湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二下学期2月测试数学试题（2.12）

孝感高中2023级高二年级 数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：，， ， ，故ACD错误，B正确．故选：． 2.等差数列的前项和为，其中，又，，，，成等比数列，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】A  解：等差数列的前项和为，又，，，，成等比数列， 则且与符号相同，即为正，所以， 因为，即，则．故选：． 3.已知函数，集合，现从中任取两个不同的元素，，则的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：已知函数，集合， 现从中任取两个不同的元素，，则 ，时，，满足的个数为时个 时个，时个，时个，重复个，共有个． 从中任取两个不同的元素，，则的值有个， 所以函数从集合中任取两个不同的元素，，则的概率为． 4.已知四面体中，，，，，为中点，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解答】解： 如图， 因为，为的中点， 所以，， 又， 所以， 由，解得．故选D． 5.设、分别是椭圆：的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点，交轴于点，若满足且，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：设，分别是椭圆的左、右焦点，． 直线过交椭圆于，两点，交轴于点，若满足且， 可得， 设，则，解得 可得：，即：，．解得．故选：． 6.若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：函数的定义域为， 函数的， 由解得，此时函数单调递增， 由解得，此时函数单调递减， 故时，函数取得极小值． 当时，为，函数在上单调减，在上单调增，此时满足题意； 当时，函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 在内， 即，即，即， 此时，综上，故选：． 7.已知数列的前项和若，恒成立，则实数的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：由，得， 当时，， 验证时成立，， 又，， ，恒成立，， 当时，有最小值为．． 则则实数的最大值是．故选：． 8.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：椭圆与双曲线有相同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，为直角三角形， 设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为， 从而， ，， 椭圆的离心率，则双曲线的离心率． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数，则(    ) A. 在上单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 【答案】AC  解：由知函数的定义域为， ， 当时，，， 故在单调递增，A正确； 由，当时，， 当时，，所以只有一个零点，B错误； 令，， 故曲线在点处切线的斜率为，C正确； 由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误． 故选AC． 10.如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有(    ) A. 异面直线与所成的角可以为 B. 二面角可以为 C. 直线与平面所成的角为定值 D. 线段的长为定值 【答案】BCD  解：对于，假设存在某个位置，使，设，由可求得，， 所以，即， 因为，且面， 所以面，因为面，所以，与已知相矛盾，即A错误； 对于在翻折的过程中，存在平面与平面垂直，设的中点为，则平面，又平面，则，又，因为， 且面， 所以面，因为面，所以面，故二面角可以为，即B正确； 对于，取的中点，由上知，，且，，所以面面，又面，所以面，所以直线与平面所成的角为定值，即 C正确 对于，由上知，且为定值；，且为定值，所以为定值， 由余弦定理得，，所以的长为定值，即D正确． 故选BCD． 11.如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则 A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为 D. 【答案】ABD  解：易知心形曲线关于轴对称，故不妨设 对于，将两点坐标代入方程均成立，故A正确 对于，设，， 则， 当且仅当时取“”，此时，，故B正确 对于， ，， 结合已知条件可得的最大值，最小值， 因而有，， 所以， 因此，故C错误 对于因为，，，所以“”等价于“点在椭圆上及其内部”， 即满足，即， 整理得，即，其中，该式恒成立，故D正确． 综上，正确选项为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是___________ 【答案】  解：，设切点为  ，  ， 故切线方程为，过点， 则． 由题意可得，方程 有两个不相等的实数根， 则  ， 解得或， 故答案为 ． 13.已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和______． 【答案】  【解答】解：数列的前项和为，且点总在直线上， 所以． 当时，， 两式相减得，， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ， 则， 所以， 两式相减得：． 所以数列的前项和．所以． 14.设双曲线，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线上的一动点，若，则双曲线的离心率为__________． 【答案】  解：由题意，设，，则， 所以， 因为，，所以两式相减可得，即， 因为，所以，则．故答案为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列． 求数列，的通项公式； 设，求数列的前项和 【答案】解：因为， 故为公差为的等差数列， 所以，------------------------------------3分 又，，成等差数列，故， 设的公比为，其中， 则，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，舍去， 综上，，；-------------------------------------------8分 ，则， 故为公差为的等差数列， 故．-----------13分 16.本小题分 某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量个，测量所得数据如下频率分布直方图所示： 求图中的值以及尺寸在内的零件数量 求这批零件尺寸的平均数和中位数同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到 现采用分层抽样的方法，从尺寸在和内的零件中随机抽取个，再从这个零件中任取个，求至少有个零件的尺寸在内的概率． 【答案】解：由题意得，，  解得， 尺寸在内的零件数量为．----------------4分 由题意得，这批零件尺寸的平均数为     由于，， 所以中位数满足， 由，解得中位数的值约为．-----------------9分 由题意得，尺寸在内的有个，记为，，尺寸在内的有个，记为，，，， 任选个，所有的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共种，   其中满足条件的为，，，，，，，，，共种， 故所求概率．--------------------------------------------------15分   17.本小题分 如图，棱锥的底面是矩形，平面，，． 求证：平面； 求平面与平面夹角的余弦值； 在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】解：证明：在中，，， ，为正方形， ． 平面，平面， ． 平面，平面，， 平面．---------------------------3分 解：如图以分别为轴建立空间直角坐标系． 则，，，， ，， 设平面的法向量， 则，取，得， 高平面的法向量， 则，取，得 ， 平面与平面夹角的余弦值--------------------------------------------9分 解：在线段上存在一点，满足条件设， 又， ， ，． 由可知平面的法向量为， 设与平面所成的角为， 则有： 与平面所成的角的正弦值为， ，解得，， 线段上存在一点，使与平面所成的角的正弦值为，且． -----------15分 18.本小题分 已知函数的图象在处的切线为． 求函数的解析式； 设，求证：； 若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：，． 由已知得，解得 所以．---------------------------------4分 由得，， 由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． ，从而．-----------------------8分 令，， 则．---------------11分 由可知当时，恒成立， 令，得；，得． 的增区间为，减区间为， 所以． ， 实数的取值范围为． ----------------------------------17分 19. 本小题分 圆，圆，动圆与两圆、外切． 动圆圆心的轨迹的方程； 过点的直线与曲线交于不同的两点，，求直线斜率的取值范围； 是否存在直线：与轨迹交于点，，使，且，若存在，求，的值；若不存在，说明理由． 【答案】解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为． 设，动圆的半径为， 则，， ， 整理得：． 动圆圆心的轨迹的方程．------------------------------------5分 设， 的渐近线为， 则． 联立，化为：， ，解得：． ．-----------------------------------------------9分 时，不成立． 时，直线的方程为：，则或， 解得，或． 设，， 联立，解得，． ． 联立，化为， ，化为：． ，， ， ，， ． 化为：． 联立，解得：． ，化为：． ，． ， 解得．-------------------------------------------------17分 因此存在，满足题意．   学科网（北京）股份有限公司 $$ 孝感高中2023级高二年级 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.等差数列的前项和为，其中，又，，，，成等比数列，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 3.已知函数，集合，现从中任取两个不同的元素，，则的概率为(    ) A. B. C. D. 4.已知四面体中，，，，，为中点，若，则(    ) A. B. C. D. 5.设、分别是椭圆：的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点，交轴于点，若满足且，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 6.若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知数列的前项和若，恒成立，则实数的最大值是(    ) A. B. C. D. 8.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数，则(    ) A. 在上单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 10.如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成若为线段的中点，则在翻折的过程中，下列命题正确的有(    ) A. 异面直线与所成的角可以为 B. 二面角可以为 C. 直线与平面所成的角为定值 D. 线段的长为定值 11.如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则 A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是___________ 13.已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和______． 14.设双曲线，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线上的一动点，若，则双曲线的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列． 求数列，的通项公式； 设，求数列的前项和 16.本小题分 某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量个，测量所得数据如下频率分布直方图所示： 求图中的值以及尺寸在内的零件数量 求这批零件尺寸的平均数和中位数同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到 现采用分层抽样的方法，从尺寸在和内的零件中随机抽取个，再从这个零件中任取个，求至少有个零件的尺寸在内的概率． 17.本小题分 如图，棱锥的底面是矩形，平面，，． 求证：平面； 求平面与平面夹角的余弦值； 在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由． 18.本小题分 已知函数的图象在处的切线为． 求函数的解析式； 设，求证：； 若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19.本小题分 圆，圆，动圆与两圆、外切． 动圆圆心的轨迹的方程； 过点的直线与曲线交于不同的两点，，求直线斜率的取值范围； 是否存在直线：与轨迹交于点，，使，且，若存在，求，的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$