第06讲 有理数的乘法与除法（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（苏科版2024）

第06讲 有理数的乘法与除法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数乘法法则 2.有理数的乘法运算律 3.倒数 4.有理数除法法则 5.有理数的乘除混合运算 6.用计算器进行有理数的乘除运算 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 九、有理数四则混合运算 十、有理数四则混合运算的实际应用 十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 强化训练 单选题（7） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.有理数乘法法则 1. 有理数乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； (2)0与任何数相乘都得0 . 2. 有理数的乘法符号法则 两个数的积的符号 这两个数的符号 符号语言 正 同正或同负 >0↔>0，b>0或<0，b<0 负 一正一负 <0↔>0，b<0 或<0，b>0 0 至少有一个是0 =0↔=0或b=0或=0且b=0 3. 特别提醒： ×(－b)与×b的值互为相反数. 知识点2.有理数的乘法运算律 名称 文字内容 字母表示 交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等 ×b＝b× 结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 (×b)×c＝×(b×c) 分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 (＋b)×c＝×c＋b×c 知识点3.倒数 1. 定义 乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫作另一个数的倒数. 2. 倒数与相反数间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若，b互为倒数， 则·b＝1 若·b＝1，则，b互为倒数 都成对 出现 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 的相反数是－ 若，b互为相反数， 则＋b＝0 若＋b＝0，则，b互为相反数 3. 求一个数的倒数的方法 (1)一个不为0 的整数的倒数就是用这个整数作分母，1作分子的分数； (2)一个真分数或假分数的倒数就是把这个分数的分子和分母交换位置； (3)求一个小数的倒数要先把小数化成分数，再求其倒数； (4)求一个带分数的倒数要先把带分数化成假分数，然后交换分子、分母的位置. 知识点4.有理数除法法则 1. 有理数除法法则一 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.　用字母表示为：÷b＝·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 用字母表示为：÷b＝. 知识点5.有理数的乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的. 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算. 知识点6.用计算器进行有理数的乘除运算 进行有理数乘法和除法运算，只要依次输入算式中的有理数及乘号键 × 或除号键 ÷ ，最后按等号键 ＝，即得运算结果. 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型二、多个有理数的乘法运算 5．若是有理数，定义新运算：．例如：．试计算 ． 6．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型三、有理数乘法的实际应用 7．登山队攀登一座山峰，每登高气温升高．登高时，气温升高了 ． 8．在汛期，如果黄河水位每天上升，那么求3天后的水位比今天高多少，可以用算式表示为． （规定：把今天的水位记为，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负） (1)如果水位每天下降，那么3天前的水位比今天高多少？请用算式表示． (2)请写出算式表示的意义． 9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）观察下列等式：，，．将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：__________． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①__________； ②若a、b为有理数，且，则__________； (3)探究并计算：． 题型四、倒数 10．（24-25七年级上·江苏徐州）下列式子中，能表示x和y互为倒数的是（其中x，y均不为0）（    ）． A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）的倒数是 ． 题型五、有理数乘法运算律 12．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）在计算时，运用下列哪种运算律可以避免通分（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 13．计算： ． 14．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 15．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型六、有理数的除法运算 16．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）计算等于 ． 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算，方方同学的计算过程如下： 原式=． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 18．数学老师布置了一道题： 计算：÷． 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法来解决这个问题． 小明的解法： 原式的倒数为， 所以． (1)小明的解答是否正确？请说明理由； (2)请你运用小明的方法计算：÷． 题型七、有理数除法的应用 19．已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）甲数相当于乙数的，甲数是30，则乙数是 ． 21．小明有5张分别写着数字的卡片，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数的商最小，则商的最小值是 ． 题型八、有理数乘除混合运算 22．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 23．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 24．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型九、有理数四则混合运算 25．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．将第一组中的每一个数与第二组中的每一个数相乘，则所有乘积的和是 ． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 27．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 mm． 28．如图①，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点的位置如图②． (1)第____________次按键后，点所在的位置正好是原点； (2)第6次按键后，点所在位置表示的数字与点所在位置表示的数字的差是多少？ 29．某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如表： 与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 (1)这30袋大米的总重量比标准总重量是多还是少？相差多少？ (2)大米单价是每千克元，食堂购进大米总共花多少钱？ 题型十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 30．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（  ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 32．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|， (1)＝ ，   ＝ ． (2) 0， 0．（用“＞”，“＝”或“＜”填空） (3)若b与c互为倒数，求的值． 强化训练 一、单选题 1．的倒数是（   ） A．3 B． C． D．1 2．若5个有理数之积为正数，则这5个因数中负因数个数可能是（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或没有 3．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 4．已知x，y为有理数，如果规定一种新运算则（    ） A． B． C． D．1 5．下列计算：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6．计算的结果是（    ） A．12 B． C． D． 7．若数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算： ． 9．计算： ． 10．计算： 11．3与的倒数的积为 ． 12．计算： ． 13．已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ． 三、解答题 14．写出下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)0.17； (5)； (6)． 15．计算：． 16．计算：． 17．计算：． 18．计算： (1)； (2)． 19．计算 (1) (2) (3) (4) 20．七年1班6名男生测量身高，以为标准，超过的记作正数，不足的记作负数．测量结果记录如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 身高/cm 158 175 164 161 157 160 差值/cm m 0 (1)求m的值； (2)计算这6名同学的平均身高． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘法与除法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数乘法法则 2.有理数的乘法运算律 3.倒数 4.有理数除法法则 5.有理数的乘除混合运算 6.用计算器进行有理数的乘除运算 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 九、有理数四则混合运算 十、有理数四则混合运算的实际应用 十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 强化训练 单选题（7） 填空题（6） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.有理数乘法法则 1. 有理数乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； (2)0与任何数相乘都得0 . 2. 有理数的乘法符号法则 两个数的积的符号 这两个数的符号 符号语言 正 同正或同负 >0↔>0，b>0或<0，b<0 负 一正一负 <0↔>0，b<0 或<0，b>0 0 至少有一个是0 =0↔=0或b=0或=0且b=0 3. 特别提醒： ×(－b)与×b的值互为相反数. 知识点2.有理数的乘法运算律 名称 文字内容 字母表示 交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等 ×b＝b× 结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等 (×b)×c＝×(b×c) 分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 (＋b)×c＝×c＋b×c 知识点3.倒数 1. 定义 乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫作另一个数的倒数. 2. 倒数与相反数间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若，b互为倒数， 则·b＝1 若·b＝1，则，b互为倒数 都成对 出现 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 的相反数是－ 若，b互为相反数， 则＋b＝0 若＋b＝0，则，b互为相反数 3. 求一个数的倒数的方法 (1)一个不为0 的整数的倒数就是用这个整数作分母，1作分子的分数； (2)一个真分数或假分数的倒数就是把这个分数的分子和分母交换位置； (3)求一个小数的倒数要先把小数化成分数，再求其倒数； (4)求一个带分数的倒数要先把带分数化成假分数，然后交换分子、分母的位置. 知识点4.有理数除法法则 1. 有理数除法法则一 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.　用字母表示为：÷b＝·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 用字母表示为：÷b＝. 知识点5.有理数的乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的. 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算. 知识点6.用计算器进行有理数的乘除运算 进行有理数乘法和除法运算，只要依次输入算式中的有理数及乘号键 × 或除号键 ÷ ，最后按等号键 ＝，即得运算结果. 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需注意符号的处理和分数的乘法法则． 【详解】解：． 故选：C． 2．计算： ． 【答案】6 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2)1 (3)0 (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】（1）（2）（3）（4）根据有理数的乘法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案． 本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的运算法则进行解题． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）按照有理数的乘法运算法则计算即可； （2）运用乘法运算法则即可； （3）运用乘法运算法则即可； （4）运用乘法运算法则即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 题型二、多个有理数的乘法运算 5．若是有理数，定义新运算：．例如：．试计算 ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】根据新定义列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式是解题的关键． 6．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)7 (2) (3) (4)0 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 题型三、有理数乘法的实际应用 7．登山队攀登一座山峰，每登高气温升高．登高时，气温升高了 ． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数乘法的应用，解题的关键是先分析得出变化量，再结合正负数的意义求解．根据，表示为下降 ，气温变化为，据此即可解答． 【详解】解：， 因为，上升为正，下降为负， 所以，登高后，气温下降． 故答案为：． 8．在汛期，如果黄河水位每天上升，那么求3天后的水位比今天高多少，可以用算式表示为． （规定：把今天的水位记为，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负） (1)如果水位每天下降，那么3天前的水位比今天高多少？请用算式表示． (2)请写出算式表示的意义． 【答案】(1)3天前的水位比今天高， (2)水位每天下降，那么3天后的水位比今天低 【知识点】相反意义的量、有理数乘法的实际应用 【分析】此题考查了有理数的乘法，正数和负数，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）根据把今天的水位记为0厘米，水位上升记为正，下降记为负；为区分时间，今天记为0，今天之后记为正，今天之前记为负表示出意义即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 答：3天前的水位比今天高6厘米； （2）解：算式 表示的意义是：水位每天下降2厘米，那么3天后的水位比今天低厘米． 9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）观察下列等式：，，．将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：__________． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①__________； ②若a、b为有理数，且，则__________； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【知识点】有理数乘法的实际应用、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的运算，根据题意找出规律是解决问题的关键． （1）根据规律求解即可； （2）①将式子按照（1）中的规律展开，求解即可； ②先求出，，将式子按照（1）中的规律展开，求解即可； （3）将式子按照题意中的规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； （2）解：① ； 故答案为：． ②∵， ∴，， 解得：，， ； 故答案为：． （3）解： ． 题型四、倒数 10．（24-25七年级上·江苏徐州）下列式子中，能表示x和y互为倒数的是（其中x，y均不为0）（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据倒数定义进行判断即可．解题的关键是熟练掌握倒数定义，“乘积为1的两个数互为倒数”． 【详解】解：A．由，得，说明x和y互为倒数，故A符合题意； B．由，得，即不一定等于1，说明x和y不一定互为倒数，故B不符合题意； C．由，得，即不一定等于1，说明x和y不一定互为倒数，故C不符合题意； D．由，得，即不一定等于1，说明x和y不一定互为倒数，故D不符合题意． 故选：A． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查求一个数的倒数．根据互为倒数的两数乘积为1，即可求解． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 题型五、有理数乘法运算律 12．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）在计算时，运用下列哪种运算律可以避免通分（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了乘法分配律，根据乘法分配律即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故运用乘法分配律可以避免通分， 故选：C ． 13．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为： 14．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】此题考查的是有理数的乘法及乘法分配律，掌握乘法分配律和有理数的各个运算法则是解决此题的关键． （1）利用乘法分配律和有理数的各个运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律和有理数的各个运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法分配律和有理数的乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法的分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 题型六、有理数的除法运算 16．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）计算等于 ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算，方方同学的计算过程如下： 原式=． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】不正确，144 【知识点】有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】此题考查了有理数的除法，用到的知识点是有理数的除法、通分、有理数的加法，关键是掌握运算顺序和结果的符号．根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可． 【详解】解：方方的计算过程不正确， 正确的计算过程是： 原式 ． 18．数学老师布置了一道题： 计算：÷． 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法来解决这个问题． 小明的解法： 原式的倒数为， 所以． (1)小明的解答是否正确？请说明理由； (2)请你运用小明的方法计算：÷． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2) 【知识点】倒数、有理数的除法运算 【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解：原式的倒数为 ， 则． 题型七、有理数除法的应用 19．已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】有理数加法中的符号问题、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，理解相关运算法则是解题关键．由已知条件得出，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：，， ，, ， ， ， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个， 故选：C． 20．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）甲数相当于乙数的，甲数是30，则乙数是 ． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】题目中给出甲数相当于乙数的，即甲数与乙数存在特定的数量关系，已知甲数的值，要求乙数，可根据除法运算，用甲数的值除以来得到乙数．本题主要考查了有理数的除法运算以及分数与除法的关系．熟练掌握“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”以及有理数的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为： 21．小明有5张分别写着数字的卡片，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数的商最小，则商的最小值是 ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算、有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 选取异号两数相除，且其商的绝对值保证最大即可. 【详解】解：根据题意得，商的最小值是： 故答案为： 题型八、有理数乘除混合运算 22．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查了有理数乘除的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 运用有理数乘除混合运算的方法对各算式进行逐一计算、辨别． 【详解】解：∵，原式计算错误； ，原式计算错误； ，原式计算正确； ，原式计算错误． ∴算其中正确的个数是1． 故选：D． 23．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，先计算除法运算，再计算乘法运算即可，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键． 【详解】解： ； 故答案为： 24．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可； （2）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可． 【详解】（1）解： （2） 题型九、有理数四则混合运算 25．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，需按照运算顺序和法则逐一验证各选项. 【详解】选项A：=，结果应为，故A错误. 选项B：=，结果应为，故B错误. 选项C：=，故C错误. 选项D：=，故D正确. 故选：D. 26．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．将第一组中的每一个数与第二组中的每一个数相乘，则所有乘积的和是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握混合运算的顺序和法则是解题的关键，注意结果的符号．根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算，那么所有这样的乘积总和即为两组数分别求和再相乘． 【详解】解：由题意得所有乘积的和是： 故答案为：． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 27．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 mm． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，结合已知条件列出算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 所以最后的长度比原长度约伸长． 故答案为：． 28．如图①，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点，分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点的位置如图②． (1)第____________次按键后，点所在的位置正好是原点； (2)第6次按键后，点所在位置表示的数字与点所在位置表示的数字的差是多少？ 【答案】(1)3 (2)18 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点间距离，根据题意列出点M、N表示的数是解题的关键． （1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是，因为点M正好到达原点，所以，解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点； （2）第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为，可得点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少． 【详解】（1）解：∵每次点向右平移2个单位长度， 又∵， 第3次按键后，点M正好到达原点； （2）解：第6次按键后．点表示的数为，点表示的数为． ， ∴第6次按键后，点所在位置表示的数字与点所在位置表示的数字的差是18． 29．某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如表： 与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3 袋数 5 10 3 1 5 6 (1)这30袋大米的总重量比标准总重量是多还是少？相差多少？ (2)大米单价是每千克元，食堂购进大米总共花多少钱？ 【答案】(1)多千克 (2)食堂购进大米总共花元． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题考查有理数的混合运算的应用； （1）根据表格数据，以及正负数的意义列出算式，然后进行计算即可求解； （2）根据30袋大米的总重量乘以单价，即可得到总费用． 【详解】（1）解：千克， 答：这袋大米共多出千克； （2）解：∵这袋大米的总质量是：千克，大米单价是每千克元， ∴总费用元． 答：食堂购进大米总共花元． 题型十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 30．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值，数轴，有理数的大小比较．根据数轴可以判断a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而可以判断各个选项是否正确． 【详解】解：由数轴可知：，，且， 则，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 31．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值；先根据数轴求出，，，再去掉绝对值，即可求解． 【详解】解：根据数轴可知：，，， 原式 ． 故答案为：． 32．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|， (1)＝ ，   ＝ ． (2) 0， 0．（用“＞”，“＝”或“＜”填空） (3)若b与c互为倒数，求的值． 【答案】(1)0， (2)＜，＞ (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据点在数轴的位置判断式子的正负、倒数 【分析】（1）由，的绝对值相等，符号相反，可得二者互为相反数，从而可得答案； （2）由数轴可得答案； （3）与互为倒数，则，由（1）可知，从而可得答案． 【详解】（1）解： 由图可知，， ， 故答案为：；． （2）解：由图可知 ， 故答案为：；． （3）解：与互为倒数 的值为． 【点睛】本题借助数轴考查了有理数的大小、绝对值、相反数、倒数等相关基础知识的计算，难度不大． 强化训练 一、单选题 1．的倒数是（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】倒数 【分析】根据倒数的意义．乘积是1的两个数互为倒数．1的倒数是1，0没有倒数．求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可，由此解答． 【详解】题目给出的数是 ， 将分子和分母交换位置，原数的分子是 −1，分母是 3，交换后得到 ． 选项中 −3 对应选项 B． 故选择：B． 2．若5个有理数之积为正数，则这5个因数中负因数个数可能是（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或没有 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题关键．根据5个有理数之积为正数，即得出这5个因数中负因数个数一定为偶数，即可得解． 【详解】解：因为五个有理数的积为正数， 所以其中负因数的个数一定为偶数， 所以这5个因数中负因数个数可能是2或4或没有． 故选D． 3．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 4．已知x，y为有理数，如果规定一种新运算则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据，求出的值为即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．下列计算：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：①，原式计算错误； ②，原式计算正确； ③，原式计算错误； ④，原式计算正确． ∴计算正确的有②④， 故选：D． 6．计算的结果是（    ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算．先把除法运算转化成乘法运算，再利用有理数乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 7．若数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查数轴、有理数的运算等知识点，根据数轴确定数、、的关系成为解题的关键． 根据数轴得到且，再根据有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：根据数轴可得且， A．因为，所以，故A错误； B．因为，所以，故B正确； C．因为，所以，故C错误； D．因为，所以，故D错误． 故选：B． 二、填空题 8．计算： ． 【答案】3 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则. 先乘除，后加减，注意符号的运算法则以及除以分数就等于乘以它的倒数. 【详解】解：原式 故答案为：3． 9．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，解题关键是熟练掌握除法运算法则．根据：除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： ． 10．计算： 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法的运算法则是解题的关键．根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11．3与的倒数的积为 ． 【答案】 【知识点】倒数、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了倒数的定义，有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握倒数的定义．先根据倒数定义求出的倒数，然后求出两个数的乘积即可． 【详解】解：的倒数是， ∴3与的倒数的积为：． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】4 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将带分数化为假分数，利用乘法交换律和分配律进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：4． 13．已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义的法则，列出算式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 三、解答题 14．写出下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)0.17； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】倒数、两个有理数的乘法运算 【分析】此题考查求一个数的倒数，根据倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数依次解答即可 【详解】（1）解：， ∴的倒数是； （2）解：， ∴的倒数是； （3）解：， ∴的倒数是； （4）解：， ∴的倒数是； （5）解：， ∴的倒数是； （6）解：， ∴的倒数是 15．计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是注意运算顺序． 先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】解： ． 16．计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 先计算括号内，再进行乘除法计算即可． 【详解】解：原式 ． 17．计算：． 【答案】4 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握算理是解决问题的关键．先确定结果的符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：原式． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的乘除运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先将除法变成乘法，再进行计算即可； （2）先将除法变成乘法，再进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 19．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用加法的交换律和结合律，将同分母结合进行简便运算； （2）先计算乘法和绝对值，再计算加法，即可求解； （3）先计算乘法和括号内的，再计算加法，即可求解； （4）利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．七年1班6名男生测量身高，以为标准，超过的记作正数，不足的记作负数．测量结果记录如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 身高/cm 158 175 164 161 157 160 差值/cm m 0 (1)求m的值； (2)计算这6名同学的平均身高． 【答案】(1) (2)162.5cm 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数除法的应用 【分析】（1）用身高与cm作差即可得； （2）先求出这6名同学身高的差值的平均值，再加上cm即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 答：的值为； （2）解：这6名同学身高的差值的平均值为： 则这6名同学的平均身高为： 答：这6名同学的平均身高为． 【点睛】本题考查了正数与负数在生活中的应用、有理数的加减法、及除法，理解题意正确列出式子是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$