精品解析：北京市北京师范大学附属实验中学2026-2027学年高一上学期10月检测数学试题

北师大实验中学2026级高一数学 综合测验2——等式与不等式 2026年10月 本试卷共4页，共150分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 是命题：，为真的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 关于不等式的解集中至少包含两个整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 定义叫做集合的长度．已知集合，，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 10. 若，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知，则的最大值为__________． 12. 已知，写出一组满足条件的、、的值：__________，__________，__________． 13. 已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是__________． 14. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 15. 对于三个集合，，．给出如下结论： ①，，，； ②，，，； ③，，，； ④，，，， 其中所有正确结论序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 设，关于的不等式的解集为． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 17. 关于的方程的两个根，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 18. 解答下列各题： （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足，求的最大值． 19. 已知（k为常数）． （1）若，为真命题，求k的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 20. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 21. 已知（），（）是的子集，定义集合，且，，．若，则称集合是的恰当子集． （1）若，，直接写出并判断集合是否为的恰当子集（无需写出理由）； （2）已知（）是的恰当子集，求，的值； （3）若存在五元集合是的恰当子集，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2026级高一数学 综合测验2——等式与不等式 2026年10月 本试卷共4页，共150分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】，得或， ，即，得， 所以. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题进行求解. 【详解】已知命题， 则：. 故选：D 3. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用比较法，结合不等式的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，，所以， 因此由，所以本选项结论不正确； B：因为，所以由，所以本选项结论不正确； C：因为，所以由，所以本选项结论正确； D：， 因为，，且， 所以， 所以，所以本选项结论不正确. 4. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案 【详解】解：因为，， 所以， ∴， 故选：A 5. 是命题：，为真的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由命题求得的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】对于命题，当时，命题成立； 当时，有，解得， 即命题为真时， 故是为真的充分不必要条件. 故选：A. 6. 关于不等式的解集中至少包含两个整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将因式分解，得；根据与1的大小关系分类讨论，再结合“解集中至少包含两个整数”这一限制条件，确定参数的取值范围. 【详解】将不等式化为． 当时，不等式的解集为，由于原不等式至少包含两个整数，则； 当时，不等式的解集为，由于原不等式至少包含两个整数，则， 综上所述，实数a的取值范围为或. 7. 已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】因为或，解得或 即， 因为，所以 当时，，满足要求. 当时，则，由， 可得，即 当时，则，由， 可得，即 综上所述， 故选:B. 8. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理得到的关系，再代入分式不等式，转化为整式不等式组求解即可. 【详解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或.  故不等式的解集为. 9. 定义叫做集合的长度．已知集合，，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 4或5 【答案】C 【解析】 【分析】先解含参一元二次不等式，对参数分类讨论，再根据交集长度求出参数，进而算出并集的长度. 【详解】对二次不等式因式分解： 集合：， 即 ； 集合： ，即 . 首先排除的情况：若，则，交集长度为0，不符合题意，因此. 当时： ，长度为； ，长度为， 可得，其长度为. 由题知交集长度为2，得，即. 此时，长度为. 当时： 同理可得，长度为； ，长度为； ，长度为. 由交集长度为2得，即.此时，长度为. 综上，的长度均为5. 10. 若，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用基本不等式，结合全称命题的性质进行求解即可. 【详解】， 当时，显然恒成立； 当时，,， 因，当且仅当时取等号， 因此当时，有最小值， 故可得，即的取值范围是. 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最大值为. 12. 已知，写出一组满足条件的、、的值：__________，__________，__________． 【答案】 ①. ②. ③. （答案不唯一，只需满足即可）. 【解析】 【详解】令，则有，解得， 所以一组满足条件的、、的值可以是. 13. 已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式求解最值即可求解. 【详解】由于，，故的最小值为4，因此. 14. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由根的判别式和韦达定理得到不等式组，求出答案 【详解】由题意得，解得或， 又，即，故，解得， 综上，的取值范围是 15. 对于三个集合，，．给出如下结论： ①，，，； ②，，，； ③，，，； ④，，，， 其中所有正确结论序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①②通过特殊值验证判断真假；③注意讨论这个特殊情形，此时方程为恒等式；④采用反证法，结合判别式证明三个解集不能同时为空. 【详解】对于①②，取特殊值验证：令，此时三个方程均为，交集为； 但取：，， . 此时，说明存在使得交集为空，故①正确，②错误； 对于③，当时，三个方程全部变成恒等式，对全体实数都成立，集合， 那么，故③正确； 对于④，反证：假设，即，三个方程都没有实根： 若三个方程都是二次方程，则判别式全部小于0： ，，三式相加且各项均除以2得： ，即，显然此式不成立. 若存在一次方程，一次方程必有实根，对应集合非空，同样不可能三个集合全为空. 因此对任意，不可能为空，④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 设，关于的不等式的解集为． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论求解； （2）根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号求解. 【小问1详解】 ，不等式为， 时，不等式化为，解得，所以， 时，不等式化为，解得，所以， 综上，不等式的解为，； 【小问2详解】 由题意不等式无实数解， 时，不等式化为，解得，所以，解得， 时，不等式化为，解得，所以，解得， 综上，的取值范围是. 17. 关于的方程的两个根，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合韦达定理，根据求解即可； （2）结合韦达定理，已知条件求得，，，再检验判别式即可得答案. 【小问1详解】 解：因为关于的方程的两个根， 所以，，由韦达定理得，． 当时，，， 所以． 【小问2详解】 解：因为，， 所以，由且，得，． 所以，，即，解得． 此时，满足，方程有两个实数根，符合条件． 所以． 18. 解答下列各题： （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足，求的最大值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，再根据基本不等式求解即可； （2）由题知，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为7． 【小问2详解】 解：正数，满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立， 所以的最大值为． 19. 已知（k为常数）． （1）若，为真命题，求k的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立分与两种情况进行求解即可. （2）根据含参一元二次不等式解法分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，原不等式为，不满足题意； 当时，， 解得， 故的取值范围为． 【小问2详解】 不等式， 即． ，∴不等式可化为． 当，即时，不等式无解； 当，即时，； 当，即时，． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 20. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 21. 已知（），（）是的子集，定义集合，且，，．若，则称集合是的恰当子集． （1）若，，直接写出并判断集合是否为的恰当子集（无需写出理由）； （2）已知（）是的恰当子集，求，的值； （3）若存在五元集合是的恰当子集，求的最大值． 【答案】（1），集合是的恰当子集 （2），或， （3） 【解析】 【分析】（1）由集合新定义直接求解即可； （2）根据题意，有，列方程求的值并检验； （3）设五元集合对应的，由集合新定义可知，再依次验证的取值即可. 【小问1详解】 若，，根据定义，可知，满足，所以集合是的恰当子集. 【小问2详解】 若（）是的恰当子集，则，显然， 由则知或， 当时，，此时，，满足题意； 当时，，此时，，满足题意； 综上所述，，或，． 【小问3详解】 设五元集合对应的， 因为个不同的数的差的绝对值最多产生个不同的数，所以，即， 当时，，， 由于五元集合中任意两个不同的数的差的绝对值均不相同， 设中有个奇数，则有个偶数，则中的奇数有个， 但与一奇一偶，故为偶数，不可能等于，矛盾，因此， 当时，，， 取，满足且，符合题意， 所以最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $