重庆市第八中学校2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

重庆八中 2025-2026 学年度(上)高三年级入学考试 数学试题 命题: 高三命题组 、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ,若 ,则 中所有元素之和为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 不等式 的解集是 A. B. C.(-2,0) D. 3. 的展开式中常数项是 -160,则 A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 4. 函数 的最大值为 A. -1 B. 3 C. 1 D.-3 5. 盒子甲中有 5 个红球和 3 个蓝球；盒子乙中有 6 个红球和 2 个蓝球. 若从甲、乙两个盒子中各随机取出 2 个球, 则取出的 4 个球中恰有 1 个蓝球的不同取法共有 A. 150 种 B. 180 种 C. 300 种 D. 345 种 6. 已知 ,则 A. B. C. D. 7. 已知函数 ,则不等式 的解集为 A. B. C. D. 8. 函数 的最小值为 A. B. 1 C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知双曲线 的右焦点为 ,直线 是 的一条渐近线, 是 上一点,则下列说法中正确的是 A. 双曲线 的虚轴长为 B. 点 坐标为(2,0) C. 离心率 D. 的最小值为 10. 已知函数 是定义在 上的奇函数, 是偶函数,当 时, , 则下列说法中正确的有 A. 时, B. 函数 的最小正周期是 4 C. D. 方程 恰有 10 个不同的实数根 11. 已知随机变量 相互独立,且 ,记 ,则下列说法正确的是 A. B. C. D. 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. _____. 13. 数列 ,对于任意的 ,都有 ,若 对于任意的 恒成立,则 的最大值为_____. 14. 已知函数 是定义在 上的偶函数,记 为函数 的导函数,且满足 ,则不等式 的解集为_____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13 分) 如图,在四棱锥 中,底面 为梯形,且 , 等边三角形 所在的平面垂直于底面 . (1)求证: 面 . ( 2 )若四棱锥 的体积为 ,求二面角 的余弦值. 16.(15 分) 已知函数 . (1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 有极大值 ,且 ,求 的取值范围. 17.(15 分) 在圆 上任取一点 ,过点 作 轴的垂线段 为垂足. (1)当点 在圆上运动时,求线段 的中点 的轨迹方程. (当点 经过圆与 轴的交点时,规定点 与点 重合) (2)根据(1)中所得的点 的轨迹方程,若直线 与点 的轨迹相交于 , 两点,且 ,试判断 的面积是否为定值. 若是,求出该定值；若不是, 请说明理由. 18.(17 分) 某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备. 每套设备有一关键传感器, 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰). 购进设备时,可额外购买该传感器作为备件, 每个成本为 300 元. 在使用期间, 若备件不足需紧急采购, 则每个 800 元. 五年后未使用的备件可由厂家回购, 每个回购价为 100 元. 现需决策购买设备时应同时购买几个备件, 为此搜集并整理了 100 套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据, 得到如下频数分布表: 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率. 记随机变量 为两套设备五年内共需更换的传感器的个数, 为购买设备时同时购买的备件数. (1)求 的概率分布列； (2)若要求 ,求 的最小值； (3)记净成本为 ,以净成本期望值 为决策依据,求净成本期望值 最低时的备件数 . 19.(17 分) 记函数 ; ( 1 )求函数 的极值点个数； (2)记函数 的极值点为 ,证明: (i) ; (ii) 数列 单调递减. (提示: 时, ) 学科网（北京）股份有限公司 $$