湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二下学期6月测试数学试题（6.25）

孝感高中2023级高二年级 数学试题答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在等比数列中，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为，所以， 当时，，舍去，故， 所以，即，所以， 2.已知函数，曲线在点处的切线与轴平行，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由，得， 因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，解得． 3.已知随机变量~N(3,4),则“a=3”是“P(< a)=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【解析】解：因为随机变量服从正态分布N(3,4),可知正态密度曲线关于直线x=3对称， 当“a=3”时，可以推出“P(< a)=“； 当”P(< a)=“时，也只能推出“a=3”,故为充要条件. 4.某活动现安排名志愿者去甲、乙、丙个活动场地配合工作，每个活动场地去名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A  【解析】解：根据题意，分类讨论： 第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地， 将剩下人分为组，安排在乙、丙两个活动场地即可，有种安排方法； 第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地，在剩下人中选出人安排在乙活动场地， 再将剩下人分别安排到甲、丙活动场地，有种安排方法， 根据分类加法计数原理，共有种安排方法． 5.数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， 当，有即，因此，当时，， 当时，，我们可以通过计算前几项的值来找到最小值： 当时，， 当时，， 当时， ， 当时， ， 当时，， 的最小值为． 6.已知 ， ， ，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：令，则， 易得在上单调递减，， 注意到，，，，， 7.已知实数，满足，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：依题意，当  时，方程为  ，是双曲线  在第一象限的部分，还有点； 当  时，方程为  ，不能表示任何曲线； 当  时，方程为  ，是双曲线  在第三象限的部分； 当  ，方程为  ，是椭圆  在第四象限的部分，还有点； 其图象大致如图所示：  的几何意义是曲线上的点到 直线  的距离的两倍， 双曲线的渐近线  与  平行， 所以曲线在第一、三象限上的点到 的距离  ， 由图象可知直线与椭圆  在第四象限的部分 相切时，距离取得最小值，设切线为：  且  ， 由  ，可得  ， 由  ，解得  或  舍去， 所以曲线在第四象限上的点到 的距离  ． 所以  的取值范围是：  ． 8.定义在上的函数满足，，，则下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：对于任意 ，存在  使得：． 由于 ，因此：，即：． 选项A：从到，区间长度为， 由，可知，无法保证； 选项B：从到，区间长度为，， 可知，无法保证； 选项C：从到，区间长度为， ，，一定成立； 选项D：从到，区间长度为， 由，可知，无法保证． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知公差为的等差数列中，前项和为，且，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ABD  解：因为在公差为的等差数列中，，所以，解得：， 因为，所以，故故AB正确； 由，解得：，故，故C错误； ，故D正确； 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，且，为上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交轴于点，则下列结论正确的是(    ) A. 椭圆的离心率 B. C. 的内切圆半径为 D. 【答案】AC  【解析】解：设椭圆的焦距为，由椭圆的对称性可知， 所以，，故，A正确 ，B错误 由得，所以， 又的周长，设内切圆半径为，则，得，C正确 由角平分线定理得，D错误． 11.已知函数，则下列说法正确的有(    ) A. 若是上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有三个零点 D. 若关于的方程恰有两个非零的实数根，则 【答案】AB  【解析】解：对于， 是上的增函数，  ， ，解得，A正确； 对于，当时， ，有两个异根， 函数有两个极值，B正确； 对于，令 ，则或 ， 当时，当  ，即 时， 有相等的根， 此时有两零点； 当 ，即 时， 有相异的两根， 此时有三个零点，C错误； 对于， ，设的两根为 若方程恰有两个非零的实数根，则或 当时，此时为函数极大值， 从而，相减得到 又由于 得到 从而，由于，从而 当时，此时为函数极小值， 从而，相减得到 又由于 得到 从而，由于，从而 由于不确定为的极大值还是极小值，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中常数项为          ． 【答案】  【解答】解：的展开式中的通项公式：， 令，解得．的展开式中常数项为． 13.有男女共名学生被分派去，，三个公司实习，每个公司至少人，且公司只要女生，共有          种不同的分派方法．用数字作答 【答案】  解：第一类，公司只有个女生，有种分派方案， 则，公司分派人数可以为，或者，或者，共种分派方案，共种， 所以一共有种分派方案； 第二类,公司有个女生,只有种分派方案，，公司分派人数只能是,或者,,有种； 根据分类计数原理共有种 14.若直线为曲线的一条切线，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】解：设切点坐标为 因为直线是曲线的切线，则在切点处有 又因为切点在曲线上，所以 由联立求解，可得，即． 把代入得，两边取自然对数可得，即，那么． 所以， 设，则． 令，即，因为，所以，解得． 当时，，则，所以在上单调递减； 当时，，则，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，，即的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知某校有甲、乙两支志愿服务队，甲队由名男生和名女生组成，乙队由名男生和名女生组成． 先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率 在某次活动中，从甲队中随机选取名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望． 【答案】解：设“选取一队是甲队”为事件，“选取一队是乙队”为事件， “随机选取一名志愿者是男生”为事件，则，其中事件与互斥， 所以． 因为，，所以．所以该志愿者是男生的概率为． 的可能取值为，，， 因为，，， 所以的分布列为： 所以的期望．  16.本小题分 已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． 求数列的通项公式 将数列与的所有项从小到大排列得到数列 求的前项和 证明：． 【答案】解：设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，取，得，即， 解得，，所以； 解：由知，，所以， 因为，所以，所以的前项和为； 证明：因为，所以， 所以当时，； 当时，． 综上即证．  17.本小题分“你好我是，很高兴见到你我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 本科以下 合计 依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关 某校组织“模型”知识竞赛，分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，已知按此规则进行了多次挑战． 前次挑战后，求乙组拥有挑战权的次数的分布列与数学期望 定义：已知数列，若对于任意给定的正数不论它多么小，总存在正整数，使得当时，是一个确定的实数，则称数列为“收敛数列”经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，求证：数列为“收敛数列”． 附：，其中． 【答案】解：零假设为的使用情况与学历无关，根据列联表中的数据， 可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为的使用情况与学历无关 依题意可知，可取，，， 则， ， ， 所以的分布列为： ； 第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率分别是，，时，则， 则， 解得， ，其中， 是以为首项，为公比的等比数列， ，， ，函数在上单调递减， 且当时，， 所以对于任意给定的正数不论它多么小，总存在正整数其中表示取整函数， 使得当时，，所以数列为“收敛数列”．  18.本小题分已知椭圆的离心率为，且过点． 求椭圆的方程； 斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值； 在的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【答案】解：由题意，得，解得，，，所以椭圆的方程为； 设直线的方程为，，， 联立，消去整理得， 则， 且，，又，， 则 ， 则，即时，此时为定值； 由知，，，直线的方程为， 且，，，，则，， 则直线的方程为， 令，得， 即，则，，， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立，则周长的最小值为．  19.本小题分已知函数，其中． Ⅰ若有两个零点，求的取值范围 Ⅱ讨论的单调性 Ⅲ若有两个极值点，，证明：． 【答案】解：Ⅰ令，可得，设，则， 有两个零点，等价于关于的方程有两个不等实根． 所以，解得，或， 又，所以，即的取值范围是 Ⅱ． 若，则恒成立，所以在上单调递增． 若，令，得，． 当时，，当时，． 故在区间和上单调递增，在区间上单调递减． Ⅲ由Ⅱ知，且，是方程的两个根， 所以，，又，所以，即． 因为 ， 所以待证式等价于， 即要证，即证，亦即证． 设，则． 设，当时，，在上单调递减， 所以当时，，则，在上单调递减， 因为，所以，证毕．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在等比数列中，，，则    A. B. 567 C. 451 D. 699 2.已知函数，曲线在点处的切线与x轴平行，则    A. B. C. 0 D. 1 3.已知随机变量，则“”是“”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.某活动现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者A去甲活动场地，志愿者B不去乙活动场地，则不同的安排方法共有      A. 18种 B. 12种 C. 9种 D. 6种 5.数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 6.已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为     A. B. C. D. 7.已知实数x，y满足，则的取值范围是     A. B. C. D. 8.定义在R上的函数满足，，，则下列不等式一定成立的是    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知公差为d的等差数列中，前n项和为，且，，则    A. B. C. D. 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，且，P为C上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是(     ) A. 椭圆C的离心率 B. C. 的内切圆半径为 D. 11.已知函数，则下列说法正确的有  A. 若是R上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有三个零点 D. 若关于x的方程恰有两个非零的实数根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中常数项为           . 13.有3男2女共5名学生被分派去A，B，C三个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只要女生，共有           种不同的分派方法．用数字作答 14.若直线为曲线的一条切线，则的最小值为           . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分已知某校有甲、乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成. 先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率; 在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记X为乙队中男生与女生人数之差，求X的分布列与期望. 16.本小题15分已知数列是等差数列，记其前n项和为，且， 求数列的通项公式; 将数列与的所有项从小到大排列得到数列 ①求的前20项和; ②证明： 17.本小题15分“你好!我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧!” DeepSeek 从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关? 某校组织“AI模型”知识竞赛，分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，已知按此规则进行了多次挑战. ①前3次挑战后，求乙组拥有挑战权的次数X的分布列与数学期望; ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数不论它多么小，总存在正整数，使得当时，是一个确定的实数，则称数列为“收敛数列”.经过n次挑战后，挑战权在甲组的概率为，求证：数列为“收敛数列”. 附：，其中 18.本小题17分已知椭圆的离心率为，且过点 求椭圆C的方程； 斜率为的直线l与椭圆C交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当k为何值时，为定值； 在的条件下，设l不过椭圆中心和顶点，且与x轴交于点M，点A关于y轴的对称点为D，直线BD与y轴交于点N，求周长的最小值． 19.本小题17分已知函数，其中 Ⅰ若有两个零点，求a的取值范围; Ⅱ讨论的单调性; Ⅲ若有两个极值点，，证明： 学科网（北京）股份有限公司 $$