第15讲 线段、射线、直线与线段的长短（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年沪科版七年级数学上册同步讲义与测试

第15讲 线段、射线、直线与线段的长短（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.线段 2.射线 3.直线 4.直线的基本事实 5.线段的长短比较 6.作一条线段等于已知线段 7.线段的和差 8.线段的中点 9.线段的基本事实和两点之间的距离 题型巩固 一、直线、射线、线段的联系与区别 二、画出直线、射线、线段 三、两点确定一条直线 四、直线、线段、射线的数量问题 五、直线相交的交点个数问题 六、线段的和与差 七、作线段(尺规作图) 八、线段中点的有关计算 九、两点之间线段最短 十、两点间的距离 十一、线段之间的数量关系 十二、与线段有关的动点问题 十三、最短路径问题 强化训练 单选题（10） 填空题（4） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.线段 1. 线段的定义 像长方形的边、长方体的棱，这些图形都是线段. 2. 线段的特征 有两个端点，有长度，无方向 . 3. 线段的表示方法(如图 4.2-1) (1) 用线段的两个端点的大写字母表示； (2) 用一个小写字母表示 . 4. 线段的延长线  (1) 延长线段 AB，是指从端点 A 到 B 的方向延长，如图 4.2-2 ①所示； (2)延长线段 BA，是指从端点 B 到 A 的方向延长，也可以说成反向延长线段 AB，如图 4.2-2 ②所示 . 知识点2.射线 1. 射线的定义 将线段向一个方向无限延长就得到了射线 . 2. 射线的特征 有一个端点，有方向，无长短，向一个方向无限延长 . 3. 表示方法  用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)， 如图 4.2-4. 注意： (1) 同一条射线可以有不同的表示方法 . 如图 4.2-5，“射线OA”和“射线 OB”表示同一条射线 . (2) 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如图4.2-5，“射线 AB”和“射线 AO”表示两条不同的射线 . (3) 端点不同，所表示的射线一定不同 . 如图 4.2-5，“射线OA”和“射线 AB”表示不同的射线 . 知识点3.直线 1. 直线的定义 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 . 2. 直线的特征 没有端点，无长短，向两方无限延伸. 3. 表示方法(如图 4.2-7) (1)用直线上任意表示两个点的大写字母表示(直线 AB)； (2)用一个小写字母表示(直线 l) 4.直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线 AB 或直线 l 射线 OA 线段 AB 或线段 a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 直线 射线 线段 联系 向反方向无限延伸，射线和线段都是直线的一部分 知识点4.直线的基本事实 1. 直线的基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 . 简单说成： 两点确定一条直线 . 2. 直线的性质 两条直线相交只有一个交点 . 说明： 经过一点的直线有无数条 . 知识点5.线段的长短比较 1. 叠合法 把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较. 2. 度量法 利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 .例如：比较线段 AB， CD 的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点 A 和 C 重合，另一个端点 B 和 D 落在点 A 的同一侧，如图 4.3-1. 拓展： 在比较几条线段的长短时，如果各条线段的长短差别较明显，而又不需要知道相差多少时，用目测的方法也可以比较出线段的长短 . 知识点6.作一条线段等于已知线段 1. 尺规作图 只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图 . 2. 画一条线段等于已知线段 a(如图 4.3-3 ①) (1) 方法一： 利用刻度尺先量出已知线段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线段 . (2)方法二： 如图4.3-3②，用直尺画射线AC，以A为圆心，以线段 a 的长为半径画弧， 交射线 AC 于点 B， 线段 AB就是所求作的线段 . 知识点7.线段的和差 名称 文字叙述 图示 线段的和 如图所示，点 C 在线段 AB 的延长线上，如果线段 AB=a，线段 BC=b，那么线段AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC=a+b. 线段的差 如图所示，点 D 在线段 AB 上，如果线段AB=a，线段 DB = b，那么线段 AD 就是 a与 b 的差，记作 AD=a－b. 知识点8.线段的中点 1. 线段的中点的定义 把一条线段分成两条相等的线段的点叫作线段的中点 . 如图 4.3-7，若 M 是线段 AB 的中点，则有 AM=BM= AB 或 AB=2AM=2BM. 2. 线段的等分点(拓展) 把一条线段分成 n 条相等的线段的点叫作线段的 n 等分点 . 如图 4.3-8，若 M， N 是线段 AB 的三等分点，则 有 AM=MN=NB=  AB. 如 图 4.3-9，若 M， N，P 是线段 AB 的四等分点，则有 AM=MN=NP=PB= AB . 知识点9.线段的基本事实和两点之间的距离 1. 线段的基本事实 两点之间的所有连线中，线段最短 . 2. 两点之间的距离 两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 . 如图 4.3-11，在 A， B 两点之间的所有线中，线段 AB 是最短的，线段 AB 的长度就是点A 与点 B 之间的距离 . 题型巩固 题型一、直线、射线、线段的联系与区别 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．点在线段上 B．点是直线的一个端点 C．图中共有3条线段 D．射线和射线是同一条射线 2．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 题型二、画出直线、射线、线段 3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列作图语句中，正确的是（   ） A．画直线cm B．延长线段到 C．延长射线到 D．作直线使之经过，，三点 4．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)作线段； (2)作射线． 题型三、两点确定一条直线 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）   A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是 ． 7．如图所示，建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线砌墙就可以把墙砌直，请你利用所学过的知识，说说其中的道理． 题型四、直线、线段、射线的数量问题 8．如图，图中射线、线段、直线的条数分别为(　　) A．5，5，1 B．3，3，2 C．1，3，2 D．8，4，1 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）从马鞍山东站到上海站的次高铁一共有个站，车站需要准备 种单程车票． 10．（2024七年级上·安徽·专题练习）一列火车往返于芜湖、杭州两个城市，中途经过宣城、广德、长兴南和德清西4个站点（共6个站点），不同的车站往返需要不同的车票． (1)共有多少种不同的车票？ (2)一列火车往返、两个城市，如果共有个站点，则需要多少种不同的车票？ 题型五、直线相交的交点个数问题 11．若四条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 13．探究题：平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，请你探究它们的交点最多为多少个？ 题型六、线段的和与差 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点、在线段上，，，如果，那么的长度为（   ） A． B． C． D．1 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如果在一条直线上有A、B、C三点，且，，则 ． 16．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知点在线段上，点，分别在线段和线段上，且，． (1)若，，求线段的长； (2)若，求线段的长． 题型七、作线段(尺规作图) 17．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（       ） A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③② 18．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）如图，已知线段，线段，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且． (1)用尺规作图在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，． ①点是线段的中点吗？请说明理由． ②点在线段上，若，求的长．（写出必要的推理计算的过程） 题型八、线段中点的有关计算 19．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）线段，在直线上截取线段，D为线段的中点，E为线段的中点，那么线段的长为（   ） A．4 B．6 C．5或7 D．4或6 20．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得．如果点O是线段的中点，那么线段的长度为 cm． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，求的长度． 题型九、两点之间线段最短 22．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（    ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，直线最短 D．直线比曲线短 23．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，小王准备从家到合肥天鹅湖公园，导航提供的三条可选路线长分别为，，，但实际两地之间的距离为．请你试着说明“导航提供的三条路线长度都大于”，这一现象的数学道理是 ． 24．（22-23七年级上·安徽池州·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)作直线AB、CD，画射线AC． (2)作线段BC、AD； (3)连接BD，线段与BD的数量关系是__________，理由是：__________． 题型十、两点间的距离 25．（23-24七年级上·安徽池州·期末）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 26．已知A，B，C都是直线l上的点，且AB＝5 cm，BC＝3 cm，那么点A与点C之间的距离是 ． 27．如图，已知，是线段上的两点，，． （1）图中以点，，，中任意两点为端点的线段共有 条； （2）设，求的长． 题型十一、线段之间的数量关系 28．如图，已知线段，小军同学进行如下操作：用圆规在线段上截取．则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 29．数一数，图中一共有 个长方形． 30．如图：四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小： ______（填“”、“”或“”）； ②若且，则的长为______； (2)若线段被点分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 题型十二、与线段有关的动点问题 31．如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 32．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 题型十三、最短路径问题 33．在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 34．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 强化训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．两点之间的线段叫做两点间的距离 B．若，则为线段的中点 C．两点之间线段最短 D．射线可以比较长短 2．对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 4．直线上有三个点A、B、C，C在线段的延长线上，且分别是的中点，则长为（    ） A． B． C．或 D．或 5．平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 6．如图，是的中点，是的中点，若，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 8．已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为　　 A． B． C．或 D．或 9．如图，已知三角形，下列比较线段和长短的方法中，可行的有（    ） ①用直尺度量出和的长度；②用圆规将线段叠放到线段上，观察点的位置；③沿点A折叠，使和重合，观察点的位置． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 11．将一根木条固定在墙上至少需要2个钉子，这一事实说明 ． 12．经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 13．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 填序号． ①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 14．如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为平面上任一点．且BE＝3AE． （1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 cm； （2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 cm． 三、解答题 15．指出下图中的直线、射线、线段，并一一表示出来． 16．按下列语句画出图形： （1）直线经过点C；             （2）点A在直线l外； （3）经过点O的三条线段a，b，c；   （4）线段相交于点B． 17．尺规作图（不写画法，保留画图痕迹） 已知线段a，b，且，求作一条线段，使．   18．如图，是线段的中点． (1)若点在上，且，，求线段的长度； (2)若将（1）中的“点在上”改为“点在的延长线上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段的长度． 19．已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点． (1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度； (2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由． 20．如图，点M在线段AB上，线段BM与AM的长度之比为5∶4，点N为线段AM的中点． (1)若AB＝27cm，求BN的长． (2)在线段AB上作出一点E，满足MB＝3EB，若ME＝t，求AB的长（用含t的代数式表示）． 21． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 22．已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2． (1)求线段AC，CB的长； (2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm． ①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 线段、射线、直线与线段的长短（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.线段 2.射线 3.直线 4.直线的基本事实 5.线段的长短比较 6.作一条线段等于已知线段 7.线段的和差 8.线段的中点 9.线段的基本事实和两点之间的距离 题型巩固 一、直线、射线、线段的联系与区别 二、画出直线、射线、线段 三、两点确定一条直线 四、直线、线段、射线的数量问题 五、直线相交的交点个数问题 六、线段的和与差 七、作线段(尺规作图) 八、线段中点的有关计算 九、两点之间线段最短 十、两点间的距离 十一、线段之间的数量关系 十二、与线段有关的动点问题 十三、最短路径问题 强化训练 单选题（10） 填空题（4） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.线段 1. 线段的定义 像长方形的边、长方体的棱，这些图形都是线段. 2. 线段的特征 有两个端点，有长度，无方向 . 3. 线段的表示方法(如图 4.2-1) (1) 用线段的两个端点的大写字母表示； (2) 用一个小写字母表示 . 4. 线段的延长线  (1) 延长线段 AB，是指从端点 A 到 B 的方向延长，如图 4.2-2 ①所示； (2)延长线段 BA，是指从端点 B 到 A 的方向延长，也可以说成反向延长线段 AB，如图 4.2-2 ②所示 . 知识点2.射线 1. 射线的定义 将线段向一个方向无限延长就得到了射线 . 2. 射线的特征 有一个端点，有方向，无长短，向一个方向无限延长 . 3. 表示方法  用射线的端点和射线上另外一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)， 如图 4.2-4. 注意： (1) 同一条射线可以有不同的表示方法 . 如图 4.2-5，“射线OA”和“射线 OB”表示同一条射线 . (2) 端点相同，但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如图4.2-5，“射线 AB”和“射线 AO”表示两条不同的射线 . (3) 端点不同，所表示的射线一定不同 . 如图 4.2-5，“射线OA”和“射线 AB”表示不同的射线 . 知识点3.直线 1. 直线的定义 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 . 2. 直线的特征 没有端点，无长短，向两方无限延伸. 3. 表示方法(如图 4.2-7) (1)用直线上任意表示两个点的大写字母表示(直线 AB)； (2)用一个小写字母表示(直线 l) 4.直线、射线、线段的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线 AB 或直线 l 射线 OA 线段 AB 或线段 a 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 直线 射线 线段 联系 向反方向无限延伸，射线和线段都是直线的一部分 知识点4.直线的基本事实 1. 直线的基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 . 简单说成： 两点确定一条直线 . 2. 直线的性质 两条直线相交只有一个交点 . 说明： 经过一点的直线有无数条 . 知识点5.线段的长短比较 1. 叠合法 把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较. 2. 度量法 利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 .例如：比较线段 AB， CD 的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点 A 和 C 重合，另一个端点 B 和 D 落在点 A 的同一侧，如图 4.3-1. 拓展： 在比较几条线段的长短时，如果各条线段的长短差别较明显，而又不需要知道相差多少时，用目测的方法也可以比较出线段的长短 . 知识点6.作一条线段等于已知线段 1. 尺规作图 只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图 . 2. 画一条线段等于已知线段 a(如图 4.3-3 ①) (1) 方法一： 利用刻度尺先量出已知线段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线段 . (2)方法二： 如图4.3-3②，用直尺画射线AC，以A为圆心，以线段 a 的长为半径画弧， 交射线 AC 于点 B， 线段 AB就是所求作的线段 . 知识点7.线段的和差 名称 文字叙述 图示 线段的和 如图所示，点 C 在线段 AB 的延长线上，如果线段 AB=a，线段 BC=b，那么线段AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC=a+b. 线段的差 如图所示，点 D 在线段 AB 上，如果线段AB=a，线段 DB = b，那么线段 AD 就是 a与 b 的差，记作 AD=a－b. 知识点8.线段的中点 1. 线段的中点的定义 把一条线段分成两条相等的线段的点叫作线段的中点 . 如图 4.3-7，若 M 是线段 AB 的中点，则有 AM=BM= AB 或 AB=2AM=2BM. 2. 线段的等分点(拓展) 把一条线段分成 n 条相等的线段的点叫作线段的 n 等分点 . 如图 4.3-8，若 M， N 是线段 AB 的三等分点，则 有 AM=MN=NB=  AB. 如 图 4.3-9，若 M， N，P 是线段 AB 的四等分点，则有 AM=MN=NP=PB= AB . 知识点9.线段的基本事实和两点之间的距离 1. 线段的基本事实 两点之间的所有连线中，线段最短 . 2. 两点之间的距离 两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 . 如图 4.3-11，在 A， B 两点之间的所有线中，线段 AB 是最短的，线段 AB 的长度就是点A 与点 B 之间的距离 . 题型巩固 题型一、直线、射线、线段的联系与区别 1．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．点在线段上 B．点是直线的一个端点 C．图中共有3条线段 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查了直线、射线和线段的知识，理解并掌握直线、射线和线段的定义是解题关键．根据直线、射线和线段的定义和性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 点在直线上，故该选项说法错误，不符合题意； B. 直线没有端点，故该选项说法错误，不符合题意； C. 图中共有3条线段，故该选项说法正确，符合题意； D. 射线和射线的端点不同，故不是同一条射线，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 2．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 题型二、画出直线、射线、线段 3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列作图语句中，正确的是（   ） A．画直线cm B．延长线段到 C．延长射线到 D．作直线使之经过，，三点 【答案】B 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查作图---尺规作图的定义，解题的关键是明确尺规作图的方法，哪些图形可以测量，哪些不可以测量，根据各个选项中的语句，可以判断其是否正确，从而可以解答本题 【详解】解：∵直线无法测量，故选项A错误； 延长线段到C是正确的，故选项B正确； 射线本身是以点O为端点，向着方向延伸，故选项C错误； 如果点A、B、C三点不在同一直线上，则直线不能同时经过这三个点，故选项D错误； 故选：B 4．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)作线段； (2)作射线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】（1）按照要求画出线段即可； （2）按照要求画出射线即可． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）如图，射线即为所求． 【点睛】本题主要考查了画线段、射线，解题的关键是熟练掌握画线段和射线的方法． 题型三、两点确定一条直线 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）   A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，根据直线的性质“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是：两点确定一条直线． 故选：A． 6．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，解题的关键是正确掌握直线的性质．先让两个同学站好，实质是确定两定点，而由两点即可确定一条直线． 【详解】解：由题意可知：这种做法依据的几何知识应是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 7．如图所示，建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线砌墙就可以把墙砌直，请你利用所学过的知识，说说其中的道理． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题可根据直线的性质来解释建筑工人砌墙时拉直线的原理．本题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：∵ 建筑工人在两个墙角的位置分别立一根木桩，这两个木桩相当于两个点．两点确定一条直线． ∴ 在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线砌墙就可以把墙砌直，理由是两点确定一条直线． 题型四、直线、线段、射线的数量问题 8．如图，图中射线、线段、直线的条数分别为(　　) A．5，5，1 B．3，3，2 C．1，3，2 D．8，4，1 【答案】D 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点. 【详解】以A点为端点的射线有2条，以B为端点的射线有3条，以C为端点的射线有2条，以D为端点射线有1条，合计射线8条. 线段：AB，BC，AC，BD ，合计4条. 直线：AC，合计1条 故本题    D. 【点睛】直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点. 9．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）从马鞍山东站到上海站的次高铁一共有个站，车站需要准备 种单程车票． 【答案】 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段数量问题的实际应用，单程每两个站点之间都有种车票相当于一条线段，根据线段数量的公式解答． 【详解】解：车站需要准备单程车票的种数为：（种）， 故答案为：． 10．（2024七年级上·安徽·专题练习）一列火车往返于芜湖、杭州两个城市，中途经过宣城、广德、长兴南和德清西4个站点（共6个站点），不同的车站往返需要不同的车票． (1)共有多少种不同的车票？ (2)一列火车往返、两个城市，如果共有个站点，则需要多少种不同的车票？ 【答案】(1)30种 (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． （1）两站之间的往返车票各一种，即两种，个车站每两站之间有两种，则个车站的票的种类数种，时，即6个车站，代入上式即可求得票的种数． （2）与（1）同理，即共有个站点，则需要种不同的车票，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，两站之间的往返车票各一种，即两种， 则个车站每两站之间有两种，则个车站的票的种类数种， 则6个车站的票的种类数（种； （2）解：依题意，与（1）同理，个车站的票的种类数种． 题型五、直线相交的交点个数问题 11．若四条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了直线与直线的交点问题． 根据直线与直线的位置关系，列出所有情况判断即可． 【详解】解：图1：当四条直线平行时，无交点； 图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点； 图3：当两两直线平行时，有4个交点； 图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点； 图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点； 图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点； 图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点； 综上所述，a的最大取值为6， 故选D． 12．一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【答案】45 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 由在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 13．探究题：平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，请你探究它们的交点最多为多少个？ 【答案】交点最多为个 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查多条直线相交的交点问题，解题的关键是根据条、条、条、条、条直线相交时最多的交点个数发现规律．然后根据规律解答即可． 【详解】解：条直线相交最多有交点：个； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； 条直线相交最多有交点：（个）； ∴条直线相交最多有个交点， 当时，交点个数为（个）． ∴它们的交点最多为个． 题型六、线段的和与差 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点、在线段上，，，如果，那么的长度为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是熟练表示出线段的组成； 观察图形可知，，，根据已知，即可得出，根据CD，可得，再根据已知即可得出答案. 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如果在一条直线上有A、B、C三点，且，，则 ． 【答案】2或8 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和与差，分点C在点B的左侧和点C在点B的右侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点C在点B的左侧时，； 当点C在点B的右侧时，； 故答案为：2或8． 16．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知点在线段上，点，分别在线段和线段上，且，． (1)若，，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差计算，找出图中线段之间的等量关系是解题的关键． （1）首先由，可得，，然后根据，可求出和，最后根据可得答案． （2）由（1）可知，，两式相加可得，即，代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型七、作线段(尺规作图) 17．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（       ） A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③② 【答案】B 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 18．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）如图，已知线段，线段，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且． (1)用尺规作图在图中补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，． ①点是线段的中点吗？请说明理由． ②点在线段上，若，求的长．（写出必要的推理计算的过程） 【答案】(1)见解析 (2)①是，理由见解析② 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由于，，则，故，即可说理； ②因为，，则，故所以，再由线段和差计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：①因为，． 所以． 又因为，所以为的中点． ②因为， 所以， 所以． 题型八、线段中点的有关计算 19．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）线段，在直线上截取线段，D为线段的中点，E为线段的中点，那么线段的长为（   ） A．4 B．6 C．5或7 D．4或6 【答案】D 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当点在线段上时： ∵ D为线段的中点，E为线段的中点， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时： ∵ D为线段的中点，E为线段的中点， ∴， ∴； 故选D． 20．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得．如果点O是线段的中点，那么线段的长度为 cm． 【答案】7 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和差，正确理解题意、正确理解线段中点的性质是解题的关键． 首先求出，然后根据线段中点的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵点O是线段的中点， ∴． 故答案为：7． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，求的长度． 【答案】或 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段上和点在线段延长线上，两种情况，进行求解即可． 【详解】①点在线段上时，如图所示： ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． ②点在线段延长线上时，如图所示， 同理可求出，， 又∵， ∴， 综上所述：的长度为或． 题型九、两点之间线段最短 22．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是（    ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间的所有连线中，直线最短 D．直线比曲线短 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短 【分析】此题考查了线段的性质．根据“两点之间，线段最短”进行解答即可． 【详解】解：如图，A地到B地有三条路线，由上至下依次记为路线b，c，a，则从A地到B地的最短路线是c，其依据是两点之间的所有连线中，线段最短， 故选：A 23．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，小王准备从家到合肥天鹅湖公园，导航提供的三条可选路线长分别为，，，但实际两地之间的距离为．请你试着说明“导航提供的三条路线长度都大于”，这一现象的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间、线段最短并灵活应用是解题的关键．根据线段的性质：两点之间、线段最短即可解答． 【详解】解：说明“导航提供的三条路线长度都大于”，这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 24．（22-23七年级上·安徽池州·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)作直线AB、CD，画射线AC． (2)作线段BC、AD； (3)连接BD，线段与BD的数量关系是__________，理由是：__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】（1）根据射线和直线的定义作出即可； （2）根据线段的定义作出即可； （3）根据线段的性质，两点之间线段最短解答 【详解】（1）如图所示即为所求； （2） （3），理由两点之间，线段最短． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念与线段的性质是解题的关键． 题型十、两点间的距离 25．（23-24七年级上·安徽池州·期末）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，设，则，分为两种情况：①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解． 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：， 即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：， 即绳子的原长是； 即：这根绳子原来的长度为或， 故选：D． 26．已知A，B，C都是直线l上的点，且AB＝5 cm，BC＝3 cm，那么点A与点C之间的距离是 ． 【答案】8 cm或2 cm 【知识点】两点间的距离 【分析】分点B在线段AC上和点C在线段AB上两种情况，计算即可． 【详解】当点B在线段AC上时，AC=AB+BC=8cm， 当点C在线段AB上时，AC=AB﹣BC=2cm． 故答案为：8cm或2cm． 【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 27．如图，已知，是线段上的两点，，． （1）图中以点，，，中任意两点为端点的线段共有 条； （2）设，求的长． 【答案】（1）6；（2）AD=21 cm． 【知识点】两点间的距离 【分析】（1）分别写出各个线段即可得出答案； （2）根据线段三等分点的定义以及线段的和差即可求得AD的长． 【详解】（1）线段有：AC，AD，AB，CD，CB，DB共6条， 故答案为：6； （2）∵CD=2DB=12 (cm)， ∴CB= CD+DB=12+6=18 (cm)， ∵AC：AB=1：3， ∴AC=AB， ∴CB=AB=18 (cm)， ∴AB=27 (cm)， ∴AC=AB==9 (cm)， AD=AC+ CD=9+12=21 (cm) ． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用三等分点的性质以及线段的和差得出CB与AB的长是解题关键． 题型十一、线段之间的数量关系 28．如图，已知线段，小军同学进行如下操作：用圆规在线段上截取．则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查比较线段的长短，直接根据图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， 又， ∴； 无法判断的大小关系， 故选D． 29．数一数，图中一共有 个长方形． 【答案】 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查了长方形的认识，根据长方形边共有线段，边共有线段，从而可求得图中一共有长方形的个数，掌握知识点的应用是解题的关键， 【详解】解：如图， 长方形边共有线段，边共有线段， ∴图中一共有长方形（个）， 故答案为：． 30．如图：四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小： ______（填“”、“”或“”）； ②若且，则的长为______； (2)若线段被点分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键． （1）①根据等式的性质，得出答案；②求出的值，再求出的长，进而求出的长即可； （2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）①∵， ，即：， ②， 且， ∴， （2）如图所示， 设每份为x,则， 是的中点，点Q是的中点， ， 又， ， 解得，， ． 题型十二、与线段有关的动点问题 31．如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 32．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 题型十三、最短路径问题 33．在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 【答案】B 【知识点】最短路径问题 【分析】本题考查的是比较线段的长短，先根据题意求出各点间的距离并在图上表示出来，再分别计算出各村到选项中所给的村的路程和，再比较出其大小即可． 【详解】解：A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，， ∴ 又村庄G正好是的中点， ∴， ∴各村间的距离如图所示： 各村到A村的路程和为：， 各村到E村的路程和为：， 各村到C村的路程和为：； 各村到G村的路程和为：． ， 故活动中心应建在C村． 故选B． 34．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】见解析 【知识点】最短路径问题 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】解：如图所示，即为所作． 强化训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．两点之间的线段叫做两点间的距离 B．若，则为线段的中点 C．两点之间线段最短 D．射线可以比较长短 【答案】C 【分析】根据两点之间的距离，线段的中点，线段的性质以及射线的性质分别判断即可． 【详解】解：A．两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，故错误，不合题意． B．若，则为线段的中点的前提为在同一直线上，故错误，不合题意． C．两点之间线段最短，故正确，符合题意． D．射线不能比较长短，故错误，不合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了两点之间的距离，线段的中点，线段的性质以及射线的性质，属于基础知识，掌握相应的定义和性质是解题的关键． 2．对于直线，线段，射线，在下列各图中能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段有两个端点，射线有一个端点，直线无端点，解答即可， 本题考查了线段，直线，射线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： A.    都是线段，无法相交，不符合题意； B. ，射线向一个方向无限伸展，可以相交，符合题意；     C.     线段，无法相交，不符合题意； D. 射线的方向不对，无法相交，不符合题意； 故选：B． 3．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即， ∴， ∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误． 故选：D． 4．直线上有三个点A、B、C，C在线段的延长线上，且分别是的中点，则长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点间的距离，由于点C在线段的延长线上，点A、B、C的位置顺序固定，即A、B、C依次排列．先计算的长度，再根据中点定义求出和，最后通过线段和差关系计算即可． 【详解】解：∵C在的延长线上，，， ∴， ∵P是的中点， ∴； ∵Q是的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 5．平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是（   ） A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．0或1或2或3 【答案】D 【分析】本题考查平面中不重合的直线交点个数问题，准确分类讨论是解题关键．平面中不重合的三条直线可能平行或相交，相交时又可以分为两直线平行且和第三条直线相交，或三条直线相交于一点，或三条直线两两相交，据此分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线互相平行时交点个数是0个； 当两条直线互相平行，另一条直线与它们相交时，交点个数是2个； 当三条直线交于一点时，交点个数是1个； 当三条直线两两相交，并且不交于一点时，交点个数是3个； 综上，平面上互不重合的三条直线相互间的交点个数是0或1或2或3． 故选：D． 6．如图，是的中点，是的中点，若，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中点，是的中点，分别求得，，，再根据线段的和与差，计算即可判断． 【详解】解：∵是的中点，是的中点，且，， ∴，，， ∴，故选项A不符合题意； ，故选项B符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及中点的定义，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解决问题． 7．如图，已知A、B是线段上两点，，、分别为、的中点，且，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性.同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．如图，由于，可以设，，，而、分别为、的中点，那么线段可以用表示，而，由此即可得到关于的方程，解方程即可求出线段的长度． 【详解】解：， 可以设，，， 而、分别为、的中点， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 故选：D． 8．已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，两种情况画出对应的图形，求出的长，进而求出的长，再由线段之间的关系求解即可． 【详解】解：如图，当点C在线段上时， ∵，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴；    如图，当点C在线段延长线上时， ∵，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为或 故选：C．    9．如图，已知三角形，下列比较线段和长短的方法中，可行的有（    ） ①用直尺度量出和的长度；②用圆规将线段叠放到线段上，观察点的位置；③沿点A折叠，使和重合，观察点的位置． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①用直尺度量出和的长度，比较长度；②用圆规将线段叠放到线段上，若点B在线段上，；若点B与点C重合，；若点B在的延长线上，；③沿点A折叠，使和重合，若点B在线段上，；若点B与点C重合，；若点B在的延长线上，． 【详解】比较线段和长短的方法有： ①用直尺度量出和的长度，比较长度； ②用圆规将线段叠放到线段上，观察点的位置，若点B在线段上，；若点B与点C重合，；若点B在的延长线上，； ③沿点A折叠，使和重合，观察点的位置，若点B在线段上，；若点B与点C重合，；若点B在的延长线上，． 共3个方法． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了比较三角形两边长短的方法，熟练掌握度量法，叠合法，是解决问题的关键，其中叠合法包括叠放法，折叠法． 10．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解析：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 二、填空题 11．将一根木条固定在墙上至少需要2个钉子，这一事实说明 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查两点确定一条直线，根据两点确定一条直线进行作答即可． 【详解】解：由题意，该事实说明：两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 12．经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 【答案】10 【分析】本题是探索规律题，考查了直线、射线、线段，不在同一条直线上的五个点有三种不同的关系：①有四个点在同一条直线上；②有三个点在同一条直线上；③五个点中任意三个点都不在同一条直线上．熟练掌握分类讨论思想的运用是关键． 【详解】解：如图， ①有四个点在同一条直线上； 故最多可画5条； ②有三个点在同一条直线上； 故最多可画8条； ③五个点中任意三个点都不在同一条直线上； 当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条，所以最多能得到10条直线． 故答案为10 13．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 填序号． ①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 【答案】②④ 【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断． 【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线； ②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短． 故答案为：②④． 【点睛】此题考查了线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键． 14．如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为平面上任一点．且BE＝3AE． （1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 cm； （2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 cm． 【答案】 2或4/4或2 30 【分析】（1）点E在直线AB上有3种情况，点E在线段AB上、在线段BA的延长线上、在线段AB的延长线上，显然在射线AB上不合题意，分别就剩余两种情况求得AE的值； （2）结合BE＝3AE知3ED+BE＝3（DE+AE），在△ADE中知当点E在线段AD上时，DE+AE最小，可求得3ED+BE的最小值； 【详解】解：（1）∵BE＝3AE， ∴当点E在线段AB上时，AE+BE＝AB，即AE+3AE＝8，解得：AE＝2cm， 当点E在线段BA的延长线上时，BE﹣AE＝AB，即3AE﹣AE＝8，解得：AE＝4cm， 故答案为：2或4． （2）∵BE＝3AE， ∴3ED+BE＝3ED+3AE＝3（DE+AE）， 当点E在线段AD上时，DE+AE最小，DE+AE＝AD＝10cm， 故3ED+BE的最小值为30cm， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了线段的和差计算，两点之间线段最短，将3ED+BE转化为3（DE+AE）是解题的关键． 三、解答题 15．指出下图中的直线、射线、线段，并一一表示出来． 【答案】射线AB、射线BA，射线BC、射线CB；线段AB、线段AC、线段BC，直线AB、直线BC、直线AC等． 【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可． 【详解】∵， ∴通过分析上图可得： 射线AB，射线BA，射线BC，射线CB； 线段AB，线段AC，线段BC； 直线AB、直线BC、直线AC等． 【点睛】此题考查了直线、射线、线段的概念，解题的关键是熟练掌握直线、射线、线段的概念． 16．按下列语句画出图形： （1）直线经过点C；             （2）点A在直线l外； （3）经过点O的三条线段a，b，c；   （4）线段相交于点B． 【答案】见解析 【分析】根据直线、线段的概念，结合各选项的表述作图即可． 【详解】解：（1）如图所示： ； （2）如图所示： ； （3）如图所示： ； （4）如图所示： ． 【点睛】本题考查线段，直线的画法，正确画出图形是解题的关键． 17．尺规作图（不写画法，保留画图痕迹） 已知线段a，b，且，求作一条线段，使．   【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，先作射线，再截取，，则线段即为所作． 【详解】解：如图，线段即为所作， ． 18．如图，是线段的中点． (1)若点在上，且，，求线段的长度； (2)若将（1）中的“点在上”改为“点在的延长线上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段的长度． 【答案】(1)的长度为； (2)图见解析，的长度为． 【分析】（1）由线段中点性质得到，根据已知，解得，最后由计算解题； （2）根据题意作图，由线段中点性质得到，根据已知，解得，继而由计算解题． 【详解】（1）解：是线段的中点， （2）如图， 是线段的中点， ． 【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 19．已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点． (1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度； (2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)线段CD的长度为2； (2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析 【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可； （2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系． 【详解】（1）解：如图1， ∵点C是线段AB的中点，AB=6， ∴BC=AB=3， ∵BD=BC， ∴BD=1， ∴CD=BC-BD=2； （2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下： 当点D在线段AB上，如图2， 设AD=2x，则BD=3x， ∴AB=AD+BD=5x， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=AB=， ∴CD=AC-AD=x， ∵AE=2BE， ∴AE=AB=x， CE=AE-AC=x， ∴=，即5CD=3CE； 当点D在BA延长线上时，如图3， 设AD=2a，则BD=3a， ∴AB=BD-AD=a， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC=AB=， ∴CD=AC+AD=a， ∵AE=2BE， ∴AE=AB=a， CE=AE-AC=a， ∴=，即CD=15CE． 综上，5CD=3CE或CD=15CE． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．解第2问注意分类讨论． 20．如图，点M在线段AB上，线段BM与AM的长度之比为5∶4，点N为线段AM的中点． (1)若AB＝27cm，求BN的长． (2)在线段AB上作出一点E，满足MB＝3EB，若ME＝t，求AB的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)21cm (2)t 【分析】(1)根据BM：AM=5：4，设BM=5xcm，AM=4xcm，根据线段和的关系列方程求出x，再根据线段中点定义求出MN，进而得到BN的长； (2)根据BM：AM=5：4，推得AM=BM，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示AB的长． 【详解】（1）解：由题知BM∶AM=5∶4，不妨设BM =5x， AM=4 x， ∴ BM+AM=9x， ∵ AB=27cm，且AB= BM+AM， ∴ BM+AM=9x=27， ∴x =3， ∴AM=12cm，BM=15cm． ∵点N是线段AM的中点， ∴MN=AM=6cm， ∴BN = BM+MN=15+6=21cm． （2）如图所示： ∵BM∶AM=5∶4， ∴AM=BM， ∵MB= 3 EB， ∴ME=MB = t， ∴MB =t， ∵AB= AM+ BM = BM + BM=BM， AB= ×t=t． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的应用，线段之间的数量转化是解题关键． 21． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 22．已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2． (1)求线段AC，CB的长； (2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm． ①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm； (2)①当点P在线段AC上时，PC=（9-m）cm，MC=（9-m）cm；当点P在线段BC上时，PC=（m-9）cm，MC=（9-m）cm； ②m的值为6或12． 【分析】（1）由线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2，可得答案； （2）①分当点P在线段AC上时和当点P在线段BC上两种情况分别计算即可； ②分情况列方程可得m的值． 【详解】（1）解：∵线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2， ∴AC=15×=9cm，CB=15×=6cm； （2）解：①当点P在线段AC上时， PC=AC-AP=（9-m）cm， MC=AC-AM=AC-AP=（9-m）cm； 当点P在线段BC上时， PC=AP-AC=（m-9）cm， MC=AC-AM=（9-m）cm； ②当点P在线段AC上时， 则MP=PC， ∴m＝9−m， 解得：m=6， 当点P在线段BC上时， 则MC=PC， ∴9−m＝m−9， 解得：m=12， 综上：m的值为6或12． 【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $