第06讲 有理数的乘方与近似数（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（沪科版2024）

第06讲 有理数的乘方与近似数（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.乘方的意义 2.乘方的运算法则 3.有理数的混合运算 4.用科学记数法表示数 5.近似数 6.精确度 题型巩固 一、有理数幂的概念理解 二、有理数的乘方运算 三、乘方的应用 四、含乘方的有理数混合运算 五、用科学记数法表示绝对值大于1的数 六、程序流程图与有理数计算 七、求一个数的近似数 八、求近似数的精确度 九、近似数推断取值范围 强化训练 单选题（9） 填空题（4） 解答题（9） 知识梳理 知识点1.乘方的意义 1. 乘方 求个相同因数的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 个记作 ， 读作“的次方” ，其中 叫作底数， 叫作指数.当看作是 的 次方的结果时，也可读作“ 的 次幂” . 2. 乘方的意义 表示 个相同因数 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 知识点2.乘方的运算法则 1. 有理数的乘方运算法则 求非 0 有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号 . 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值 . 特别地，当底数较大时，可借助于计算器计算 . 3. ， － 及(－) 的区别与联系 － (－) 相同点 指数都是 n 不同点 意义不同 n 个 相乘的积 n 个 相 乘 的积的相反数 n 个 －相乘的积 底数不同 － 联系 n 为奇数 － =(－) ，且 － (－)都与 互为相反数( ≠ 0) n 为偶数 =(－)，且，(－)都与 －互为相反数( ≠ 0) n 为正整数 =－ =(－) =0( =0) 知识点3.有理数的混合运算 1. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到) . 通常把六种基本的代数运算分为三级： 加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算； 乘方与开方是第三级运算 . 2. 有理数混合运算的顺序 (1)先算高级运算，再算低级运算，即：先乘方，再乘除，最后加减； (2) 同级运算，按从左到右的顺序进行； (3) 如有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 . 知识点4.用科学记数法表示数 1. 科学记数法 一般地，绝对值大于10的数可以记成 的形式，其中， 等于原数的整数位数减1. 2. 科学记数法中的 和 (1)将原数的小数点移到最高数位的数字的后边即可得到 的值 . (2)确定 的两种方法： ①根据原数的整数位数来确定 ， 等于原数的整数位数减 1. 例如 2 024 是一个四位整数，用科学记数法表示为 2.024× ，其中 =4-1=3； ②按小数点移动的位数来确定 ，小数点向左移动了几位， 就等于几 . 知识点5.近似数 1. 准确数 与实际完全符合的数，称为准确数 . 2. 近似数 由于受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响，测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数，我们称此数为近似数 . 3. 误差 近似值与它的准确值的差叫作误差，即 误差 = 近似值－准确值 . 知识拓展： 近似数的几种常见情况 (1) 计算产生的近似数，如除不尽的数、含有圆周率 π 的计算结果； (2) 用测量工具测出的结果一般都是近似数 , 如长度、质量； (3) 不容易得到或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果只能是一个近似数； (4) 没有必要知道准确数而产生的近似数 , 如估测某场地的面积 . 知识点6.精确度 1. 近似数的精确度 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度 . 近似数的精确度的表述方法： (1) 用数位表示，如精确到千位、精确到千分位等； (2) 用小数表示，如精确到 0.1、精确到 0.01 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到 1 kg，1 m 等 . 2. 取近似数的方法 通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法 . 3.“去尾法”和“进一法”取近似数(拓展) 去尾法： 在取近似数时，不管截去部分最高位上的数是多少，一概去掉 ，这种方法叫作去尾法，用去尾法得到的近似数总比准确值小 . 进一法： 在取近似数时，不管截去部分最高位上的数是多少，都向前一位进 1，这种方法叫作进一法 . 用进一法得到的近似数总比准确值大 . 题型巩固 题型一、有理数幂的概念理解 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．表示8个2相乘 B．25表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、表示8个2相乘的相反数，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：D． 2．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）在中，底数 ，指数是 ． 【答案】 7 4 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】根据有理数的乘方的定义：中a叫做底数，n叫做指数，即可得答案． 【详解】解：中，底数是7，指数是4， 故答案为：①7，②4． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的概念，解题的关键是掌握中a，n的叫法． 题型二、有理数的乘方运算 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我们来了，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方． 根据乘方的意义求解即可． 【详解】解：， 故选：． 4．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）填空： ； ． 【答案】 4 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：，， 故答案为：，4． 5．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）数学课上，李老师在黑板上写了一道题目：当n为正整数时，计算的结果． 琪琪说：因为n的值不确定，所以的结果也不能确定； 聪聪说：的结果是不变的，可以求出． 你同意谁的说法？请给出你的答案并说明理由． 【答案】同意聪聪的说法，，理由见解析 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】分类讨论，分别把当n为偶数时和当n为奇数时的两种情况列出来，代入式子求解即可． 【详解】解：同意聪聪的说法，，理由如下： ∵n为正整数， ∴n可能为偶数，也可能为奇数， 当n为偶数时，为奇数，此时， 当n为奇数时，为偶数，此时， ∴的结果是不变的，可以求出， ∴聪聪的说法是正确的． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，对n进行分类讨论是解题的关键． 题型三、乘方的应用 6．（22-23七年级上·安徽亳州·期末）一条长的钢丝，第一次剪的去钢丝的，第二次剪去剩下钢丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下钢丝的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方的应用 【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案． 【详解】解：第一次剪去钢丝的，剩下是， 第二次剪去剩下钢丝的，剩下是， 第次剪完后剩下钢丝的长度是． 故答案为：C． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确找出题中的规律． 7．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】7 【知识点】乘方的应用 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键． 从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， … 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． 故答案为：7． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【答案】(1)21 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【知识点】乘方的应用 【分析】（1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是2917021311，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中班级、考场号、座位号的最大值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）解：∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 【点睛】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键． 题型四、含乘方的有理数混合运算 9．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算；根据新运算规定进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 10．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）计算： 【答案】3 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，原式先分别计算乘方，括号内的绝对值，然后计算乘除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 题型五、用科学记数法表示绝对值大于1的数 12．（24-25七年级上·安徽·期末）2024年国庆假期，青岛金秋文旅消费持续升温，旅游吸引力展示出城市软实力．根据旅游景区、住宿设施、游客抽样调查和旅游客流与消费大数据测算，10月1日至7日，青岛市接待游客5827000人次，5827000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：将5827000用科学记数法表示为， 故选：B． 13．（24-25七年级上·安徽六安·期末）六安是革命老区，拥有丰富的自然景观和人文景观．如天堂寨、万佛湖、皖西大裂谷、红军广场等著名景点．2024年8月至10月，六安市旅游收入亿元．其中亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 10时，是正数，当原数绝对值小于 1 时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故答案为：． 14．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【答案】(1)34900双 (2)棵 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】（1）根据“消费一次性筷子约900亿双，耗费木材”列式计算即解答； （2）根据“我国每年消费一次性筷子约900亿双耗费木材立方米”，结合一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材列式计算即可解答． 【详解】（1）解：（双）． 答：1立方米的木材约能生产34900双一次性筷子． （2）解：棵． 答：2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐棵生长了20年的大树． 【点睛】本题考查科学记数法的应用、整式除法等知识点．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 题型六、程序流程图与有理数计算 15．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．21 C．156 D．231 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图计算，涉及有理数乘除运算，看懂程序流程图，按步骤计算即可得到答案，看懂程序流程图，掌握有理数乘除运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：由程序图可知，若开始输入的数为，则 第一次：，； 第二次：，； 第三次：，； 最后输出的结果是， 故选：D． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】4 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：， ，输出， ∴； 故答案为：4． 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小力在电脑上设计一个有理数运算程序：输入，按键，再输入，得到运算． (1)求的值； (2)小华在运算此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”你猜小华在输入数据时，可能是出现了什么情况？为什么？ 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题是信息题，把当作a，2当作b，代入运算程序中进行计算．同时考查了有理数的混合运算，利用了分母和除数不能为0求第二小题． （1）把当作a，2当作b，代入运算程序中计算即可； （2）由于程序中有分数，分母不能为0；程序中有除法，除数不能为0，围绕这两方面找原因． 【详解】（1）解：     ；          （2）解：由于分母不为0，且程序中有和除以，故或时，程序无法操作． 题型七、求一个数的近似数 18．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）用四舍五入法，把6.80453精确到百分位，取得近似值为（   ） A．6.8 B．6.80 C．6.81 D．6.805 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到百分位即对千分位上的数字4进行四舍五入，据此可得答案． 【详解】解：用四舍五入法，把精确到百分位，取得近似值为， 故选：B． 19．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）学生测量数学课本的宽度值为，把四舍五入到十分位对应的近似数为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了求一个数的近似数，熟记相关结论即可，根据四舍五入法取近似值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 20．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第一次捏合后，得到2根面条，第二次捏合后，得到4根面条，第三次捏合后，得到8根面条，如图所示，    (1)经过3次捏合后，可以拉出______根细面条．经过次捏合后，可以拉出______根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出32根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是60cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少cm？（结果精确到万位） 【答案】(1) (2)到第5次捏合后可拉出32根细面条 (3) 【知识点】乘方的应用、求一个数的近似数、图形类规律探索 【分析】（1）根据题意，可以得到经过次捏合后，可以拉出根细面条，即可； （2）利用（1）中结论，列式计算即可； （3）先算出捏合10次后，拉出的细面条的根数，再乘以每根的长度，计算即可． 【详解】（1）解：由题意：第一次捏合后，得到2根面条， 第二次捏合后，得到根面条， 第三次捏合后，得到根面条， ∴经过3次捏合后，可以拉出8根细面条，经过次捏合后，可以拉出根细面条； 故答案为：； （2）由（1）知经过次捏合后，可以拉出根细面条， 当时，； ∴到第5次捏合后可拉出32根细面条； （3）； 答：拉出的细面条的总长度为． 【点睛】本题考查有理数乘方的实际应用．解题的关键是根据题意，抽象概括出经过次捏合后，可以拉出根细面条． 题型八、求近似数的精确度 21．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 【答案】B 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了近似数和有效数字，“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．根据近似数的精确度逐项判断即可． 【详解】解：（精确到），选项A正确，不符合题意； （精确到千分位），选项B错误，符合题意； （精确到百分位），选项C正确，不符合题意； （精确到），选项D正确，不符合题意， 故选：B． 22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）近似数亿精确 位． 【答案】百万 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数的精确度的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据亿最后一位数字位于百万位，即可得出结果． 【详解】解：∵亿最后一位数字位于百万位， ∴近似数亿精确百万位， 故答案为：百万． 23．下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位 【知识点】求近似数的精确度 【分析】（1）根据近似数的精确度求解； （2）根据近似数的精确度求解； （3）根据近似数的精确度求解； （4）根据近似数的精确度求解． 【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位， ∴600万精确到万位； （2）解：∵7.03万的末尾为百位， ∴7.03万精确到百位； （3）解：∵5.8亿的末尾为千万位， ∴5.8亿精确到千万位； （4）解：∵3.30×105的末尾为千位， ∴3.30×105亿精确到千位； 【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键． 题型九、近似数推断取值范围 24．用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查了近似数，掌握取近似数的相关法则是解题的关键，利用四舍五入得时，近似数均为． 【详解】当时，近似数为， 故选：C． 25．小飞测量身高近似米，若小飞的实际身高为x米，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查了近似数和有效数字，掌握近似数和有效数字的定义成为解题的关键． 根据精确到哪位就是对它后边的一位进行四舍五入即可解答． 【详解】解：据题意可知，他实际身高可能是最小米，最高小于米． 则x的取值范围是． 故答案为：． 强化训练 一、单选题 1．把数精确到百分位得到的近似数是，则下列的值的不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，根据精确到百分位，那么是对千分位上的数字进行四舍五入，据此求出原数的范围即可得到答案． 【详解】解：∵把数精确到百分位得到的近似数是， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 2．地球上的陆地面积约为149000000平方千米．将149000000用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【答案】B 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数有个整数位． 故选：B． 4．计算的结果为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题关键．先计算有理数的乘方，再按顺序计算即可． 【详解】解： ． 故选C． 5．下列说法正确的是（   ） A．近似数0.61与0.610的精确度相同 B．近似数精确到十分位 C．5.9951精确到百分位是6.00 D．“小明的体重为”中的数是准确数 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字． 【详解】解：A、近似数0.61精确到百分位，0.610精确到千分位，它们的精确度不相同，故此选项不符合题意； B、近似数精确到千位，故此选项不符合题意； C、5.9951精确到百分位是6.00，故此选项符合题意； D、“小明的体重为”中的数是近似数，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数数的乘方，分别计算出每个数的乘方，再进行比较即可． 【详解】解：Ａ、∵，∴，故此选项正确，符合题意； Ｂ、∵，，∴，故原选项计算错误，不符合题意； C、∵，∴，故原选项计算错误，不符合题意； D、∵，，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 7．联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：①当时，，故正确； ②当时，，故正确； ③当时，，故不正确； ④当时，，故不正确． ∴正确的个数为2个 故选B． 【点睛】本题考查了是有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 8．一根1m长的小木棒，第一次截去它的，第二次截去剩余部分的，第三次再截去剩余部分的，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】根据乘方的意义和题意可知：第1次截去后剩下的木棒长，第2次截去后剩下的木棒长，第3次截去后剩下的木棒长，以此类推第次截去后剩下的木棒长 米，即可求解． 【详解】解：第1次截去后剩下的木棒长， 第2次截去后剩下的木棒长， 第3次截去后剩下的木棒长， …… 以此类推第次截去后剩下的木棒长 ， ∴第六次后剩余的小木棒的长度是， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念并求出截去后剩下部分的份数是解题的关键． 9．定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据运算法则可得从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，据此即可求解，找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， ∴从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为， ∴第次“运算”的结果是， 故选：． 二、填空题 10．在，，，这四个数中，最大的数与最小的数的差等于 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，有理数的减法，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方法则，有理数的减法法则，有理数的大小比较法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方运算计算，可得最大的数为，最小的数为，再根据有理数的减法运算计算，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴最大的数为，最小的数为， ∴最大的数与最小的数的差等于． 故答案为： 11． ； ． 【答案】 0 1 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】解：， ， 故答案为：， 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 12．定义一种运算符号“※”： ．例如：，根据定义的运算法则，解决下列问题： （1） ； （2） ． 【答案】 10 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，新定义运算，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）先求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2） ， ． 故答案为：10． 13．李老师给同学们布置了一道作业题，要求每位同学写出一个式子，发到班级QQ群里，要求男同学发的式子结果为正数，女同学发的式子结果为负数，下面是其中的10个式子： ，，，，，，，，，． 则发这些式子的同学中，有男同学 人 【答案】4 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数的乘方运算 【分析】分别计算每个式子的数，看有几个正数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 共4个正数，有男同学4人， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的运算法则，涉及到了正数和负数、绝对值，掌握有理数的运算法则． 三、解答题 14．下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ (1)生物圈中，已知绿色植物约有30万种； (2)某校有1148人； (3)由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷． 【答案】(1)近似数 (2)准确数 (3)近似数 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数和准确数的含义与应用． （1）根据准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数可得答案； （2）根据准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数可得答案； （3）根据准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数可得答案． 【详解】（1）解：生物圈中，已知绿色植物约有30万种，其中30万属于近似数； （2）解：某校有1148人，其中1148属于准确数； （3）解：由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷，其中0.128属于近似数． 15．用科学记数法表示下列各数： (1)696000； (2)1000000； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．熟练掌握科学记数法的表示是解答本题的关键． （1）首先得出，，根据科学记数法的表示形式可得结论； （2）首先得出，，根据科学记数法的表示形式可得结论； （3）首先得出，，根据科学记数法的表示形式可得结论； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 16．用四舍五入对圆周率按以下要求取近似数． （1） （精确到个位）； （2） （精确到或精确到十分位）； （3） （精确到或精确到百分位）． 【答案】 3 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答． （1）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到个位； （2）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到十分位； （3）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位． 【详解】解：（1）（精确到个位）； （2）（精确到十分位）； （3）（精确到百分位）． 故答案为：3，，． 17．在计算时，小明同学的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)上述书写过程中，小明同学第_______步出现了错误．错误的原因是_______． (2)请你帮小明同学写出正确的解答过程． 【答案】(1)③，运算顺序错误 (2)见详解 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算， （1）观察题干的书写过程，找出小明同学第③步出现了错误．根据乘除同级运算，从左到右，错误的原因是先运算乘法再除法，即正确的运算顺序：先运算除法再乘法，即可作答． （2）先运算乘方和运算括号内，再运算除法，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干解题过程，得小明同学第③步出现了错误．错误的原因是运算顺序错误； （2）解： ． 18．数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 【答案】(1)22 (2)16 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，列出算式，得出运算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，输入7，运算一次后的结果为： ； （2）解：∵每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1， ∴这个同学们输入的数为：． 19．阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】有理数乘方逆运算、乘方的应用 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 20．在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______； (2)请你计算： 【答案】(1) (2) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2），， ． 21．探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【答案】（1）①1； ②1；③1；④1 （2）①1；②1；③64 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】（1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： 计算即可． 【详解】解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = = 【点睛】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． 22．数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题，例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数），例如：，则． 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数加法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，有理数的加法运算等知识点，理解劳格数的定义并正确的列式计算是解题的关键． （1）根据劳格数的定义即可求出答案； （2）根据劳格数的定义列式计算即可； （3）根据劳格数的定义先求出，的值，然后再求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为∶，； （2）解：，， ，， ， 故答案为∶； （3）解：， ， ， ， 为正整数， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘方与近似数（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.乘方的意义 2.乘方的运算法则 3.有理数的混合运算 4.用科学记数法表示数 5.近似数 6.精确度 题型巩固 一、有理数幂的概念理解 二、有理数的乘方运算 三、乘方的应用 四、含乘方的有理数混合运算 五、用科学记数法表示绝对值大于1的数 六、程序流程图与有理数计算 七、求一个数的近似数 八、求近似数的精确度 九、近似数推断取值范围 强化训练 单选题（9） 填空题（4） 解答题（9） 知识梳理 知识点1.乘方的意义 1. 乘方 求个相同因数的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 个记作 ， 读作“的次方” ，其中 叫作底数， 叫作指数.当看作是 的 次方的结果时，也可读作“ 的 次幂” . 2. 乘方的意义 表示 个相同因数 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 知识点2.乘方的运算法则 1. 有理数的乘方运算法则 求非 0 有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号 . 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值 . 特别地，当底数较大时，可借助于计算器计算 . 3. ， － 及(－) 的区别与联系 － (－) 相同点 指数都是 n 不同点 意义不同 n 个 相乘的积 n 个 相 乘 的积的相反数 n 个 －相乘的积 底数不同 － 联系 n 为奇数 － =(－) ，且 － (－)都与 互为相反数( ≠ 0) n 为偶数 =(－)，且，(－)都与 －互为相反数( ≠ 0) n 为正整数 =－ =(－) =0( =0) 知识点3.有理数的混合运算 1. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到) . 通常把六种基本的代数运算分为三级： 加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算； 乘方与开方是第三级运算 . 2. 有理数混合运算的顺序 (1)先算高级运算，再算低级运算，即：先乘方，再乘除，最后加减； (2) 同级运算，按从左到右的顺序进行； (3) 如有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 . 知识点4.用科学记数法表示数 1. 科学记数法 一般地，绝对值大于10的数可以记成 的形式，其中， 等于原数的整数位数减1. 2. 科学记数法中的 和 (1)将原数的小数点移到最高数位的数字的后边即可得到 的值 . (2)确定 的两种方法： ①根据原数的整数位数来确定 ， 等于原数的整数位数减 1. 例如 2 024 是一个四位整数，用科学记数法表示为 2.024× ，其中 =4-1=3； ②按小数点移动的位数来确定 ，小数点向左移动了几位， 就等于几 . 知识点5.近似数 1. 准确数 与实际完全符合的数，称为准确数 . 2. 近似数 由于受测量工具、测量方法、测量者等因素的影响，测量的结果一般只是一个与实际数值很接近的数，我们称此数为近似数 . 3. 误差 近似值与它的准确值的差叫作误差，即 误差 = 近似值－准确值 . 知识拓展： 近似数的几种常见情况 (1) 计算产生的近似数，如除不尽的数、含有圆周率 π 的计算结果； (2) 用测量工具测出的结果一般都是近似数 , 如长度、质量； (3) 不容易得到或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果只能是一个近似数； (4) 没有必要知道准确数而产生的近似数 , 如估测某场地的面积 . 知识点6.精确度 1. 近似数的精确度 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度 . 近似数的精确度的表述方法： (1) 用数位表示，如精确到千位、精确到千分位等； (2) 用小数表示，如精确到 0.1、精确到 0.01 等； (3) 对带有单位的数用单位表示，如精确到 1 kg，1 m 等 . 2. 取近似数的方法 通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法 . 3.“去尾法”和“进一法”取近似数(拓展) 去尾法： 在取近似数时，不管截去部分最高位上的数是多少，一概去掉 ，这种方法叫作去尾法，用去尾法得到的近似数总比准确值小 . 进一法： 在取近似数时，不管截去部分最高位上的数是多少，都向前一位进 1，这种方法叫作进一法 . 用进一法得到的近似数总比准确值大 . 题型巩固 题型一、有理数幂的概念理解 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．表示8个2相乘 B．25表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 2．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）在中，底数 ，指数是 ． 题型二、有理数的乘方运算 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我们来了，则的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）填空： ； ． 5．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）数学课上，李老师在黑板上写了一道题目：当n为正整数时，计算的结果． 琪琪说：因为n的值不确定，所以的结果也不能确定； 聪聪说：的结果是不变的，可以求出． 你同意谁的说法？请给出你的答案并说明理由． 题型三、乘方的应用 6．（22-23七年级上·安徽亳州·期末）一条长的钢丝，第一次剪的去钢丝的，第二次剪去剩下钢丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下钢丝的长度是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 题型四、含乘方的有理数混合运算 9．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．7 D．5 10．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算： ． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）计算： 题型五、用科学记数法表示绝对值大于1的数 12．（24-25七年级上·安徽·期末）2024年国庆假期，青岛金秋文旅消费持续升温，旅游吸引力展示出城市软实力．根据旅游景区、住宿设施、游客抽样调查和旅游客流与消费大数据测算，10月1日至7日，青岛市接待游客5827000人次，5827000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·安徽六安·期末）六安是革命老区，拥有丰富的自然景观和人文景观．如天堂寨、万佛湖、皖西大裂谷、红军广场等著名景点．2024年8月至10月，六安市旅游收入亿元．其中亿用科学记数法表示为 ． 14．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 题型六、程序流程图与有理数计算 15．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．21 C．156 D．231 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ． 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小力在电脑上设计一个有理数运算程序：输入，按键，再输入，得到运算． (1)求的值； (2)小华在运算此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”你猜小华在输入数据时，可能是出现了什么情况？为什么？ 题型七、求一个数的近似数 18．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）用四舍五入法，把6.80453精确到百分位，取得近似值为（   ） A．6.8 B．6.80 C．6.81 D．6.805 19．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）学生测量数学课本的宽度值为，把四舍五入到十分位对应的近似数为 ． 20．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第一次捏合后，得到2根面条，第二次捏合后，得到4根面条，第三次捏合后，得到8根面条，如图所示，    (1)经过3次捏合后，可以拉出______根细面条．经过次捏合后，可以拉出______根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出32根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是60cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少cm？（结果精确到万位） 题型八、求近似数的精确度 21．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到） B．（精确到千分位） C．（精确到百分位） D．（精确到） 22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）近似数亿精确 位． 23．下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 题型九、近似数推断取值范围 24．用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 25．小飞测量身高近似米，若小飞的实际身高为x米，则x的取值范围是 ． 强化训练 一、单选题 1．把数精确到百分位得到的近似数是，则下列的值的不可能是（    ） A． B． C． D． 2．地球上的陆地面积约为149000000平方千米．将149000000用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 3．一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 4．计算的结果为（    ） A．1 B．5 C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．近似数0.61与0.610的精确度相同 B．近似数精确到十分位 C．5.9951精确到百分位是6.00 D．“小明的体重为”中的数是准确数 6．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 8．一根1m长的小木棒，第一次截去它的，第二次截去剩余部分的，第三次再截去剩余部分的，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的长度是（   ） A． B． C． D． 9．定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．在，，，这四个数中，最大的数与最小的数的差等于 ． 11． ； ． 12．定义一种运算符号“※”： ．例如：，根据定义的运算法则，解决下列问题： （1） ； （2） ． 13．李老师给同学们布置了一道作业题，要求每位同学写出一个式子，发到班级QQ群里，要求男同学发的式子结果为正数，女同学发的式子结果为负数，下面是其中的10个式子： ，，，，，，，，，． 则发这些式子的同学中，有男同学 人 三、解答题 14．下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ (1)生物圈中，已知绿色植物约有30万种； (2)某校有1148人； (3)由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷． 15．用科学记数法表示下列各数： (1)696000； (2)1000000； (3)． 16．用四舍五入对圆周率按以下要求取近似数． （1） （精确到个位）； （2） （精确到或精确到十分位）； （3） （精确到或精确到百分位）． 17．在计算时，小明同学的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)上述书写过程中，小明同学第_______步出现了错误．错误的原因是_______． (2)请你帮小明同学写出正确的解答过程． 18．数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 19．阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 20．在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______； (2)请你计算： 21．探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 22．数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题，例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数），例如：，则． 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$