第07讲 有理数的乘方与近似数（6个知识点+4种题型+过关检测）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024）

第07讲 有理数的乘方与近似数（6个知识点+4种题型+过关检测） 知识点1．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点3．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点4．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点5．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点6．科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 题型一、有理数的乘方运算 1．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）下列计算中：（）；（）；（） ； （）；（）； （）；（）；正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）有理数、、、0、中，负数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算： ． 4．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）填空： ； ． 5．（23-24七年级上·安徽六安·期中）先化简，再求值：，其中，满足：是最小正整数，． 6．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 题型二、含乘方的有理数混合运算 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B．12 C． D．4 8．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）我们常用的十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．1435天 B．510天 C．365天 D．13天 9．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算的值时，令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算： ． 10．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）计算 11．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型三、用科学记数法表示绝对值大于1的数 12．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）5210000000用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·安徽·单元测试）据《央视网》报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，在求解“量子随机线路取样”任务的速度比目前全球最快的超级计算机快万倍以上，其中万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）中秋佳节将至，合肥骆岗公园举办灯会游园活动，初步预计游客达到500000人．用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 16．（23-24七年级上·安徽六安·期末）据报道，截止年月我国网民规模达亿人．将亿用科学记数法表示为 ． 题型四、求一个数的近似数 17．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）牡丹自古以来就是中国的国花，被誉为“百花之王”．据估计，我国牡丹栽种数量约为株，用科学记数法表示为（    ）（精确到百万位） A． B． C． D． 18．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）祖冲之发现的圆周率的分数近以值为，下列对圆周率取近似数错误的是（    ） A．3.1（精确到0.1） B．3.14（精确到0.01） C．3.141（精确到0.001） D．3.1416（精确到0.0001） 19．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）精确到百分位的近似数是 ． 20．（23-24七年级上·安徽·单元测试）用四舍五入法取近似值： （精确到百分位） 21．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第一次捏合后，得到2根面条，第二次捏合后，得到4根面条，第三次捏合后，得到8根面条，如图所示，    (1)经过3次捏合后，可以拉出______根细面条．经过次捏合后，可以拉出______根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出32根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是60cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少cm？（结果精确到万位） 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•亳州期末）若，则的值是　　 A． B．1 C． D．2023 2．（2022秋•颍州区校级期末）“一带一路”的“朋友圈”究竟有多大？“一带一路”涉及沿线65个国家，总涉及人口约4500000000，将4500000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•太湖县期末）下列说法中正确的是　　 A．近似数是精确到十分位 B．将80360精确到千位为 C．近似数17.8350是精确到0.001 D．近似数149.60与相同 4．（2023秋•瑶海区校级期末）化简结果为　　 A．2024 B． C．1 D． 5．（2022秋•亳州期末）一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2023次剪完后剩下铜丝的长度是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•泗县月考）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为　　 A．5 B．8 C．9 D．10 7．（2023秋•黄山期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是　　 A．0.1（精确到 B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到 8．（2023秋•蒙城县期中）2023年国庆黄金周，合肥园博园日均游客约为人次，对于四舍五入得到的近似数，下列说法正确的是　　 A．精确到百分位 B．精确到千位 C．精确到十位 D．精确到百位 9．（2023秋•濉溪县校级月考）祖冲之发现的圆周率的分数近以值为，下列对圆周率取近似数错误的是　　 A．3.1（精确到 B．3.14（精确到 C．3.141（精确到 D．3.1416（精确到 10．（2020秋•金安区校级期中）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：※，则2※等于　　 A． B． C．0 D．2 二．填空题（共4小题） 11．（2024•杜集区校级开学）商场内有一自动向上扶梯，如果小明站在扶梯上不动，1分钟可到上一层．如果扶梯不动，小明沿扶梯步行上楼，需要走1.5分钟，如果小明在向上运行的扶梯上保持步行上楼，　　分钟可以到上一层． 12．（2023秋•临泉县期末）2023年12月11日，记者从安徽省政府新闻办召开的新闻发布会上获悉，安徽将推动最严格的耕地保护制度落实落细，织密“千亿斤江淮粮仓”保护网．数据“1000亿”用科学记数法表示为 　 　． 13．（2023秋•霍邱县月考）《庄子天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，． （1）前4天共截取木棍的长度为 　 　米； （2）第8天截取后剩余部分的长度为 　　 米． 14．（2024•宣州区校级开学）“科技兴则民族兴，科技强则国家强”，比亚迪新能源技术的发展向世界证明中国的科技力量．今年月累计生产 辆新车．横线上的数读作：　 　，四舍五入到万位约是 　　 ． 三．解答题（共9小题） 15．（2023秋•蚌埠期末）我国最大的领海是南海，总面积有，用科学记数法可表示为 　 　． 16．（2024•利辛县校级开学）直接写得数． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 17．（2023秋•合肥月考）计算： （1）； （2）． 18．（2023秋•合肥期末）计算：． 19．（2022秋•舒城县校级月考）据不完全统计，某市至少有个水龙头漏水，这些水龙头每月流失的总水量约立方米． （1）每个水龙头每月的漏水量约多少立方米？（结果精确到0.1立方米） （2）如果该市每立方米水费是1.9元，这些水龙头一年漏水量的总水费是多少万元？ 20．（2021秋•定远县校级月考）某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是，沙层的深度大约是，已知该沙漠中的体积约为． （1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：； （2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？ （3）如果一粒沙子体积大约是，那么，该沙漠中有多少粒沙子（用科学记数法表示）？ 21．（2023秋•裕安区校级月考）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下（单位： ，，，，，，，，，． （1）请计算小明家这10天轿车行驶的路程； （2）若该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用． 22．（2023秋•太和县期末）已知：是最大的负整数，且、、满足， （1）直接写出　 　，　　，　　． （2），，所对应的点分别为，，，若点以每秒个单位长度的速度运动，点和点分别以每秒3个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①当点向右运动，且时，请问：的值是否随着时间的变化而变化． ②当的值不随着时间的变化而变化，求的值． 23．（2021秋•歙县期末）据了解，火车票价按“”的方法来确定，已知站至站总里程数为1200千米，全程参考价为180元，下表是沿途各站至站的里程数（单位：千米） 车站名 各站至站的里程数 1200 1030 910 620 450 219 98 0 例如：要确定站至站火车票价，其票价为（元； （1）站与站的实际乘车里程数为 　 　千米； （2）求站至站的火车票价（精确到1元）； （3）旅客张大妈乘火车去女儿家，上车过两站后，她拿着车票问乘务员：“我已经过了两站了，我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中的票价是87元，马上说下一站就到了，请向王大妈是在哪一站下车？（要求写出解答过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 有理数的乘方与近似数（6个知识点+4种题型+过关检测） 知识点1．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点3．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点4．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 知识点5．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点6．科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 题型一、有理数的乘方运算 1．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）下列计算中：（）；（）；（） ； （）；（）； （）；（）；正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则逐个进行计算即可判断求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（），故（）错误； （），故（）错误； （），故（）错误； （），故（）错误； （），故（）正确； （），故（）错误； （），故（）错误； ∴正确的个数为个， 故选：． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）有理数、、、0、中，负数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】正负数的意义、化简绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了负数的概念，含乘方的有理数化简与化简绝对值，负数就是小于0的数，带负号的数不一定负数．熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相关性质化简各项，再利用负数的概念进行判断即可． 【详解】解：，是负数； 是负数； ，不是负数； 0不是负数； ，是负数； 综上：有3个负数， 故选：B． 3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算： ． 【答案】2 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，掌握有理数乘方运算的符号法则是解题的关键． 先算乘方，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 4．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）填空： ； ． 【答案】 4 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：，， 故答案为：，4． 5．（23-24七年级上·安徽六安·期中）先化简，再求值：，其中，满足：是最小正整数，． 【答案】， 【知识点】有理数的乘方运算、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，根据最小的正整数为1得到，根据有理数的乘方得到，由此把a、b的值代入化简结果中求解即可． 【详解】解： ， ∵是最小正整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 6．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【答案】(1)16 (2)64 【知识点】有理数的减法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键． （1）由，可得，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二、含乘方的有理数混合运算 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B．12 C． D．4 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算加法即可． 【详解】解：． 故选C． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）我们常用的十进制数，如，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．1435天 B．510天 C．365天 D．13天 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】考查了有理数的混合运算，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算类比于十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：天， 故选：B． 9．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算的值时，令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算： ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是将所求的式子整体进行扩大或缩小，要熟悉这种解题的思路．根据题目所给方法，令，表示出，相加得出的值，然后化简即可． 【详解】解：令 则 因此， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）计算 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式先计算乘方和括号内的，再计算除尘，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三、用科学记数法表示绝对值大于1的数 12．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）5210000000用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：5210000000用科学记数法表示为． 故选：B． 13．（23-24七年级上·安徽·单元测试）据《央视网》报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，在求解“量子随机线路取样”任务的速度比目前全球最快的超级计算机快万倍以上，其中万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：万． 故选：C． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）中秋佳节将至，合肥骆岗公园举办灯会游园活动，初步预计游客达到500000人．用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将500000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选A． 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：4060万用科学记数法表示为． 故答案为：． 16．（23-24七年级上·安徽六安·期末）据报道，截止年月我国网民规模达亿人．将亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故答案为：． 题型四、求一个数的近似数 17．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）牡丹自古以来就是中国的国花，被誉为“百花之王”．据估计，我国牡丹栽种数量约为株，用科学记数法表示为（    ）（精确到百万位） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了科学记数法和近似数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选A． 18．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）祖冲之发现的圆周率的分数近以值为，下列对圆周率取近似数错误的是（    ） A．3.1（精确到0.1） B．3.14（精确到0.01） C．3.141（精确到0.001） D．3.1416（精确到0.0001） 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查求一个数的近似数，根据四舍五入法确定近似数，进行判断即可． 【详解】解：A、3.1（精确到0.1），正确； B、3.14（精确到0.01），正确； C、3.142（精确到0.001），选项错误； D、3.1416（精确到0.0001），正确； 故选C． 19．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）精确到百分位的近似数是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：精确到百分位的近似数是．     故答案为：． 20．（23-24七年级上·安徽·单元测试）用四舍五入法取近似值： （精确到百分位） 【答案】6.32 【知识点】求一个数的近似数 【分析】根据四舍五入法（千分位大于5或者等于5进一否则直接去掉）以及近似数的定义填空即可．本题考查了四舍五入法以及近似数的定义 【详解】解：∵千分位 ∴ 故答案为：6.32 21．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第一次捏合后，得到2根面条，第二次捏合后，得到4根面条，第三次捏合后，得到8根面条，如图所示，    (1)经过3次捏合后，可以拉出______根细面条．经过次捏合后，可以拉出______根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出32根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是60cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少cm？（结果精确到万位） 【答案】(1) (2)到第5次捏合后可拉出32根细面条 (3) 【知识点】乘方的应用、图形类规律探索、求一个数的近似数 【分析】（1）根据题意，可以得到经过次捏合后，可以拉出根细面条，即可； （2）利用（1）中结论，列式计算即可； （3）先算出捏合10次后，拉出的细面条的根数，再乘以每根的长度，计算即可． 【详解】（1）解：由题意：第一次捏合后，得到2根面条， 第二次捏合后，得到根面条， 第三次捏合后，得到根面条， ∴经过3次捏合后，可以拉出8根细面条，经过次捏合后，可以拉出根细面条； 故答案为：； （2）由（1）知经过次捏合后，可以拉出根细面条， 当时，； ∴到第5次捏合后可拉出32根细面条； （3）； 答：拉出的细面条的总长度为． 【点睛】本题考查有理数乘方的实际应用．解题的关键是根据题意，抽象概括出经过次捏合后，可以拉出根细面条． 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•亳州期末）若，则的值是　　 A． B．1 C． D．2023 【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后根据有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：， 又，， ，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 2．（2022秋•颍州区校级期末）“一带一路”的“朋友圈”究竟有多大？“一带一路”涉及沿线65个国家，总涉及人口约4500000000，将4500000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：． 故选：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3．（2023秋•太湖县期末）下列说法中正确的是　　 A．近似数是精确到十分位 B．将80360精确到千位为 C．近似数17.8350是精确到0.001 D．近似数149.60与相同 【分析】根据科学记数法与有效数字判断即可． 【解答】解：选项，近似数是精确到千位，故该选项不符合题意； 选项，将80360精确到千位为，故该选项符合题意； 选项，近似数17.8350是精确到0.0001，故该选项不符合题意； 选项，近似数149.60精确到0.01，精确到0.1，故该选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了科学记数法与有效数字，把科学记数法形式的数字还原为原数是解题的关键． 4．（2023秋•瑶海区校级期末）化简结果为　　 A．2024 B． C．1 D． 【分析】先根据乘方的意义计算所要化简的式子，然后对各个选项进行判断即可． 【解答】解：， ，，选项的化简结果错误，选项的化简计算正确， 选项符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方的意义． 5．（2022秋•亳州期末）一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2023次剪完后剩下铜丝的长度是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案． 【解答】解：第一次剪去绳子的，剩下是， 第二次剪去剩下绳子的，剩下是， 第2023次剪完后剩下绳子的长度是． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确找出题中的规律． 6．（2023秋•泗县月考）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为　　 A．5 B．8 C．9 D．10 【分析】先确定出原数中整数位数，再确定其中0的个数即可． 【解答】解：用科学记数法表示为的原数为727000000000， 原数中“0”的个数为9． 故选：． 【点评】本题考查科学记数法—原数、科学记数法—表示较大的数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数． 7．（2023秋•黄山期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是　　 A．0.1（精确到 B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到 【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【解答】解：、（精确到，所以此选项正确，故不符合题意； 、（精确到百分位），所以此选项正确，故不符合题意； 、（精确到千分位），所以此选项错误，故符合题意； 、（精确到，所以此选项正确，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了近似数，掌握近似数的定义是解题的关键． 8．（2023秋•蒙城县期中）2023年国庆黄金周，合肥园博园日均游客约为人次，对于四舍五入得到的近似数，下列说法正确的是　　 A．精确到百分位 B．精确到千位 C．精确到十位 D．精确到百位 【分析】从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．最后一位所在的位置就是精确度，据此求解即可． 【解答】解：有2、3、0共3个有效数字，且0是千位上的数，故精确到千位． 故选：． 【点评】本题考查近似数和有效数字，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 9．（2023秋•濉溪县校级月考）祖冲之发现的圆周率的分数近以值为，下列对圆周率取近似数错误的是　　 A．3.1（精确到 B．3.14（精确到 C．3.141（精确到 D．3.1416（精确到 【分析】根据四舍五入法确定近似数，进行判断即可． 【解答】解：、3.1（精确到，正确； 、3.14（精确到，正确； 、3.142（精确到，选项错误； 、3.1416（精确到，正确； 故选：． 【点评】本题考查求一个数的近似数，熟练掌握四舍五入法确定近似数是关键． 10．（2020秋•金安区校级期中）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：※，则2※等于　　 A． B． C．0 D．2 【分析】根据※，可以求得所求式子的值． 【解答】解：※， ※ ， 故选：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 二．填空题（共4小题） 11．（2024•杜集区校级开学）商场内有一自动向上扶梯，如果小明站在扶梯上不动，1分钟可到上一层．如果扶梯不动，小明沿扶梯步行上楼，需要走1.5分钟，如果小明在向上运行的扶梯上保持步行上楼，　0.6　分钟可以到上一层． 【分析】根据“路程速度时间”列式求解． 【解答】解：， 故答案为：0.6． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解题意、掌握数学常识是解题的关键． 12．（2023秋•临泉县期末）2023年12月11日，记者从安徽省政府新闻办召开的新闻发布会上获悉，安徽将推动最严格的耕地保护制度落实落细，织密“千亿斤江淮粮仓”保护网．数据“1000亿”用科学记数法表示为 　　． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【解答】解：1000亿． 故答案为：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 13．（2023秋•霍邱县月考）《庄子天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，． （1）前4天共截取木棍的长度为 　　米； （2）第8天截取后剩余部分的长度为 　　米． 【分析】（1）求出前4天每天截取的木棍长度，相加即可得出结果； （2）根据已知条件找出第天截取后剩下的长度，从而求出第8天截取后剩余部分的长度． 【解答】解：（1）第1天截取木棍的长度为（米， 第2天截取木棍的长度为（米， 第3天截取木棍的长度为（米， 第4天截取木棍的长度为（米， 前4天共截取木棍的长度为（米， 故答案为：； （2）第1天截取后剩下的长度为（米， 第2天截取后剩下的长度为（米， 第3天截取后剩下的长度为（米， ， 第天截取后剩下的长度为（米， 第8天截取后剩余部分的长度为（米， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，理解题意，找出规律是解题的关键． 14．（2024•宣州区校级开学）“科技兴则民族兴，科技强则国家强”，比亚迪新能源技术的发展向世界证明中国的科技力量．今年月累计生产1612705辆新车．横线上的数读作：　一百六十一万二千七百零五　，四舍五入到万位约是 　　． 【分析】读出1612705中的各数位上的数字，然后把千位上的数字2进行四舍五入得精确到万位的数． 【解答】解：1612705读作一百六十一万二千七百零五，1612705四舍五入到万位约是161万． 故答案为：一百六十一万二千七百零五；161万． 【点评】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式． 三．解答题（共9小题） 15．（2023秋•蚌埠期末）我国最大的领海是南海，总面积有，用科学记数法可表示为 　　． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 16．（2024•利辛县校级开学）直接写得数． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）先把小数化为分数，再根据有理数的乘法法则计算即可； （3）先把百分数化为小数，再根据有理数的除法法则计算即可； （4）先算乘方，再算乘法即可； （5）根据有理数的减法法则计算即可； （6）先把带分数化为整数与分数的和，再根据除法法则计算即可； （7）先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （8）根据0乘任何数都得0计算即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【点评】本题考查了有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法、有理数的加法、有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（2023秋•合肥月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． 18．（2023秋•合肥期末）计算：． 【分析】根据混合运算法则，先算乘方，再算绝对值符号里面的，最后算乘除即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握实数混合运算法则． 19．（2022秋•舒城县校级月考）据不完全统计，某市至少有个水龙头漏水，这些水龙头每月流失的总水量约立方米． （1）每个水龙头每月的漏水量约多少立方米？（结果精确到0.1立方米） （2）如果该市每立方米水费是1.9元，这些水龙头一年漏水量的总水费是多少万元？ 【分析】（1）根据除法的意义列式计算即可； （2）根据“单价数量总价”列式计算即可． 【解答】解：（1）（立方米）； 每个水龙头每月的漏水量约0.3立方米； （2）（万元）． 答：这些水龙头一年漏水量的总水费约383.04万元． 【点评】本题考查了科学记数法与有效数字，关键根据题意列出算式． 20．（2021秋•定远县校级月考）某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是，沙层的深度大约是，已知该沙漠中的体积约为． （1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：； （2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？ （3）如果一粒沙子体积大约是，那么，该沙漠中有多少粒沙子（用科学记数法表示）？ 【分析】（1）首先把3 换算成33 345 000 000 ，再写成科学记数法． （2）沙漠的体积撒哈拉沙漠的长度沙层的深度撒哈拉沙漠的宽度． （3）沙漠的体积一粒沙子体积沙漠沙子的粒数． 【解答】解：（1）33 345 000 000 ； （2）3.334 ． 答：沙漠的宽度是． （3）3.334 ， （粒． 答：沙漠中有粒沙子． 【点评】本题考查了科学记数法与有效数字．对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 21．（2023秋•裕安区校级月考）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下（单位： ，，，，，，，，，． （1）请计算小明家这10天轿车行驶的路程； （2）若该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用． 【分析】（1）记录数字的和再加上10个20即可得到结果； （2）用（1）的结论乘以3即可得到总路程，再根据“该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元”列式解答即可． 【解答】解：（1） ， 答：小明家这10天轿车行驶的路程为． （2）（元， 答：估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用为344.4元． 【点评】本题考查正数与负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． 22．（2023秋•太和县期末）已知：是最大的负整数，且、、满足， （1）直接写出　　，　　，　　． （2），，所对应的点分别为，，，若点以每秒个单位长度的速度运动，点和点分别以每秒3个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． ①当点向右运动，且时，请问：的值是否随着时间的变化而变化． ②当的值不随着时间的变化而变化，求的值． 【分析】（1）根据是最大的负整数，即可确定的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得，，的值； （2）①表示出秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，得出，，求出的值即可； ②分两种情况：当点向右运动时，点表示的数为，当点向左运动时，点表示的数为，分别求出的值即可． 【解答】解：（1）是最大的负整数， ， ， ，， 解得：，， 故答案为：；1；6． （2）①的值不变；理由如下： 秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， 的值保持不变； ②当点向右运动时，点表示的数为， ， ， ， 的值不随着时间的变化而变化， ， 解得：， ， 不符合题意舍去； 当点向左运动时，点表示的数为， ， ， 的值不随着时间的变化而变化， ， 解得：； 综上分析可知，当的值不随着时间的变化而变化时，的值为． 【点评】本题考查了整式加减的应用，数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 23．（2021秋•歙县期末）据了解，火车票价按“”的方法来确定，已知站至站总里程数为1200千米，全程参考价为180元，下表是沿途各站至站的里程数（单位：千米） 车站名 各站至站的里程数 1200 1030 910 620 450 219 98 0 例如：要确定站至站火车票价，其票价为（元； （1）站与站的实际乘车里程数为 　691　千米； （2）求站至站的火车票价（精确到1元）； （3）旅客张大妈乘火车去女儿家，上车过两站后，她拿着车票问乘务员：“我已经过了两站了，我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中的票价是87元，马上说下一站就到了，请向王大妈是在哪一站下车？（要求写出解答过程） 【分析】（1）根据里程数表格，利用910减去219即可得； （2）根据火车票价的确定方法列式计算即可得； （3）设张大妈的实际乘车里程数为千米，根据票价是87元建立方程，解方程可得的值，再对照表格数据进行分析即可得出答案． 【解答】解：（1）站与站的实际乘车里程数为（千米）， 故答案为：691． （2）（元， 答：站至站的火车票价为147元． （3）设张大妈的实际乘车里程数为千米， 则， 解得， 所以张大妈上车后，经过三站下车，实际乘车里程数为580千米， 对照表格可知，站与站的距离、站与站的距离均为580千米， 答：王大妈在站或站下车． 【点评】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，理解火车票价的确定方法是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$