湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二下学期2月测试数学试题（2.26）

孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知函数的图象在 处的切线方程为，则 (     ) A. B. C. D. 【答案】B 解：因为  ，所以  ．又  的图象在 处的切线方程为  ，所以  ，解得 ，则  ，所以  ，切点为代入切线方程得  ，解得  ，故 ．故选：． 2.已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围(     ) A. B. C. D. 【答案】A 解：由圆：与圆：有两条公切线，可知两圆位置关系是相交，即圆心距小于半径之和且大于半径之差，则，解得：，故选：． 3.中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于岁时完成杰作直指算法统宗，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有白米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得(     ) A. 石 B. 石 C. 石 D. 石 【答案】A 解：设甲、乙、丙，分别对应等差数列的前三项，，所以，，又因为，所以，甲应该分得石．故选A． 4.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为(    ) A. B. C. D. 【答案】D 解：设平面的法向量为，则令，可得，，则．，．设与平面所成的角为，则．故到平面的距离为，即四棱锥的高为． 5.若是函数的极小值点，则的极大值为(      ) A. B. C. D. 【答案】B 解：因为，所以．又是函数的极小值点，所以，解得或．当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去．当时，，所以当时，，单调递增当时，，单调递减当时，，单调递增是的极小值点，所以，． 由以上分析知，当时，取得极大值，且．故选B． 6.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为(     ) A. B. C. D. 【答案】D 解：设，因为在基底下的斜坐标为，所以，所以，解得，即，所以向量在基底下的斜坐标为．故选：． 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】，，．取，则，，．设，则，所以在上单调递增，则，即，所以．令，则，所以在上单调递增，则，所以，即，所以．故选：A 8.设，为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是(     ) A. B. C. D. 【答案】D 解：当直线斜率不存在时，线段中点在轴上，即线段中点的纵坐标为，选项不满足；当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，的中点为，则联立，则，，即，故，，，故，即，故排除；当时，，，带入成立，故 D正确；同理可验证点与不成立．故选D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，，， 则下列结论正确的是(      ) A. B. C. 的最小值为 D. 【答案】ABD 解：对于，由，，得，，，故A正确对于，由得，，，故B正确对于，因为，，，，所以数列为单调递增数列，所以的最小值为，故C不正确对于，，故D正确 10.设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为(     ) A. 为定值 B. 直线过抛物线的焦点 C. 最小值为 D. 到直线的距离最大值为 【答案】ACD 解：设直线方程为，，，将直线方程代入抛物线方程，焦点坐标，得，则，，．，，解得．故，为定值，故A正确直线方程为，该直线过定点，焦点坐标不满足直线方程，所以不正确．当且仅当时，取等号，所以C正确到直线的距离，当时，取得最大值，即D正确． 11.已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（  ） A． B．若成等差数列，则 C．若恰有两个不同的零点，则 D．若有三个不同的零点，则 【答案】ABD【解析】，，，对称中心为，对A：因为有三个零点，所以必有两个极值点，所以，，A正确；对B，由成等差数列，及三次函数的中心对称性可知， 所以，又，故，所以，所以，故B正确；对C：，即，若恰有两个零点，则或必为极值点；若为极值点，则该方程的三个根为，，，由一元三次方程的韦达定理可知：；若为极值点，同理可得，故C错；对D：由韦达定理，得， 即，故D正确.故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与抛物线交于，两点，若，则中点到轴距离的最小值是           ． 【答案】 解：已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 过，，分别作的垂线，交于点，，，连接，， 则，当且仅当过点时取等号，又，则，则中点到轴距离的最小值是．故答案为：． 13.已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为          ． 解：因为，所以．因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程为．设过点的直线与曲线相切于点．因为，所以，因此直线的方程为，而直线过点，所以，即，因此直线的方程为．又因为曲线在点处的切线与直线重合，所以，因此且，所以把，代入得．令，则，因此当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此，所以函数有唯一的零点，因此方程有唯一的解，即实数的值为． 14.如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，、、、是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为          ． 解：由题意设椭圆标准方程为，，双曲线标准方程为，，则，由，，，，故椭圆方程为，联立，可得：，，，则，由对称性可知、两点关于原点对称，、两点关于轴对称，则，，，故，直线：．将点代入中得，又，结合式得到或，，显然，故，故双曲线的方程为．联立：与，化为，设，解得，，，，，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.本小题分 已知等差数列的前项和为，若，． 求数列的通项公式及前项和；若，求数列的前项和． 解：设等差数列的公差为，则， ，解得，故；；（5分） ，故，则，得，所以．（13分） 16.本小题分 如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，，． 证明：平面求二面角的正弦值． 【答案】解：证明：因为，所以，，而，，，由余弦定理得，，，，平面，平面（7分） 如图建系，则，，，，，， ，，，设平面与平面的一个法向量分别为，由，由，设的平面角为，，则．（15分） 17.本小题分 已知函数． 求函数的单调区间 若函数有两个极值点，，求证： 解：由，得，令，则，，当，即时，恒成立，则，所以在上是减函数．当，即或． 当时，恒成立，从而，所以在上是减函数． 当时，函数有两个零点：，，列表如下： 综上，当时，的减区间是，无增区间 当时，的增区间是，减区间是和（7分） 由知，当时，有两个极值点，，，则，是方程的两个根，从而，，由韦达定理，得，，所以， ． 令，，，则，当时，，则在上是增函数，从而， 故 （15分） 18.本小题分 定义：如果两个椭圆的长轴长不相等，但离心率相等，则称两椭圆相似已知与椭圆相似． 求与的关系 若过原点的直线分别被和截得的弦长为和，证明： 若，，，两点在上，为上的一个动点，且线段，的中点都在上，判断的面积是否为定值，并说明理由． 解：设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，因为的方程可化为，且， 所以，，因为，所以，又，则离心率， 当时，，由题意得，整理得；（4分） 证明：设，与的一个交点为，由，得， 所以，根据椭圆的对称性，得，同理，由可知，所以， 即，当为轴时，上式显然成立，故；（9分） 的面积为定值，理由如下：因为，，由知，，，所以的方程为，的方程为，即，，设，，线段的中点在椭圆上，故有，整理得，将，代入上式，得，同理可得，所以点，满足方程，故直线的方程为，由，得，因为，所以，则，所以，又点到直线的距离， 所以．故的面积为定值． （17分） 19．本小题分 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中 数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列请说明理由； 正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值 设，为数列的一阶差分数列，令，其中， 证明: 解：，，，， ，所以不是等差数列，，则，，所以是首项为，公差为的等差数列；（4分） 由题意，， ， 又，，，即，，则， 若，即，解得，舍去，即当时，，，，当时，则，对，不存在，，综上所述，；（10分） ，所以，，从而，，，从而，所以，， （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知函数的图象在 处的切线方程为，则 (     ) A. B. C. D. 2.已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围(     ) A. B. C. D. 3.中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于岁时完成杰作直指算法统宗，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有白米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得(     ) A. 石 B. 石 C. 石 D. 石 4.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为(    ) A. B. C. D. 5.若是函数的极小值点，则的极大值为(      ) A. B. C. D. 6.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为(     ) A. B. C. D. 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8.设，为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，，， 则下列结论正确的是(      ) A. B. C. 的最小值为 D. 10.设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为(     ) A. 为定值 B. 直线过抛物线的焦点 C. 最小值为 D. 到直线的距离最大值为 11.已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（  ） A． B．若成等差数列，则 C．若恰有两个不同的零点，则 D．若有三个不同的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与抛物线交于，两点，若，则中点到轴距离的最小值是           ． 13.已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为          ． 14.如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，、、、是它们的公共点，且都在圆上，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.本小题分 已知等差数列的前项和为，若，． 求数列的通项公式及前项和；若，求数列的前项和． 16.本小题分 如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，，． 证明：平面求二面角的正弦值． 17.本小题分 已知函数． 求函数的单调区间 若函数有两个极值点，，求证： 18.本小题分 定义：如果两个椭圆的长轴长不相等，但离心率相等，则称两椭圆相似已知与椭圆相似． 求与的关系 若过原点的直线分别被和截得的弦长为和，证明： 若，，，两点在上，为上的一个动点，且线段，的中点都在上，判断的面积是否为定值，并说明理由． 19．本小题分 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中 数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列请说明理由； 正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值 设，为数列的一阶差分数列，令，其中， 证明: 学科网（北京）股份有限公司 $$