精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期适应性测试（二）数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（二） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合A，B的元素，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】由得或，， 由，则，所以， 故选A． 2. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的虚部定义直接判断即可. 【详解】因为复数，根据复数的虚部概念可知，该复数的虚部为1. 故选：A. 3. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 4. 下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D. 【详解】对A，二次函数的对称轴为， 不是偶函数，故A错误； 对B，函数的定义域为， 定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误； 对C，， 定义域为，所以函数是偶函数， 结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误； 对D，，定义域为， 所以函数是偶函数，因为，， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数有最小值，故D正确. 故选：D 5. 设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质求出、、的值，利用椭圆的定义可知曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的方程为，求出、的值，即可求出椭圆的方程. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以， 因为双曲线的离心率为，所以，则， 所以，双曲线的方程为， 因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则，所以，， 因此，椭圆的方程为. 故选：D. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. M与N是互斥事件 B. M与N是相互独立事件 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件与独立事件定义可判断A错误，B正确，由条件概率公式计算，可判定C错误，再由对立事件公式计算，可判定D错误. 【详解】对于A中，当掷出2，此时事件同时发生，所以M与N不是互斥事件，所以A错误； 对于B中，由，，，满足，所以B正确； 对于C中，由B知：，所以C错误； 对于D中，由，， 所以，所以D错误． 故选：B. 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件两边平方，由同角三角函数基本关系求得的值以及判断的符号，由，即可求得的值. 法一：可用切化弦化简及二倍角公式，即可求解； 法二：可分别求出的值，即可求得，再利用二倍角公式化简，即可求解. 【详解】由，两边平方得， 即，而，故． 所以，而，解得， 法一：所以． 法二：由和，可解得，得， 则． 故选：A. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得到，再构造函数，通过，得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，， 由， 可得：， 构造函数，，可得， 由上式可知：， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 数据的第百分位数为 B. 已知随机变量，若，则 C. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用百分位数的求法，直接求出第百分位数，即可求解；对于B，利用正态分布的对称性，结合条件，即可求解；对于C，根据条件，利用残差的定义，即可求解；对于D，根据条件，利用方差的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，将数据从小排到大得到， 又，数据的第百分位数为，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，所以选项B正确， 对于选项C，由题知，得到，所以选项C正确， 对于选项D，设，，，的平均数为，，，，的平均数为， 因为，则，又， ， 所以，故选D错误， 故选：BC. 10. 设函数，若，且，则（ ） A. 实数的取值范围为 B. C. D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数探讨函数的性质，由已知结合三次函数的图象特征逐项求解判断. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，函数在上单调递增，最多一个解，不符合题意； 当时，由，得或；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 对于A，依题意，，实数的取值范围为，A错误； 对于B，由A选项知，，，B正确； 对于C，依题意，，则， 由，得，整理得， 则，当且仅当时取等号，解得，C正确； 对于D，由C选项知，且， 由，得，则，即，， 令函数，求导得， 当时，；当时，，在上递减，在上递增， 因此，则，即，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在正三棱柱 中， 点为的中点，点 在棱上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点为的中点时，点为上底面内的动点(包括边界)，若平面，则点的轨迹长度为 C. 当点为靠近的四等分点时，与夹角的余弦值为 D. 当点为的中点时，将线段绕旋转 90°到，则在旋转过程中(包含与)与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，利用线面垂直的性质可得到线线垂直；对于选项B，首先通过证明面面平行确定点的轨迹，进而可求得轨迹的长度；对于选项C，首先建立空间直角坐标系，然后将向量的坐标表示出来，利用向量夹角的余弦值公式即可求出结果；对于选项D，首先求出平面的法向量，然后利用旋转角将的坐标及向量的坐标表示出来，用向量夹角的余弦值公式求出表达式，然后根据旋转角的范围求出结果即可. 【详解】对于选项A： 因为三棱柱为正三棱柱，点为的中点， 所以，因为， 所以平面，又平面， 所以.所以A正确. 对于选项B： 取的中点，连接. 在中，为中位线，所以，又平面，平面，则平面. 在中，为中位线，所以又平面，平面，则平面. 又，平面，所以平面平面. 又为上底面的动点，则的轨迹为. 又，所以.B正确. 取的中点，连接， 则以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，. 所以， 所以与夹角的余弦值为.所以C错误. 对于选项D： 因为，，. . 设平面的法向量为，则 ，则，令，则. 因为点为的中点，则. 在绕旋转过程中，设旋转角为，则. 所以，所以. 所以与平面所成角的正弦值为. 因为，所以，所以，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知甲，乙两个投篮命中率分别是，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】恰好有一个人命中包含以下两种情况①甲投中，乙没投中②甲没投中，乙投中，由此能求出恰好有一个人命中的概率． 【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和,并且他们投篮互不影响. 现每人分别投篮1次，恰好有一个人命中包含以下两种情况： 甲投中，乙没投中，概率为：, 甲没投中，乙投中，概率为： , 所以恰好有一个人命中的概率 故答案为： 13. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意当时，函数有一个零点，所以只要时，函数有一个零点即可，利用二次函数的相关性质可解. 【详解】因为当时，解得，函数有一个零点； 因此，要使函数有两个零点，只需时，函数有一个零点． 当时，函数对称轴为， 若，只需，解得； 若，只需，可得； 若，有且只有一个零点，不满足条件， 综上，的取值范围为． 故答案为： 14. 椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据离心率可得关于的方程，从而可求其值，根据角平分线的形状结合椭圆的定义可得的值. 【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故， 连接，因为为内心，故为角平分线， 由角平分线性质，有，故， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1. （1）求抛物线的标准方程； （2）为抛物线上的两点，若直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点到准线的距离为，可求，由此可得抛物线方程； （2）不妨设点，由条件列方程求，再结合面积公式求结论. 【小问1详解】 抛物线的焦点到准线的距离为， 所以， 故抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 因为直线与轴垂直，且为等腰直角三角形， 所以，轴的非负半轴为的平分线， 根据抛物线的对称性，不妨设点，则， 则，解得， 所以点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为， 所以，点到直线的距离为， 故的面积. 16. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行. （1）求； （2）若，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案. （2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可. 【小问1详解】 （1）向量与平行， 所以， 由正弦定理可知：， ，， 所以，， 可得； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理可得：， 可得， 解得或（舍）， 的面积为． 17. 错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. （1）若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； （2）若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，应用独立乘法公式、互斥事件加法求概率； 【小问1详解】 设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，， 已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为. 情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为. 情况三：甲做对1题，乙做对1题 甲做对1题的概率为 乙做对1题的概率为 所以甲做对0题，乙做对2题的概率为. 因为这三种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对2题. 【小问2详解】 设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，. 已知，，，，且各事件相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对1题 甲做对2题的概率为 乙做对1题的概率为 所以甲做对2题，乙做对1题的概率为. 情况二：甲做对1题，乙做对2题 甲做对1题的概率为 乙做对2题的概率为 所以甲做对1题，乙做对2题的概率为. 由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，,为的中点，点在上，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 【答案】（1）因为平面，平面，则， 由题意可知，且，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面. （2） （3）直线在平面内，理由如下： 易知，，由，可得， 则，由平面的一个法向量为， 其中，且点在平面内，故直线在平面内. 【解析】 【分析】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； （2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角的余弦值； （3）首先求得点的坐标，然后结合平面的法向量和直线的方向向量可判断直线是否在平面内. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴， ，方向为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：，，， 由可得点的坐标为， 由可得，设平面的法向量为：， 则， 据此可得平面的一个法向量为：， 很明显平面的一个法向量为， 得到， 而二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数（），其中，为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求的最小整数值． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）最小整数值为． 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系，结合利用导数求解单调区间的步骤，按照和分类讨论即可解出； （2）依题可知在上恒成立，设，即，由导函数的单调性以及零点存在性定理可知，存在唯一实数，使得在上单调递增，在上单调递减，从而求得，再利用函数的单调性可求出，即可求得的最小整数值． 【详解】（1），令，得． ①当，即时，在上恒成立，所以在上单调递减． ②当，即时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减：当时，在上单调递增，在上单调递减． （2），即，即在上恒成立． 设，，则，在上为减函数． 又，．因此存在唯一实数，此时在上单调递增，在上单调递减，所以． 因为，所以，． 所以． 因为，所以，即． 因此，即，所以的最小整数值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（二） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 4. 下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ） A. B. C. D. 5. 设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. M与N是互斥事件 B. M与N是相互独立事件 C. D. 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 数据的第百分位数为 B. 已知随机变量，若，则 C. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 10. 设函数，若，且，则（ ） A. 实数的取值范围为 B. C. D. 当时， 11. 如图，在正三棱柱 中， 点为的中点，点 在棱上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点为的中点时，点为上底面内的动点(包括边界)，若平面，则点的轨迹长度为 C. 当点为靠近的四等分点时，与夹角的余弦值为 D. 当点为的中点时，将线段绕旋转 90°到，则在旋转过程中(包含与)与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知甲，乙两个投篮命中率分别是，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为___________． 13. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 14. 椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1. （1）求抛物线的标准方程； （2）为抛物线上的两点，若直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，求的面积. 16. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行. （1）求； （2）若，，求△ABC的面积. 17. 错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. （1）若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； （2）若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，,为的中点，点在上，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的余弦值； （3）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 19. 已知函数（），其中，为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求的最小整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $