3.2 勾股定理的逆定理（课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（苏科版2024）

苏科版（2024）八年级数学上册 第三章 勾股定理 3.2 勾股定理的逆定理 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.能根据三角形三边长（含整数、小数、根式）判断是否为直角三角形。 2.能运用逆定理解决实际问题，如“判断三角形支架是否为直角结构”“根据已知两边长，确定第三边使三角形为直角三角形”（分类讨论斜边情况）。​ 3.理解“勾股数扩大相同倍数后仍为勾股数” 的性质，能判断一组数是否为勾股数。 新课导入 我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.反过来，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形吗? 问题 如图1，△ABC的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2,能否证明△ABC为直角三角形? A b a C B c 图1 我们先作一个△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝a， A′C′＝b．（图2）再设法证明△ABC与△A′ B′ C′ 全等 ∟ A′ b a C′ B′ 图2 根据勾股定理，得 A′B′ 2＝a2＋b2. 因为 AB2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB 根据“SSS”，可知△ABC ≌△A′ B′ C′ . 于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形． 知识点讲解 定义与概念 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 四千多年前，古埃及人在建造金字塔时，他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4份、5份的长度做边长，用木桩钉成三角形，他们认为其中一个角就是直角，你知道为什么吗？ 如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数． 总结归纳 如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数． 讨论 写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律． 常见勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)等。 规律: 1.用公式m²-n²、2mn、m²- n²生成。例如，取m=2、n=1，得3.4.5;取m=3、n=2，得5,12,13. 2.三个数中必有一偶，斜边为奇数例如，3(奇)、4(偶)、5(奇) 3.基本勾股数的k倍仍满足勾股定理。例如，3k,4k,5k对任意正整数k均成立。 典型例题 经典例题 例1 已知：a，b，c为正整数，且a2＋b2＝c2． 求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数． 证明：∵a2＋b2＝c2， ∴(ka)2＋(kb)2＝k2a2＋k2b2 ＝k2(a2＋b2) ＝k2c2＝(kc)2． ∵a，b，c，k为正整数， ∴ka，kb，kc为正整数. ∴ka，kb，kc构成勾股数. 总结归纳 特别解读 1. 勾股数有无数组； 2. 如果a，b，c是一组勾股数，那么ka，kb，kc(k为正整数)也是一组勾股数. 例2 如图，AD是△ABC的中线，AD＝24，AB＝26，BC＝20． 求AC的长． A B C D A B D 解：∵AD是△ABC的中线，BC＝20， ∴BD＝DC＝BC＝10． ∵AD＝24，AB＝26， ∴AD2＋BD2＝242＋102＝676， AB2＝262＝676． ∴AD2＋BD2＝AB2． ∴∠ADB＝90°(勾股定理的逆定理)． ∴AD垂直平分BC． ∴AC＝AB＝26 ． 总结归纳 特别提醒 1. 勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一种方法，在没有确定是直角三角形时，不能说斜边或者直角边，只能说三角形的边. 2. a2+b2=c2只是一种表示形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+c2的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边. 课堂练习 基础题 知识点1 勾股定理的逆定理 1.如图，在单位长度为1的正方形组成的网格图中有， ， ， 四条线段，下列能作为一个直角三角形三边的线段是( ) A A.，， B.，， C.，， D.，， 【解析】由题意得，，， ， ，， 能作为直角三角形的三边.故选A． 刷有所得 计算三条线段长度的平方，满足两条线段长的平方和等于第三条线段长的平方的 三条线段可以作为直角三角形的三边. 2.用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成的三 角形（阴影部分）是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不 可以是( ) C A.1，2，3 B.2，2，4 C.3，4，5 D.2，3，5 【解析】由题意可得，三角形各边长的平方是对应的各个正方形的面积. 所围成 的三角形是直角三角形， 斜边对应的正方形的面积等于两直角边对应的正方形 的面积和.又，，，， 选取的三个正方 形纸片的面积不可以是3，4，5.故选C. 19 （第4题图） 3.［2024江苏无锡梁溪区期中］如图所示，在中， ， ，在中，为上的高，， ， 则 的面积是____. 24 【解析】， ， ，， ， ，是直角三角形， ， .故答案为24. 20 知识点2 勾股数 4.［2025江苏南京期中］下面各组数中，是勾股数的是( ) C A.，2，7 B.， ,1 C.3，4，5 D.5，8，10 【解析】，且 不是正整数，故选项A中的数不是勾股数； ，但， 不是正整数，故选项B中的数不是勾股数； ，且3,4,5是正整数,故选项C中的数是勾股数； ，故选 项D中的数不是勾股数.故选C． 易错警示 能作为直角三角形的三边长的三个数不一定是勾股数. 21 5.［2025江苏常州期中］如图，中，， ，，是延长线 上的点，连接， . （1）试说明 为直角； 【解】， ， ， ，即 为直角. 知识点3 勾股定理及其逆定理的综合 （2）求 的长. 【解】 ，， ，， ， ． 22 提升题 6.［2024南京玄武区月考］如图，在中， 边上的垂直平分线与, 分别交于点, ，且 . （1）求证： ； 证明：连接边上的垂直平分线为 ， ， . . （2）若，，求 的长. 解：设，则 . 在中， ，，解得.的长为 . 拓展题 7. 在中，, ，点 为内一点，将绕点顺时针 旋转 得到，连接， ， . （1）如图①，当 ，，，时，求 的度数； 解：如图①，连接 ，由旋转得 ， ， ， 即 ，又， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ，， ，是直角三角形， ， . （2）如图②，当 ，,，时，求 的度数. 解：如图②，连接 ，由旋转得 ， ， ，即 ，又， ， ，， ， ， ，易得 ， ， ，是直角三角形， ， . 课堂小结 勾股定理与其逆定理有什么区别与联系？ 勾股定理 勾股定理的逆定理 图形 条件 结论 区别 联系 A b a C B ∟ 在Rt△ABC中，∠C＝90° a2＋b2＝c2 “直角三角形”为条件，数量关系a2＋b2＝c2为结论. 是直角三角形的性质. A b a C B c 都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关 在△ABC中，a2＋b2＝c2 ∠C＝90° 数量关系a2＋b2＝c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定. 形 数 本节课同学们学到了什么？ 勾股定理的逆定理 内容 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形． 勾股数 如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2， 则称a，b，c为勾股数． 应用 判定三角形是否为直角三角形． 勾股定理及其逆定理的综合应用． 布置作业 作业题 教科书第97页练习 第1，2，3题 课本练习 1.下列各组数是勾股数吗？为什么？ (1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12． 解：(1) ∵122＋152＝144＋225＝369，182＝324， ∴ 122＋152≠182． ∴ 12，15，18不是勾股数． (2) ∵112＋602＝121＋3600＝3721，612＝3721， ∴ 112＋602＝612． ∴ 11，60，61是勾股数． (3) ∵152＋362＝225＋1296＝1521，392＝1521， ∴ 152＋362＝392． ∴ 15，36，39是勾股数． (4) ∵122＋352＝144＋1225＝1369，362＝1269， ∴ 122＋352≠362． ∴ 36，35，12不是勾股数． 2. 计算图中四边形ABCD的面积． ∟ C A B D 12 16 15 25 解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 BD2＝122＋162＝400， ∴BD＝20. ∵CD＝15，BC＝25， ∴CD2＋BD2＝152＋202＝625， BC2＝252＝625． ∴CD2＋BD2＝BC2． ∴∠BDC＝90°(勾股定理的逆定理)． ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC ＝×12×16＋×15×20＝246． 3. 一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60. 求这个三角形的面积. 解：设三角形的三边长分别为3x，4x，5x． 由题意，得3x＋4x＋5x＝60， 解得x＝5． ∴三边长分别为15，20，25． ∵152＋202＝252， ∴这个三角形是直角三角形． ∴S＝×15×20＝150． 感谢观看 $$