湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二下学期5月测试数学试题

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.图中阴影部分用集合符号可以表示为(    ) A. B. C. D. 2.已知，是方程的两个实根，是的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.复数满足条件，则的最小值为      A. 2 B. 4 C. D. 16 4.已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为    A. B. C. D. 5.展开式中二项式系数构成杨辉三角，人们在研究展开式时，发现各项系数也可以构成一个类似的三角形，并把它称为“广义杨辉三角”，如图所示，则     A. B. C. D. 6.已知正实数a，b，c满足，，则的最小值是(    ) A. 10 B. 9 C. D. 7.已知函数在R上单调递增，则的最小值为(    ) A. 0 B. 1 C. D. e 8.已知双曲线的两个焦点为，，A，B是C的右支上两点.若，，且，则C的离心率为    A. B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若，则下列结论正确的是    A. B. 数据的标准差为3 C. 数据的分位数为10 D. 记，随机变量，，则 10.已知函数的定义域为R，，且，，则下列结论一定正确的是    A. B. C. D. 11.已知随机变量的取值为不大于n的正整数值，它的分布列为： 1 2 n P 其中满足：，且定义的生成函数为若，，则     A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某次下乡关爱留守儿童活动中，工作人员计划把《三国演义》，《西游记》等不同的八本书赠送给甲，乙，丙，丁四位留守儿童，每人两本，由于甲同学阅读过《三国演义》，乙同学阅读过《西游记》，所以《三国演义》不赠送给甲，《西游记》不赠送给乙，则共有          种不同的赠送方法. 13.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为p，则当p取到最大值时n的值为          . 14.已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆C的离心率，过与椭圆长轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，与y轴交于M点，，则的周长为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数 证明：函数的图象关于点对称; 若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 16.本小题15分 A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了A市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数万人与第x个月的数据： x 1 2 3 4 5 y 根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，且回归方程中的，请计算相关系数精确到，并判断是否可以认为y与x的线性相关性很强； 为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断能否有的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”. 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式： 相关系数若，则认为y与x有较强的线性相关性.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为； ，其中 临界值表： 参考数据：，，，， 17.本小题15分 已知抛物线的焦点为F，P为圆上的动点，且的最大值为 求抛物线E的方程; 过点P的两条直线分别交E于A，B和C，D两点，且A，C分别是线段PB，PD的中点，设线段BD的中点为 ⅰ证明：直线轴; ⅱ求面积的最大值. 18.本小题17分 已知函数 讨论的单调性； 当时，若存在零点，求实数a的取值范围； 证明： 19.本小题17分 近年来国产芯片技术日趋成熟，其中有一项工艺称为“二次曝光技术”，即在同一块晶片上先进行一次曝光，清洗，然后再进行一次曝光.只有两次曝光都成功，该晶片方可成功制作成1块芯片.假设第一次曝光的成功率为，第二次曝光的成功率为，每次曝光过程相互独立.现要制作1块芯片，依次对n块晶片进行曝光，操作要求如下： ①若对第块晶片进行第一次曝光失败，则不继续对该晶片进行第二次曝光，并认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光； ②若对第块晶片进行第一次曝光成功，则继续对该晶片进行第二次曝光，若第二次曝光失败，则也认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1块芯片，则不再对后续的晶片进行曝光； ③若对这n块晶片都曝光完毕，无论是否成功制作出1块芯片，则停止制作. 当时，求成功制作出至少1块芯片的概率； 用这n块晶片制作1块芯片，记随机变量X为曝光的晶片个数，求X的分布列和数学期望； 若一块晶片第一次曝光失败，则记该芯片曝光1次；若一块晶片第一次曝光成功，无论第二次曝光成功还是失败，都记该芯片共曝光2次.在曝光完这n块晶片，并成功制作出1块芯片的条件下，记随机变量Y为这n块晶片曝光的总次数，求Y的数学期望 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题（解析） 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.图中阴影部分用集合符号可以表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：在阴影部分区域内任取一个元素x，则或， 故阴影部分所表示的集合为，故A正确. 故选： 2.已知，是方程的两个实根，是的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【解析】【分析】 本题考察一元二次方程根与系数的关系以及充要条件的判断，属于基础题. 利用根与系数关系可知，为充要条件. 【解答】解：因为，是方程的两个实根，则， 则， 则，所以 所以是的充要条件. 3.复数满足条件，则的最小值为      A. 2 B. 4 C. D. 16 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查复数的模长公式，利用条件求出x，y满足的条件，结合基本不等式是解决本题的关键． 根据复数模的定义，求出x，y满足的条件，利用基本不等式即可得到结论．  【解答】 解：， ， 即， 整理得， 则， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为 故选 4.已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以为奇函数， 由恒成立，即恒成立， 所以对于任意恒成立， 当时，； 当时，， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以； 综上可得实数a的取值范围为 故选： 5.展开式中二项式系数构成杨辉三角，人们在研究展开式时，发现各项系数也可以构成一个类似的三角形，并把它称为“广义杨辉三角”，如图所示，则     A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意可得， 根据二项式定理可得， 所以是的展开式中项的系数， 又二项展开式的通项为， 令得， 所以 故选： 6.已知正实数a，b，c满足，，则的最小值是(    ) A. 10 B. 9 C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考察利用基本不等式求最值，属于基础题. 结合基本不等式求解即可. 【解答】 解：，，，，当且仅当时取等号，则，当且仅当，，时取等号，故的最小值为 7.已知函数在R上单调递增，则的最小值为(    ) A. 0 B. 1 C. D. e 【答案】B  【解析】解： 由题意可得， 因为在R上单调递增， 所以恒成立， 那么有两种情况：或恒成立， 要使上述两种情况恒成立，则， 则， 设， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 故选： 8.已知双曲线的两个焦点为，，A，B是C的右支上两点.若，，且，则C的离心率为    A. B. 2 C. D. 【答案】C  【解析】解：设，则，     由双曲线定义可得， 因为，则， 又因为，则，可得， 由余弦定理可得， 整理可得， 则， 整理可得，则， 即，则，所以双曲线C的离心率 故选： 二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若，则下列结论正确的是    A. B. 数据的标准差为3 C. 数据的分位数为10 D. 记，随机变量，，则 【答案】ABD  【解析】解：对于选项A：令，则，故A正确， 对于选项BC：因为的展开式的通项为，即， 可得， 数据为， 则平均数为， 方差为， 所以标准差为3，故B正确； 将数据按升序排列为，且， 故分位数为第3个数5，故C错误； 对于选项D：因为， 故，故D正确， 故选： 10.已知函数的定义域为R，，且，，则下列结论一定正确的是    A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】解：因为， 所以， 所以，即，所以， 则，故A正确； 设，， 则，，，， 所以，，，， 由，所以，即， 由，则，即， 所以， 所以，故B错误； ，故C正确； ，无法判断是否大于30，故D不一定正确； 故选： 11.已知随机变量的取值为不大于n的正整数值，它的分布列为： 1 2 n P 其中满足：，且定义的生成函数为若，，则     A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】解：对于A中，由，可得，所以A正确. 对于B中，由，可得， 所以，所以B正确. 对于C和D中，因为， 所以 ， 又由 ， 可得，所以，则，故C正确，D错误. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某次下乡关爱留守儿童活动中，工作人员计划把《三国演义》，《西游记》等不同的八本书赠送给甲，乙，丙，丁四位留守儿童，每人两本，由于甲同学阅读过《三国演义》，乙同学阅读过《西游记》，所以《三国演义》不赠送给甲，《西游记》不赠送给乙，则共有          种不同的赠送方法. 【答案】1440  【解析】解：八本书赠送给四位留守儿童，每人两本共有种安排方法， 其中《三国演义》赠送给甲的情况有种； 《西游记》赠送给乙情况有种； 《三国演义》赠送给甲，同时《西游记》赠送给乙的情况有种， 所以符合题意的安排方法有种. 故答案为： 13.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为p，则当p取到最大值时n的值为          . 【答案】6  【解析】解：依题意，单次抽奖中奖的概率， 则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率， 令，则， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 因此当p取最大值时，，而，解得， 所以当p取到最大值时n的值为 故答案为： 14.已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆C的离心率，过与椭圆长轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，与y轴交于M点，，则的周长为          . 【答案】12  【解析】解：不妨设P在第一象限，将代入椭圆方程可得，得， 所以 易知M是中点，，则 因为， 所以， 即， 所以 因为椭圆C的离心率， 所以， 则，即， 代入，得， 即，即，故，即， 所以的周长为 故答案为 四、解答题：本题共5小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题15分 已知函数 证明：函数的图象关于点对称; 若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】解：函数的定义域为， 依题意， ， 所以函数的图象关于点对称. 当时，， 由已知，不等式恒成立， 因为，所以， 以上不等式可化为：， 整理得，， 设， 由，知，上式可转化为，， 因为， 由，知，所以， 所以实数a的取值范围为  【解析】本题考查了函数的对称性、不等式恒成立以及指数函数的图象与性质，是中档题. 依题意，，可得函数的图象关于点对称； 原不等式整理后，再分离变量得，设，由二次函数性质可得实数a的取值范围. 16.本小题15分 A市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了A市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数万人与第x个月的数据： x 1 2 3 4 5 y 根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，且回归方程中的，请计算相关系数精确到，并判断是否可以认为y与x的线性相关性很强； 为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断能否有的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”. 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式： 相关系数若，则认为y与x有较强的线性相关性.回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为； ，其中 临界值表： 参考数据：，，，， 【答案】解：由题可知，，， ， ， ，可得， 相关系数， ，可以认为y与x有较强的线性相关性； 填写下面的列联表 喜欢 不喜欢 总计 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 零假设：游客是否喜欢该网红景点与性别无关. 由表可知，， 则， 根据小概率值的独立性检验，可知假设不成立，即认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关，该推断犯错误的概率不超过，所以有的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”.   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题17分 已知抛物线的焦点为F，P为圆上的动点，且的最大值为 求抛物线E的方程; 过点P的两条直线分别交E于A，B和C，D两点，且A，C分别是线段PB，PD的中点，设线段BD的中点为 ⅰ证明：直线轴; ⅱ求面积的最大值. 【答案】解：由题意，的最大值为， 由于， 所以， 则，即， 所以E的方程为 设，，， 由题意，得，， 由A在E上，故，结合， 可化简得：， 即 同理可得， 从而BD直线方程为， 将BD直线方程代入， 消去y得到， 从而， 即M点横坐标， 从而轴; 由，将BD方程代入E后，消去y得， 由根与系数关系得，且， 从而 由代入，得到， 从而， 故 令， 由于P在圆上， 故， 从而， 当时，t取最大值8， 此时取最大值   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题12分 已知函数 讨论的单调性； 当时，若存在零点，求实数a的取值范围； 证明： 【答案】解：的定义域为，， 当时，因，所以恒成立，即在单调递减； 当时，令， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，在单调递减； 当时，在单调递减；在单调递增. 当时，，，， 则， 令， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 因为存在零点，所以， 即实数a的取值范围为； 证明：由可得，当时，， 令，则， 所以 ， 即， 可得， 又上式中，所以   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题17分 近年来国产芯片技术日趋成熟，其中有一项工艺称为“二次曝光技术”，即在同一块晶片上先进行一次曝光，清洗，然后再进行一次曝光.只有两次曝光都成功，该晶片方可成功制作成1块芯片.假设第一次曝光的成功率为，第二次曝光的成功率为，每次曝光过程相互独立.现要制作1块芯片，依次对n块晶片进行曝光，操作要求如下： ①若对第块晶片进行第一次曝光失败，则不继续对该晶片进行第二次曝光，并认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光； ②若对第块晶片进行第一次曝光成功，则继续对该晶片进行第二次曝光，若第二次曝光失败，则也认为对该晶片的制作失败，接着对第块晶片进行曝光；若第二次曝光成功，即成功制作出1块芯片，则不再对后续的晶片进行曝光； ③若对这n块晶片都曝光完毕，无论是否成功制作出1块芯片，则停止制作. 当时，求成功制作出至少1块芯片的概率； 用这n块晶片制作1块芯片，记随机变量X为曝光的晶片个数，求X的分布列和数学期望； 若一块晶片第一次曝光失败，则记该芯片曝光1次；若一块晶片第一次曝光成功，无论第二次曝光成功还是失败，都记该芯片共曝光2次.在曝光完这n块晶片，并成功制作出1块芯片的条件下，记随机变量Y为这n块晶片曝光的总次数，求Y的数学期望 【答案】解：由题意得，用1块晶片制作，成功的概率为，失败的概率为， 当时，要成功制作出至少1块芯片，概率为； 由题意，随机变量X的可能取值为， 当时，可得其概率为， 当时，可得其概率为， 所以X的分布列为 X 1 2 3 n P 可得期望为 令， 则， 两式相减，可得， 所以； 法一：记事件“曝光完这n块晶片，并成功制作出1块芯片”， 记事件“曝光的总次数为Y次”，可得， 对于前块晶片，每块晶片都至少曝光1次，第n块晶片曝光2次， 另外，对于前块晶片，有几块晶片进行了第二次曝光，则总曝光次数就多几次， 并且第1到块晶片，无论曝光几次，每次曝光都是失败的，而第n块晶片的2次曝光都成功， 若前块晶片中，有块晶片进行了第二次曝光，则， 所以Y的可能取值为， 则， 所以Y的分布列为 Y 2n P 所以 ， 其中， ， 所以 法二：考虑前块晶片中任意某块的曝光情况， 由题意，这块晶片无论曝光几次，都是失败的，记这块晶片的曝光次数为随机变量Z， 记事件“这块晶片曝光失败”，事件“这块晶片的曝光次数为Z次”. 由第小问可知 所以， 故这块晶片曝光次数的数学期望为， 所以前块晶片曝光的总次数的数学期望为， 所以   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $$