的， ∴，，， 如图所示，即为所求； （2）解：∵点是三角形内部一点， ∴三角形内部的对应点的坐标； （3）解：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，两点的坐标分别为、 (1)图中内一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点，，的对应点分别为点，，．写出点、、的坐标并在直角坐标系中画出． (2)求的面积； 【答案】(1)图见解析，，，； (2)10． 【分析】本题考查了三角形的面积公式，平移的性质，坐标与图形的性质； （1）由平移的性质可得出答案； （2）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中的图如图所示． ∴，， （2）解：． 题型二、求四边形的面积 5．已知四边形的顶点坐标，将点A向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B，将点B向下平移3个单位长度得到点C． (1)写出B，C点的坐标并在平面直角坐标系中画出四边形． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)；，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，正确求出点B和点C的坐标是解题的关键． （1）根据平移方式可求出点B的坐标，进而求出点C坐标，再描出A、B、C、D，并顺次连接A、B、C、D即可； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵将点A向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵将点B向下平移3个单位长度得到点C， ∴点C的坐标为，即， 如图所示，四边形即为所求； （2）解： ． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据点在坐标系中的位置，写出对应点坐标即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形的面积 7．如图，四边形ABCD所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)建立以点B为原点，AB边所在直线为x轴的直角坐标系，写出点A、C的坐标； (2)求出四边形ABCD的面积； (3)请画出将四边形ABCD向上平移5格，再向左平移2格后所得的四边形． 【答案】(1)直角坐标系见解析，A（-4，0），C（2，2）； (2)四边形ABCD的面积为9； (3)见解析 【分析】（1）根据已知建立坐标系即可得出A，C的坐标； （2）利用分割法将四边形ABCD分为和，继而即可求出其面积； （3）根据平移的规律：先向上平移5个单位，再向左平移2个单位，找出平移后各点的对应点，然后顺次连接各点，得到平移后的四边形． 【详解】（1）解：直角坐标系如图所示． 由图形知：A（-4，0），C（2，2）； （2）解：连接BD，把四边形ABCD分成两个三角形． =×4×3=6， =×2×3=3， =6+3=9； （3）解：四边形如图所示． 【点睛】本题考查了平移变换作图的知识，解题关键是根据平移规律找出各点的对应点，同时注意利用分割法求解不规则图形的面积． 题型三、由面积的值求解 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点作轴于点，我们可以由点，的坐标，直接得出三角形的面积为 ； 过点作轴于点，，． ， ∴可得关于的一元一次方程为，解这个方程，可得点的坐标为 ； 【问题迁移】 （2）请你仿照（1）中的方法，求点的纵坐标； 【问题拓展】 （3）若点在直线上，的面积等于，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 ． 【分析】（1）利用三角形面积公式，结合、坐标求面积；再依据列方程求，确定坐标． （2）用面积法（通过等面积关系）求纵坐标． （3）根据面积公式列方程求横坐标，再代入直线解析式求纵坐标，确定坐标． 本题考查平面直角坐标系中三角形面积计算、点坐标求解．关键是熟练运用三角形面积公式，结合点的坐标特征，通过“面积关系列方程”或“代入解析式”解题． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∵， ∴． ∴． ∵，． ∴， 解得， ∴． （2）如图，过点作轴，轴，则， ，， ∴ 解得 ∴； （3）设，则为到轴距离， ∵， ∴． 由，，即， 解得或． 当时，如图过作轴，轴， ，， ∴， 解得． ∴． 当时，同理可得． ∴． 综上点的坐标为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根． (1)直接写出：______，______，______； (2)将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点 ①在图中的平面直角坐标系中，画出平移后的线段，并直接写出点D的坐标； ②若点N在y轴上，且三角形的面积是12，求点N的坐标． 【答案】(1)；5； (2)①见解析；点D的坐标为②点N的坐标为或 【分析】（1）由非负数的性质可得，，则，由立方根的定义可得 （2）①根据平移的性质作图，即可得出答案． ②设点N的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． 本题考查作图-平移变换、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：算术平方根、立方根，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ， 是64的立方根， 故答案为：；5； （2）解：①由得，，， 线段向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到线段， 如图，线段即为所求． 点D的坐标为 ②设点N的坐标为， 三角形的面积是12， ， 解得或1， 点N的坐标为或 10．在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，连接． (1)点的坐标是_____，点的坐标是_____； (2)如图1，点是线段上一点，若，求点坐标，小军想到：可连接，此时将三角形分成两个小三角形，而三角形的面积恰好是三角形的三分之一，从而求出点坐标，请你根据小军的思路写出求解点坐标的过程； (3)如图2，将线段先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段（点的对应点为），线段与轴交于点，点是轴上一动点，当三角形的面积等于3时，求的值． 【答案】(1) ， (2)，写出求解点C坐标的过程见解析 (3)的值是或 【分析】（1）根据非负数的性质得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可； （2）设点C的坐标为，根据三角形的面积恰好是三角形的三分之一，以及三角形的面积恰好是三角形的三分之二，分别列出方程，求出m和n的值，即可得到坐标； （3）求出各点平移后的坐标，得到点C平移后在y轴上，即为点P，根据三角形的面积等于3，列出方程，解之即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； ∴，， 故答案为：  ； （2）解：∵， ，， ， 设点， ， ，即，，即， ，， 解得，， ； （3）解：将线段先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段， ， 平移后点对应点的坐标为. 点的对应点为点. 点， ， ，即， ， 三角形的面积等于3， ， 解得：或． 的值是或． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，坐标与图形，非负数的性质，点的平移，三角形的面积，解不等式，解题的关键是利用坐标表示三角形的面积，体现了数形结合的思想． 题型四、由面积相等求解 11．如图，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)求a，b的值： (2)求的面积： (3)若交y轴于Q，而Q的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，直接写出P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)存在，点P为或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系与几何的综合运用，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据平方以及平方根的非负性进行求解即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可； （3）设点，求出的面积，利用面积相等即可得到答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由（1）可知， 轴于B， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设点， Q的坐标为， ， ， 和的面积相等， ， 解得或， 故点P为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C是对应点． (1)点D的坐标是______； (2)若点P为y轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移： （1）根据点A与点C是对应点，可得线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积与三角形的面积相等，得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点， ，点A与点C是对应点． ∴线段先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∵， ∴点D的坐标是，即； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 即， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 13．如图所示，已知，，三点坐标．将三角形平移至三角形处，点A，B，C的对应点分别为点，，，其中点的坐标为． (1)①在图中画出平移后的三角形； ②其中三角形上一点平移后对应点的坐标为______； (2)求三角形的面积； (3)设点Q在y轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标． 【答案】(1)①见解析；②； (2)； (3)或． 【分析】本题考查作图-平移变换，涉及到三角形面积公式以及方程的应用，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据平移的性质作图即可； ②由题意知三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度得到三角形，结合平移的性质可得答案； （2）直接利用割补法求三角形的面积即可； （3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，三角形即为所求； ②由题意知，三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度得到三角形， ∴ 三角形上一点平移后对应点的坐标为； 故答案为：； （2）三角形的面积为； （3）设点的坐标为， ∵ 三角形与三角形的面积相等， ∴， 解得或， ∴ 点的坐标为或． 14．已知A(0，2)，B(3，0)，C(4，4)． （1）在坐标系中描出各点，画出三角形ABC； （2）求三角形ABC的面积； （3）设点P在坐标轴上，且三角形ABP与三角形ABC的面积相等，请直接写出所有点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）7；（3）(10，0)或(-4，0)或(0，)或(0，-) 【分析】（1）根据坐标在坐标系中直接描出各点即可； （2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D，E，利用S△ABC=S四边形DOEC-S△BCD- S△ACE -S△AOB求解； （3）注意区分当点P在x轴上时和当点P在y轴上时两种情况． 【详解】解：（1）如下图所示： （2）如图所示，过点C向x、y轴作垂线，垂足为D，E． ∴S四边形DOEC=4×4=16，S△BCD=×1×4=2， S△ACE=×2×4=4，S△AOB=×2×3=3． ∴S△ABC=S四边形DOEC-S△BCD- S△ACE -S△AOB=16-2-4-3=7．     （3）当点P在x轴上时，S△ABP=AO·BP=7，即：×2×BP=7，解得：BP=7， 所点P的坐标为（10，0）或（-4，0）； 当点P在y轴上时，S△ABP=BO·AP=7，即×3×AP=7，解得：AP=． 所以点P的坐标为（0，）或（0，-）． ∴点P的坐标为（10，0）或（-4，0）或（0，）或（0，-）． 【点睛】本题考查三角形的面积．熟练掌握三角形面积的求法是解题的关键．第（3）问注意区分当点P在x轴上时和当点P在y轴上时两种情况． 题型五、由面积间的关系求参数 15．如图在下面平面直角坐标系中，已知，，三点．其中满足． (1)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (2)在（1）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积为的面积的两倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为 【分析】本题考查了非负数的性质、坐标与图形性质，列代数式，一元一次方程的几何应用等知识，掌握利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系是解题的关键． （1）根据几个非负数和的性质得到，，，分别解一元一次方程得到，，；根据三角形的面积公式和四边形ABOP的面积进行列式，即可作答．； （2）根据点的坐标特点得出，轴，则可求出的面积，然后由四边形的面积为的面积的两倍建立等式，求出m后，即可写出P点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵点在第二象限内， ∴ ． （2）解：存在，点P的坐标为，过程如下： 由（1）得，，， ∴， ∴当四边形的面积为△的面积的两倍时， 则， ∴， ∴存在点，使四边形的面积为△的面积的两倍，且点P的坐标为 16．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， ； （2）解：，，， ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 当或时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或； （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 17．如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为．且、满足，现同时将点分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点．连接． (1)求点的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，连接、，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标：若不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了实数的非负性，坐标及其平移，平行线的判定和性质，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定和性质，三角形面积坐标表示法是解题的关键． （1）运用非负数的性质，确定a，b的值，得到A，B的坐标，根据平移的规律得到C，D的坐标，根据计算即可． （2）如图，过点E作，则，运用平行线性质证明即可． （3）设点M坐标为，根据面积公式计算即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， 将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D， ∴，， ∵，， ∴， （2）解：，理由如下： 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：∵三角形的面积是三角形面积的 ∴的面积， 当点M在x轴正半轴上时，设点， ∴， ∴， ∴，且点， ∴点或点(不合题意舍去)， ∴当点时，使三角形的面积是三角形面积的． 题型六、直线分图形面积 18．如图，四边形是长方形，边在x轴上，轴．已知点A坐标为，点C坐标为．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P的运动时间为． (1)点D坐标为______； (2)连接，当直线将长方形的面积分为的两部分时，求x的值； (3)连接，，直接写出三角形的面积为3时，点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的应用； （1）利用矩形的性质求出，，可得结论； （2）分两种情形：如图1，当点在线段上时，如图2，当点在线段上时，分别根据将长方形的面积分为的两部分构建方程求解即可； （3）当点与重合时，的面积为3，此时，当点在上且时，的面积为3，此时． 【详解】（1）解：四边形ABCD是矩形，，， ，， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 如图1，当点P在线段上时， 由题意，， ， ， 如图2，当点P在线段上时， 由题意，， ， ， 综上所述，满足条件的x的值为或； （3）如图3， 当点P与A重合时，的面积为， 此时， 当点在上且时，的面积为， 此时， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 19．在平面直角坐标系中，点，，，且m，n满足． (1)请直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图1，平移线段至，点B的对应点是点C，求直线与x轴的交点P的坐标； (3)如图2，点Q是x轴负半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求点Q的坐标． 【答案】(1)点，，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据非负数的性质求出的值即可； （2）由平移的性质可得点点D为，设点，由列式求出，从而可求出点P； （3）连接OC，设点，由可得，再求出，再根据BQ把四边形的面积分为时，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 解得，， 又，，， ∴,, （2）∵,，且点C是点B的对应点， ∴线段是线段先向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到的， ∵， ∴点D为， 连接，如图， 如图，设点， 则， ， ∴点 （3）连接，如图，设点， 则 当时，有 解得，； 当时，有 解得，； ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 20．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A，C的坐标分别为，，点B在第一象限． （1）写出点B的坐标________． （2）若过点C的直线交长方形的边于点D，且把长方形的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标； （3）如果将（2）中的线段向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到对应线段，连接，，求的面积． 【答案】（1）（3，2）；（2）（2，0）；（3）2 【分析】（1）根据长方形的性质求出点B的坐标； （2）根据三角形的面积公式、长方形的面积公式计算，得到答案； （3）根据平移的性质分别求出点C′的坐标、点D′的坐标，根据三角形面积计算计算即可． 【详解】解：（1）∵四边形OABC是长方形， ∴BC=OA=3，BA=OC=2， ∴点B的坐标为：（3，2）， 故答案为：（3，2）； （2）设D（x，0）， 由题意得，， 解得，， ∴点D的坐标为（2，0）； （3）平移后的图形如图所示： 由平移的性质可知，点C′的坐标为（1，-1），点D′的坐标为（3，-3）， ∴△DC'D'的面积等于梯形的面积减去两个直角三角形的面积 ． 【点睛】本题考查的是平移的性质、三角形的面积计算，掌握平移规律是解题的关键． 1．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形． 先设，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点B在x轴正半轴上， ∴可设， ∵三角形的面积等于3， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 5．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 6．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到． (1)请在方格纸中画出平移后的； (2)若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为_______________． (3)若内部有一点，按照已知条件平移后得到点，则点的坐标为_______________． (4)平移过程中，求边扫过的面积． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）根据题意构建平面直角坐标系，写出的坐标即可； （3）利用平移变换的性质求解； （4）边扫过的面积可以看出两个平行四边形的面积和． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：平面直角坐标系如图所示，． 故答案为：； （3）解：． 故答案为：； （4）解：平移过程中，求边扫过的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中已知，，． (1)求点到轴的距离； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 【答案】(1)3 (2)18 (3)或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，几何图形面积的计算，掌握平面直角坐标系的知识是关键． （1）根据点到坐标轴的距离的计算求解即可； （2）根据两点之间距离的计算得到，点到直线的距离为，根据三角形面积的计算公式求解即可； （3）设点的坐标为，根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为， 点到轴的距离； （2）解：点，点， ， 又点到直线的距离， （平方单位）； （3）解：设点的坐标为， ， ， 解得：，或， 点的坐标为或． 8.如图，过点作轴，作轴，垂足分别为，．为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路向终点运动． (1)求点的坐标． (2)在点的运动过程中，当三角形的面积是12时，求点的运动时间的值． (3)在点的运动过程中，，和之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，非负数的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）由非负数的性质求出，，则可得出答案； （2）由三角形面积可得出答案； （3）过点作于点．证出．同理，，得出．则可得出结论． 【详解】（1）解：，满足， ，， 解得，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ，， 又轴，轴， 点的坐标为； （2）解：三角形的面积是12， ， 即， 解得， ； （3）， 理由：如图，过点作于点． 轴，， ， ． 同理，， ． ， 【点睛】． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面直角坐标系中面积的六种考法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求三角形的面积 1 题型二、求四边形的面积 3 题型三、由面积的值求解 5 题型四、由面积相等求解 7 题型五、由面积间的关系求参数 9 题型六、直线分图形面积 10 B 综合攻坚 能力跃升 12 题型一、求三角形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．将经过平移后得到，已知点． (1)画出平移后的； (2)点的坐标是______； (3)求的面积． 2．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到． (1)请在单位长度为1的平面直角坐标系中画出； (2)请直接写出，，三点的坐标； (3)请求出的面积． 3．如图，A的坐标是，B的坐标是，C的坐标是，三角形是由三角形向左平移5个单位，再向下平移2个单位得到的． (1)请画出三角形 (2)若点是三角形内部一点，请直接写出三角形内部的对应点的坐标 （用x和y示）； (3)求三角形的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，两点的坐标分别为、 (1)图中内一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点，，的对应点分别为点，，．写出点、、的坐标并在直角坐标系中画出． (2)求的面积； 题型二、求四边形的面积 5．已知四边形的顶点坐标，将点A向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B，将点B向下平移3个单位长度得到点C． (1)写出B，C点的坐标并在平面直角坐标系中画出四边形． (2)求四边形的面积． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在格点上，其中，点的坐标为，点的坐标为． (1)填空：点的坐标是________，点的坐标是________． (2)求四边形的面积． 7．如图，四边形ABCD所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)建立以点B为原点，AB边所在直线为x轴的直角坐标系，写出点A、C的坐标； (2)求出四边形ABCD的面积； (3)请画出将四边形ABCD向上平移5格，再向左平移2格后所得的四边形． 题型三、由面积的值求解 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 过点作轴于点，我们可以由点，的坐标，直接得出三角形的面积为 ； 过点作轴于点，，． ， ∴可得关于的一元一次方程为，解这个方程，可得点的坐标为 ； 【问题迁移】 （2）请你仿照（1）中的方法，求点的纵坐标； 【问题拓展】 （3）若点在直线上，的面积等于，求点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根． (1)直接写出：______，______，______； (2)将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点 ①在图中的平面直角坐标系中，画出平移后的线段，并直接写出点D的坐标； ②若点N在y轴上，且三角形的面积是12，求点N的坐标． 10．在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，连接． (1)点的坐标是_____，点的坐标是_____； (2)如图1，点是线段上一点，若，求点坐标，小军想到：可连接，此时将三角形分成两个小三角形，而三角形的面积恰好是三角形的三分之一，从而求出点坐标，请你根据小军的思路写出求解点坐标的过程； (3)如图2，将线段先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段（点的对应点为），线段与轴交于点，点是轴上一动点，当三角形的面积等于3时，求的值． 题型四、由面积相等求解 11．如图，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)求a，b的值： (2)求的面积： (3)若交y轴于Q，而Q的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得和的面积相等？若存在，直接写出P点坐标：若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段平移得到线段，点A与点C是对应点． (1)点D的坐标是______； (2)若点P为y轴上一点，且三角形的面积与三角形的面积相等，求点P的坐标． 13．如图所示，已知，，三点坐标．将三角形平移至三角形处，点A，B，C的对应点分别为点，，，其中点的坐标为． (1)①在图中画出平移后的三角形； ②其中三角形上一点平移后对应点的坐标为______； (2)求三角形的面积； (3)设点Q在y轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标． 14．已知A(0，2)，B(3，0)，C(4，4)． （1）在坐标系中描出各点，画出三角形ABC； （2）求三角形ABC的面积； （3）设点P在坐标轴上，且三角形ABP与三角形ABC的面积相等，请直接写出所有点P的坐标． 题型五、由面积间的关系求参数 15．如图在下面平面直角坐标系中，已知，，三点．其中满足． (1)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (2)在（1）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积为的面积的两倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 17．如图1，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为．且、满足，现同时将点分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点．连接． (1)求点的坐标； (2)若点E在y轴负半轴上，连接、，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标：若不存在，试说明理由． 题型六、直线分图形面积 18．如图，四边形是长方形，边在x轴上，轴．已知点A坐标为，点C坐标为．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，设点P的运动时间为． (1)点D坐标为______； (2)连接，当直线将长方形的面积分为的两部分时，求x的值； (3)连接，，直接写出三角形的面积为3时，点P的坐标． 19．在平面直角坐标系中，点，，，且m，n满足． (1)请直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图1，平移线段至，点B的对应点是点C，求直线与x轴的交点P的坐标； (3)如图2，点Q是x轴负半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求点Q的坐标． 20．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A，C的坐标分别为，，点B在第一象限． （1）写出点B的坐标________． （2）若过点C的直线交长方形的边于点D，且把长方形的面积分成1：2的两部分，求点D的坐标； （3）如果将（2）中的线段向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到对应线段，连接，，求的面积． 1．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 3．已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 5．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 6．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到． (1)请在方格纸中画出平移后的； (2)若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为_______________． (3)若内部有一点，按照已知条件平移后得到点，则点的坐标为_______________． (4)平移过程中，求边扫过的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中已知，，． (1)求点到轴的距离； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 8.如图，过点作轴，作轴，垂足分别为，．为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路向终点运动． (1)求点的坐标． (2)在点的运动过程中，当三角形的面积是12时，求点的运动时间的值． (3)在点的运动过程中，，和之间有什么数量关系？请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$