专题14 勾股定理的逆定理（四大题型16道题）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题14 勾股定理的逆定理（四大题型16道题） 目录 知识点一勾股树（数）问题 1 知识点二判断三边能否构成直角三角形 4 知识点三在网格中判断直角三角形 6 知识点四利用勾股定理的逆定理求解 9 知识点一勾股树（数）问题 1．下列四组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、， ， 故不是勾股数； B、各数不是整数，不是勾股数； C、，是勾股数； D、，不是勾股数． 2．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则25次操作后图形中所有正方形的面积和为（     ） A．75 B．78 C．80 D．81 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴25次操作后的图形中所有正方形的面积和为． 3．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 4．已知：，， （1）当n时，写出的值_______； （2）当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） （3）小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）20 （2）24 （3） 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理及逆定理进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； （2）解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， 故答案为：24； （3）略 知识点二判断三边能否构成直角三角形 5．已知为的三边长，若满足，则是（     ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 6．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是，，，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（     ） A．三角形两边之和大于第三边 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵ 三角形三边长为，，， 而， 即两条较短边的平方和等于最长边的平方， 这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理． 7．如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：， ， 由勾股定理逆定理得是直角三角形，， 设，由垂直平分线的性质知， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 解得，即． 8．已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成求出三角形面积． 【答案】（1），， （2）能构成直角三角形，面积为 【分析】（1）几个非负数（平方、算术平方根、绝对值）之和为，则每一个都为，由此求出、、； （2）用勾股定理的逆定理判断直角三角形并求面积，注意最大边应为斜边． 【详解】（1）解：∵，，， 且， ∴，，， ∴，，． （2）解：∵，， ∴， ∴以，，为边长能构成直角三角形，其中为斜边， ∴． 知识点三在网格中判断直角三角形 9．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理推出，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，且， 是等腰直角三角形，且， 故选：B． 10．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据网格的特点求得的长为，分为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定点的位置． 【详解】由于每个小正方形的边长为1，则， 如图， ①当为斜边时， 可以作出，，三个直角三角形 当为直角边时， 可以作出，两个直角三角形， 将上述三角以为对称轴翻折，可得出4个直角三角形， 综上所述，一共有9个直角三角形． 故选：B． 11．在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成______个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键． 根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案． 【详解】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 故答案为：． 12．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．顶点都在格点上的三角形就叫格点三角形，现有，两个格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形． （1）在图甲中画一个面积为6的直角三角形： （2）在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，并写出这个等腰三角形的腰长为___________． 【答案】（1） 如图甲所示，即为所求： （2） 如图乙所示，即为所求（或画成或均可，注：本题画一种即可）腰长为：（或）： 【分析】本题考查了作图，直角三角形性质，等腰三角形的性质以及勾股定理． （1）根据勾股定理求得，此时只需要作一个直角边为的直角三角形即可; （2）根据等腰三角形定义作出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 知识点四利用勾股定理的逆定理求解 13．如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 14．小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形面积公式计算面积即可． 【详解】∵ ， ∴ 该三角形是直角三角形，长为和的边为直角边， ∴ 该花坛的面积 ． 15．如图，在中，，，，则的面积为______． 【答案】24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 16．某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． （1）求的长度； （2）施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 【答案】（1） （2）符合图纸上的安装要求 【分析】（1）由勾股定理直接求解即可； （2）由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理可得， 因此，即的长度为； （2）解：在中，， ∴， ∴是直角三角形，，即该车棚符合图纸上的安装要求． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题14 勾股定理的逆定理（四大题型16道题） 目录 知识点一勾股树（数）问题 1 知识点二判断三边能否构成直角三角形 2 知识点三在网格中判断直角三角形 3 知识点四利用勾股定理的逆定理求解 4 知识点一勾股树（数）问题 1．下列四组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则25次操作后图形中所有正方形的面积和为（     ） A．75 B．78 C．80 D．81 3．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 4．已知：，， （1）当n时，写出的值_______； （2）当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） （3）小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 知识点二判断三边能否构成直角三角形 5．已知为的三边长，若满足，则是（     ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 6．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是，，，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（     ） A．三角形两边之和大于第三边 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 7．如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 8．已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成求出三角形面积． 知识点三在网格中判断直角三角形 9．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 11．在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成______个直角三角形． 12．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．顶点都在格点上的三角形就叫格点三角形，现有，两个格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形． （1）在图甲中画一个面积为6的直角三角形： （2）在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，并写出这个等腰三角形的腰长为___________． 知识点四利用勾股定理的逆定理求解 13．如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 14．小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，，则的面积为______． 16．某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． （1）求的长度； （2）施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 学科网（北京）股份有限公司 $